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    数学7.2.4 诱导公式优秀练习题

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    这是一份数学7.2.4 诱导公式优秀练习题,共5页。

    (建议用时:60分钟)


    [合格基础练]


    一、选择题


    1.已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)+α))=eq \f(1,3) ,α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(π,2),0)),则tan α的值为( )


    A.-2eq \r(2) B.2eq \r(2)


    C.-eq \f(\r(2),4) D.eq \f(\r(2),4)


    A [由已知得,cs α=eq \f(1,3) ,又α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(π,2),0)),


    所以sin α=-eq \r(1-cs2α)=-eq \r(1-\f(1,9))=-eq \f(2\r(2),3).因此,tan α=eq \f(sin α,cs α)=-2eq \r(2).]


    2.已知f(sin x)=cs 3x,则f(cs 10°)的值为( )


    A.-eq \f(1,2) B.eq \f(1,2)


    C.-eq \f(\r(3),2) D.eq \f(\r(3),2)


    A [f(cs 10°)=f(sin 80°)=cs 240°=cs(180°+60°)=-cs 60°=-eq \f(1,2).]


    3.已知sin(75°+α)=eq \f(1,3) ,则cs(15°-α)的值为( )


    A.-eq \f(1,3) B.eq \f(1,3)


    C.-eq \f(2\r(2),3) D.eq \f(2\r(2),3)


    B [∵(75°+α)+(15°-α)=90°,


    ∴cs(15°-α)=cs [90°-(75°+α)]=sin(75°+α)=eq \f(1,3).]


    4.若sin(π+α)+cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)+α))=-m,则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)-α))+2sin(2π-α)的值为( )


    A.-eq \f(2m,3) B.eq \f(2m,3)


    C.-eq \f(3m,2) D.eq \f(3m,2)


    C [∵sin(π+α)+cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)+α))=-sin α-sin α=-m,


    ∴sin α=eq \f(m,2).故cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)-α))+2sin(2π-α)=-sin α-2sin α=-3sin α=-eq \f(3,2)m.]


    5.已知eq \f(sin θ+cs θ,sin θ-cs θ)=2,则sin(θ-5π)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)-θ))等于( )


    A.eq \f(3,4) B.±eq \f(3,10)


    C.eq \f(3,10) D.-eq \f(3,10)


    C [∵eq \f(sin θ+cs θ,sin θ-cs θ)=2,sin θ=3cs θ,∴tan θ=3.


    sin(θ-5π)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)π-θ))


    =sin θ cs θ=eq \f(sin θcs θ,sin2θ+cs2θ)=eq \f(tan θ,tan2θ+1)=eq \f(3,10).]


    6.已知cs 31°=m,则sin 239°tan 149°的值是( )


    A.eq \f(1-m2,m) B.eq \r(1-m2)


    C.-eq \f(1-m2,m)D.-eq \r(1-m2)


    B [sin 239° tan 149°=sin(180°+59°)tan(180°-31°)


    =-sin 59°(-tan 31°)=-sin(90°-31°)(-tan 31°)


    =-cs 31°·(-tan 31°)=sin 31°


    =eq \r(1-cs231°)=eq \r(1-m2).]


    二、填空题


    7.化简:sin(-α-7π)·cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α-\f(3π,2)))=________.


    -sin2α [原式=-sin(7π+α)·cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)-α))=-sin(π+α)·eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(-cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)-α))))=sin α·(-sin α)=-sin2α.]


    8.若sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)+θ))=eq \f(3,5) ,则cs2θ-sin2θ=________.


    -eq \f(7,25) [sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)+θ))=cs θ=eq \f(3,5) ,从而sin2θ=1-cs2θ=eq \f(16,25),所以cs2θ-sin2θ=-eq \f(7,25).]


    9.sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)-x))+sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)+x))=________.


    1 [因为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)-x))+eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)+x))=eq \f(π,2) ,


    所以sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)-x))+sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)+x))


    =sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)-x))+cs2eq \f(π,3)-x=1.]


    三、解答题


    10.已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(π,2)-α))·cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(5π,2)-α))=eq \f(60,169),且eq \f(π,4)<α

    [解] sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(π,2)-α))=-cs α,


    cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(5π,2)-α))=cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2π+\f(π,2)+α))=-sin α.


    ∴sin α·cs α=eq \f(60,169),


    即2sin α·cs α=eq \f(120,169).①


    又∵sin2α+cs2α=1,②


    ①+②得(sin α+cs α)2=eq \f(289,169),


    ②-①得(sin α-cs α)2=eq \f(49,169).


    又∵α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4),\f(π,2))),∴sin α>cs α>0,


    即sin α+cs α>0,sin α-cs α>0,


    ∴sin α+cs α=eq \f(17,13),③


    sin α-cs α=eq \f(7,13),④


    ③+④得sin α=eq \f(12,13),③-④得cs α=eq \f(5,13).


    [等级过关练]


    1.在△ABC中,下列各表达式为常数的是( )


    A.sin(A+B)+sin C B.cs(B+C)-cs A


    C.sin2eq \f(A+B,2)+sin2eq \f(C,2) D.sineq \f(A+B,2) sineq \f(C,2)


    C [sin2eq \f(A+B,2)+sin2eq \f(C,2)=sin2eq \f(π-C,2)+sin2eq \f(C,2)=cs2eq \f(C,2)+sin2eq \f(C,2)=1.]


    2.已知α为锐角,且2tan(π-α)-3cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)+β))+5=0,tan(π+α)+6sin(π+β)-1=0,则sin α=( )


    A.eq \f(3\r(5),5) B.eq \f(3\r(7),7) C.eq \f(3\r(10),10) D.eq \f(1,3)


    C [由已知得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3sin β-2tan α+5=0,,tan α-6sin β-1=0.))


    消去sin β,得tan α=3,


    ∴sin α=3cs α,代入sin2α+cs2α=1,


    化简得sin2α=eq \f(9,10),则sin α=eq \f(3\r(10),10)(α为锐角).]


    3.计算sin21°+sin22°+…+sin288°+sin289°=________.


    eq \f(89,2) [原式=(sin21°+sin289°)+(sin22°+sin288°)+…+(sin244°+sin246°)+sin245°=44+eq \f(1,2)=eq \f(89,2).]


    4.已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(π,2)-α))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(7π,2)+α))=eq \f(12,25),且0<α

    eq \f(3,5) eq \f(4,5) [sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(π,2)-α))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(7π,2)+α))


    =-cs α·(-sin α)=sin αcs α=eq \f(12,25).


    ∵0<α

    又∵sin2α+cs2α=1,


    ∴sin α=eq \f(3,5),cs α=eq \f(4,5).]


    5.已知sin α=eq \f(2\r(5),5) ,求tan(α+π)+eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,2)+α)),cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,2)-α)))的值.


    [解] 因为sin α=eq \f(2\r(5),5) >0,


    所以α为第一或第二象限角.


    tan(α+π)+eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,2)+α)),cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,2)-α)))=tan α+eq \f(cs α,sin α)=eq \f(sin α,cs α)+eq \f(cs α,sin α)=eq \f(1,sin αcs α).


    ①当α为第一象限角时,cs α=eq \r(1-sin2α)=eq \f(\r(5),5) ,


    原式=eq \f(1,sin αcs α)=eq \f(5,2).


    ②当α为第二象限角时,cs α=-eq \r(1-sin2α)=-eq \f(\r(5),5) ,


    原式=eq \f(1,sin αcs α)=-eq \f(5,2).


    综合①②知,原式=eq \f(5,2) 或-eq \f(5,2).





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