数学7.2.4 诱导公式优秀练习题

这是一份数学7.2.4 诱导公式优秀练习题，共5页。

(建议用时：60分钟)


[合格基础练]


一、选择题


1.已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝eq \f(1,3) ，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0))，则tan α的值为( )


A．－2eq \r(2) B．2eq \r(2)


C．－eq \f(\r(2),4) D．eq \f(\r(2),4)


A [由已知得，cs α＝eq \f(1,3) ，又α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0))，


所以sin α＝－eq \r(1－cs2α)＝－eq \r(1－\f(1,9))＝－eq \f(2\r(2),3).因此，tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝－2eq \r(2).]


2.已知f(sin x)＝cs 3x，则f(cs 10°)的值为( )


A．－eq \f(1,2) B．eq \f(1,2)


C．－eq \f(\r(3),2) D．eq \f(\r(3),2)


A [f(cs 10°)＝f(sin 80°)＝cs 240°＝cs(180°＋60°)＝－cs 60°＝－eq \f(1,2).]


3.已知sin(75°＋α)＝eq \f(1,3) ，则cs(15°－α)的值为( )


A．－eq \f(1,3) B．eq \f(1,3)


C．－eq \f(2\r(2),3) D．eq \f(2\r(2),3)


B [∵(75°＋α)＋(15°－α)＝90°，


∴cs(15°－α)＝cs [90°－(75°＋α)]＝sin(75°＋α)＝eq \f(1,3).]


4．若sin(π＋α)＋cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝－m，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－α))＋2sin(2π－α)的值为( )


A．－eq \f(2m,3) B．eq \f(2m,3)


C．－eq \f(3m,2) D．eq \f(3m,2)


C [∵sin(π＋α)＋cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝－sin α－sin α＝－m，


∴sin α＝eq \f(m,2).故cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－α))＋2sin(2π－α)＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－eq \f(3,2)m.]


5．已知eq \f(sin θ＋cs θ,sin θ－cs θ)＝2，则sin(θ－5π)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－θ))等于( )


A．eq \f(3,4) B．±eq \f(3,10)


C．eq \f(3,10) D．－eq \f(3,10)


C [∵eq \f(sin θ＋cs θ,sin θ－cs θ)＝2，sin θ＝3cs θ，∴tan θ＝3.


sin(θ－5π)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)π－θ))


＝sin θ cs θ＝eq \f(sin θcs θ,sin2θ＋cs2θ)＝eq \f(tan θ,tan2θ＋1)＝eq \f(3,10).]


6．已知cs 31°＝m，则sin 239°tan 149°的值是( )


A．eq \f(1－m2,m) B．eq \r(1－m2)


C．－eq \f(1－m2,m)D．－eq \r(1－m2)


B [sin 239° tan 149°＝sin(180°＋59°)tan(180°－31°)


＝－sin 59°(－tan 31°)＝－sin(90°－31°)(－tan 31°)


＝－cs 31°·(－tan 31°)＝sin 31°


＝eq \r(1－cs231°)＝eq \r(1－m2).]


二、填空题


7．化简：sin(－α－7π)·cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(3π,2)))＝________.


－sin2α [原式＝－sin(7π＋α)·cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－α))＝－sin(π＋α)·eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))))＝sin α·(－sin α)＝－sin2α.]


8．若sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋θ))＝eq \f(3,5) ，则cs2θ－sin2θ＝________.


－eq \f(7,25) [sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋θ))＝cs θ＝eq \f(3,5) ，从而sin2θ＝1－cs2θ＝eq \f(16,25)，所以cs2θ－sin2θ＝－eq \f(7,25).]


9．sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－x))＋sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋x))＝________.


1 [因为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－x))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋x))＝eq \f(π,2) ，


所以sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－x))＋sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋x))


＝sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－x))＋cs2eq \f(π,3)－x＝1.]


三、解答题


10．已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)－α))·cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5π,2)－α))＝eq \f(60,169)，且eq \f(π,4)<α

[解] sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)－α))＝－cs α，


cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5π,2)－α))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2π＋\f(π,2)＋α))＝－sin α.


∴sin α·cs α＝eq \f(60,169)，


即2sin α·cs α＝eq \f(120,169).①


又∵sin2α＋cs2α＝1，②


①＋②得(sin α＋cs α)2＝eq \f(289,169)，


②－①得(sin α－cs α)2＝eq \f(49,169).


又∵α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))，∴sin α>cs α>0，


即sin α＋cs α>0，sin α－cs α>0，


∴sin α＋cs α＝eq \f(17,13)，③


sin α－cs α＝eq \f(7,13)，④


③＋④得sin α＝eq \f(12,13)，③－④得cs α＝eq \f(5,13).


[等级过关练]


1.在△ABC中，下列各表达式为常数的是( )


A．sin(A＋B)＋sin C B．cs(B＋C)－cs A


C．sin2eq \f(A＋B,2)＋sin2eq \f(C,2) D．sineq \f(A＋B,2) sineq \f(C,2)


C [sin2eq \f(A＋B,2)＋sin2eq \f(C,2)＝sin2eq \f(π－C,2)＋sin2eq \f(C,2)＝cs2eq \f(C,2)＋sin2eq \f(C,2)＝1.]


2.已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋β))＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin α＝( )


A．eq \f(3\r(5),5) B．eq \f(3\r(7),7) C．eq \f(3\r(10),10) D．eq \f(1,3)


C [由已知得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3sin β－2tan α＋5＝0，,tan α－6sin β－1＝0.))


消去sin β，得tan α＝3，


∴sin α＝3cs α，代入sin2α＋cs2α＝1，


化简得sin2α＝eq \f(9,10)，则sin α＝eq \f(3\r(10),10)(α为锐角)．]


3.计算sin21°＋sin22°＋…＋sin288°＋sin289°＝________.


eq \f(89,2) [原式＝(sin21°＋sin289°)＋(sin22°＋sin288°)＋…＋(sin244°＋sin246°)＋sin245°＝44＋eq \f(1,2)＝eq \f(89,2).]


4．已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)－α))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7π,2)＋α))＝eq \f(12,25)，且0<α

eq \f(3,5) eq \f(4,5) [sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)－α))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7π,2)＋α))


＝－cs α·(－sin α)＝sin αcs α＝eq \f(12,25).


∵0<α

又∵sin2α＋cs2α＝1，


∴sin α＝eq \f(3,5)，cs α＝eq \f(4,5).]


5．已知sin α＝eq \f(2\r(5),5) ，求tan(α＋π)＋eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,2)＋α)),cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,2)－α)))的值．


[解] 因为sin α＝eq \f(2\r(5),5) >0，


所以α为第一或第二象限角．


tan(α＋π)＋eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,2)＋α)),cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,2)－α)))＝tan α＋eq \f(cs α,sin α)＝eq \f(sin α,cs α)＋eq \f(cs α,sin α)＝eq \f(1,sin αcs α).


①当α为第一象限角时，cs α＝eq \r(1－sin2α)＝eq \f(\r(5),5) ，


原式＝eq \f(1,sin αcs α)＝eq \f(5,2).


②当α为第二象限角时，cs α＝－eq \r(1－sin2α)＝－eq \f(\r(5),5) ，


原式＝eq \f(1,sin αcs α)＝－eq \f(5,2).


综合①②知，原式＝eq \f(5,2) 或－eq \f(5,2).