高中数学人教B版 (2019)必修 第三册8.2.2 两角和与差的正弦、正切精品课后作业题

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第三册8.2.2 两角和与差的正弦、正切精品课后作业题，共6页。

(建议用时：60分钟)


[合格基础练]


一、选择题


1.已知tan(α＋β)＝eq \f(3,5)，taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))＝eq \f(1,4)，那么taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))等于( )


A．eq \f(13,18) B．eq \f(13,23) C．eq \f(7,23) D．eq \f(1,6)


C [taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝taneq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(α＋β－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))))＝eq \f(\f(3,5)－\f(1,4),1＋\f(3,5)×\f(1,4))＝eq \f(7,23).]


2.设向量a＝(cs α，－1)，b＝(2，sin α)，若a⊥b，则tanα－eq \f(π,4)等于( )


A．－eq \f(1,3) B．eq \f(1,3)


C．－3 D．3


B [a·b＝2cs α－sin α＝0，得tan α＝2.taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝eq \f(tan α－tan\f(π,4),1＋tan αtan\f(π,4))＝eq \f(2－1,1＋2)＝eq \f(1,3).]


3.若tan 28°tan 32°＝m，则tan 28°＋tan 32°等于( )


A．eq \r(3)m B．eq \r(3)(1－m)


C．eq \r(3)(m－1) D．eq \r(3)(m＋1)


B [由公式变形tan α＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)


可得，tan 28°＋tan 32°＝tan 60°(1－tan 28°tan 32°)


＝eq \r(3)(1－m)．]


4．已知tan α＝lg 10a，tan β＝lg eq \f(1,a)，且α＋β＝eq \f(π,4)，则实数a的值为( )


A．1 B．eq \f(1,10)


C．1或eq \f(1,10)D．1或10


C [∵α＋β＝eq \f(π,4)，∴tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)＝1，tan α＋tan β＝1－tan αtan β，


即lg 10a＋lg eq \f(1,a)＝1－lg 10alg eq \f(1,a)，1＝1－lg 10algeq \f(1,a)，


∴lg 10algeq \f(1,a)＝0.


lg 10a＝0或lgeq \f(1,a)＝0.得a＝eq \f(1,10)或a＝1.]


5．已知A，B，C是△ABC的三个内角，且tan A，tanB 是方程3x2－5x＋1＝0的两个实数根，则△ABC是( )


A．钝角三角形 B．锐角三角形


C．直角三角形 D．无法确定


A [因为tan A，tan B 是方程3x2－5x＋1＝0的两个实数根，则tan A＋tan B＝eq \f(5,3)，tan Atan B＝eq \f(1,3)，


所以tan(A＋B)＝eq \f(tan A＋tan B,1－tan Atan B)＝eq \f(5,2) ，所以0

6．下列式子或叙述不正确的为( )


A．taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－θ))＝eq \f(1,tan θ)


B．存在α、β，满足tan(α－β)＝tan α－tan β


C．存在α、β，满足tan(α＋β)＝tanα＋tanβ


D．对任意α、β，tan(α＋β)＝tanα＋tanβ


D [taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－θ))＝eq \f(1,tan θ)，A正确．


存在α＝β＝eq \f(π,4)，满足tan(α－β)＝tanα－tanβ，B正确．


存在α＝0，β＝eq \f(π,4)，满足tan(α＋β)＝tanα＋tanβ，C正确．


对任意α、β，tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)，D不正确．]


二、填空题


7.eq \f(tan75°－tan15°,1＋tan75°tan15°)＝________.


eq \r(3) [原式＝tan(75°－15°)＝tan 60°＝eq \r(3).]


8．若eq \f(sin 2α,1－cs 2α)＝eq \f(1,3)，tan(β－2α)＝1，则tan(α－β)＝________.


2 [由eq \f(sin 2α,1－cs 2α)＝eq \f(1,3)，得eq \f(2sin αcs α,2sin2α)＝eq \f(1,3)，即tan α＝3.


又tan(β－2α)＝1，


∴tan(α－β)＝tan[－α－(β－2α)]＝－tan[α＋(β－2α)]


＝－eq \f(tan α＋tanβ－2α,1－tan αtanβ－2α)＝－eq \f(3＋1,1－3×1)＝2.]


9．已知α，β均为锐角，且tan β＝eq \f(cs α－sin α,cs α＋sin α)，则tan(α＋β)＝________.


1 [∵tan β＝eq \f(cs α－sin α,cs α＋sin α)＝eq \f(1－tan α,1＋tan α).∴tan β＋tan αtan β


＝1－tan α.


∴tan α＋tan β＋tan αtan β＝1.∴tan α＋tan β


＝1－tan αtan β.


∴eq \f(tan α＋tan β,1－tanαtan β)＝1，∴tan(α＋β)＝1.]


三、解答题


10．已知taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＝2，tan β＝eq \f(1,2)，


(1)求tan α的值；


(2)求eq \f(sinα＋β－2sin αcs β,2sin αsin β＋csα＋β)的值．


[解](1)∵taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＝2，∴eq \f(tan\f(π,4)＋tan α,1－tan\f(π,4)tan α)＝2，


∴eq \f(1＋tan α,1－tan α)＝2，解得tan α＝eq \f(1,3).


(2)原式＝eq \f(sin αcs β＋cs αsinβ－2sin αcs β,2sin αsin β＋cs αcs β－sin αsin β)


＝eq \f(cs αsin β－sin αcs β,cs αcs β＋sin αsin β)＝eq \f(sinβ－α,csβ－α)


＝tan(β－α)＝eq \f(tan β－tan α,1＋tan βtan α)＝eq \f(\f(1,2)－\f(1,3),1＋\f(1,2)×\f(1,3))＝eq \f(1,7).


[等级过关练]


1.已知tan α和taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，则a，b，c的关系是( )


A．b＝a＋cB．2b＝a＋c


C．c＝a＋bD．c＝ab


C [由根与系数的关系得：tan α＋taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))＝－eq \f(b,a)，tan αtaneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))＝eq \f(c,a).


taneq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(α＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))))＝eq \f(tan α＋tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α)),1－tanα·tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α)))＝eq \f(－\f(b,a),1－\f(c,a))＝1，得c＝a＋b.]


2.在△ABC中，tan A＋tan B＋tan C＝3eq \r(3)，tan2B＝tan A·tan C，则B等于( )


A．30° B．45°


C．120° D．60°


D [由公式变形得：tan A＋tan B＝tan(A＋B)(1－tan Atan B)


＝tan(180°－C)(1－tan Atan B)＝－tan C(1－tan Atan B)


＝－tan C＋tan Atan Btan C．


∴tan A＋tan B＋tan C＝－tan C＋tan Atan Btan C＋tan C


＝tan Atan Btan C＝3eq \r(3).


∵tan2B＝tan Atan C，∴tan3B＝3eq \r(3).∴tan B＝eq \r(3)，B＝60°.]


3.如图，在△ABC中，AD⊥BC，D为垂足，AD在△ABC的外部，且BD∶CD∶AD＝2∶3∶6，则tan∠ BAC＝________.





eq \f(1,7) [∵AD⊥BC且BD∶CD∶AD＝2∶3∶6.


∴tan∠BAD＝eq \f(BD,AD)＝eq \f(1,3)，


tan∠CAD＝eq \f(CD,AD)＝eq \f(3,6)＝eq \f(1,2)，tan∠BAC＝tan(∠CAD－∠BAD)＝eq \f(tan∠CAD－tan∠BAD,1＋tan∠CADtan∠BAD)＝eq \f(\f(1,2)－\f(1,3),1＋\f(1,2)×\f(1,3))＝eq \f(1,7).]


4．已知taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＝2，则eq \f(1,2sin αcs α＋cs2α)的值为________．


eq \f(2,3) [因为taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＝2，所以eq \f(1＋tan α,1－tan α)＝2，


解得tan α＝eq \f(1,3).


所以eq \f(1,2sin αcs α＋cs2α)＝eq \f(sin2α＋cs2α,2sin αcs α＋cs2α)


＝eq \f(tan2α＋1,2tan α＋1)＝eq \f(\f(1,9)＋1,\f(2,3)＋1)＝eq \f(2,3).]


5．如图，在单位圆上，∠AOB＝αeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＜α＜\f(π,2)))，∠BOC＝eq \f(π,3)，且△AOC的面积等于eq \f(2\r(,3),7).


(1)求sin α的值；


(2)求2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)－\f(π,3)))sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)＋\f(π,6))).





[解](1)由题意可知，∠AOC＝eq \f(π,3)＋α，


∴S△AOC＝eq \f(1,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))＝eq \f(2\r(,3),7)，


∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))＝eq \f(4\r(,3),7)，


∵eq \f(π,6)＜α＜eq \f(π,2)，


∴eq \f(π,2)＜α＋eq \f(π,3)＜eq \f(5π,6)，


∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))＝－eq \f(1,7)，


sin α＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)－\f(π,3)))


＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))cseq \f(π,3)－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))sineq \f(π,3)，


＝eq \f(4\r(,3),7)×eq \f(1,2)＋eq \f(1,7)×eq \f(\r(,3),2)＝eq \f(5\r(,3),14).


(2)2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)－\f(π,3)))sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)＋\f(π,6)))＝2sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)＋\f(π,6)))＝1－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))＝eq \f(8,7).