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高中数学人教B版 (2019)必修 第三册8.2.3 倍角公式课堂检测
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这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第三册8.2.3 倍角公式课堂检测，共10页。试卷主要包含了 选择题， 解答题等内容，欢迎下载使用。
一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 6 分 ，共计72分 ， ）
1. 已知sinα−csα=43 ，则sin2α=（ ）
A.−79B. −29 C. 29 D. 79
2. sin4 15∘−cs4 15∘=（ ）
A.12B.−12C.32D.−32
3. 已知x∈(−π2, 0)，csx=45，则tan2x等于( )
A.724B.−724C.−247D.247
4. 函数y＝sinx−csx的最小正周期和最大值分别是（ ）
A.B.C.2π，2D.π，2
5. 已知命题p:∀x∈R，x2−2xsinθ+1≥0；命题q:∃α，β∈R，sin(α+β)≤sinα+sinβ，则下列命题中的真命题为( )
A.(¬p)∧qB.¬(p∧q)C.(¬p)∨qD.p∧(¬q)
6. 已知sin(π6−α)=33，则cs(2α+2018π3)=( )
A.23B.13C.−23D.−13
7. 已知sin2α=13，则cs2(α+π4)=( )
A.16B.13C.23D.12±23
8. cs15∘⋅sin75∘−sin15∘⋅cs75∘的值是（ ）
A.12B.32C.−12D.−32
9. 函数f(x)＝sin4x+2sinxcsx−cs4x的最小正周期是（ ）
A.B.C.πD.2π
10. 《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形，若图中直角三角形的一个锐角为α，且小正方形与大正方形面积之比为9:25，则sin2α的值为（ ）
A.49B.59C.916D.1625
11. 若5cs(α−π2)=cs(π+α)，则tan2α=( )
A.−52B.52C.−55D.−54
12. 已知sinα=12+csα，且α∈(0,π2)，则cs2αsin(α−π4)的值为（ ）
A.142B.−142C.144D.−144
二、 解答题 （本题共计 2 小题 ，每题 14 分 ，共计28分 ， ）
13. 已知函数．
(Ⅰ)求f(x)的最小正周期和单调递减区间；
(Ⅱ)将函数f(x)的图象向右平移个单位，得到函数g(x)的图象，求g(x)在区间上的值域．
14. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为a23sinA．
(1)求sinBsinC；
(2)若6csBcsC=1，a=3，求△ABC的周长．
参考答案与试题解析
人教B版（2019）必修第三册《8.2.3 倍角公式》同步练习
一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 6 分 ，共计72分 ）
1.
【答案】
A
【考点】
二倍角的正弦公式
【解析】
本题考查了二倍角公式.
【解答】
解：∵ sinα−csα=43，
∴ sinα−csα2=1−2sinαcsα=1−sin2α=169，
∴ sin2α=−79.
故选A．
2.
【答案】
D
【考点】
求二倍角的余弦
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：sin4 15∘−cs4 15∘
=(sin2 15∘−cs2 15∘)(sin2 15∘+cs2 15∘)
=sin2 15∘−cs2 15∘
=−cs 30∘=−32．
故选D．
3.
【答案】
C
【考点】
二倍角的正切公式
同角三角函数间的基本关系
【解析】
由csx的值及x的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sinx的值，进而求出tanx的值，然后把所求的式子利用二倍角的正切函数公式变形后，将tanx的值代入即可求出值．
【解答】
解：由csx=45，x∈(−π2, 0)，
得到sinx=−35，所以tanx=−34，
则tan2x=2tanx1−tan2x=2×(−34)1−(−34)2=−247．
故选C.
4.
【答案】
C
【考点】
三角函数的周期性
两角和与差的三角函数
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
5.
【答案】
C
【考点】
逻辑联结词“或”“且”“非”
命题的真假判断与应用
三角函数的恒等变换及化简求值
【解析】
分别判断出p，q的真假，从而判断出复合命题的真假即可．
【解答】
解：关于命题p:∀x∈R，x2−2xsinθ+1≥0，Δ=4sin2θ−4≤0，故p是真命题，
关于命题q:∃α，β∈R，sin(α+β)≤sinα+sinβ，是真命题，
∴ (¬p)∨q是真命题，
故选C.
6.
【答案】
D
【考点】
三角函数的恒等变换及化简求值
两角和与差的三角函数
【解析】
由题意利用诱导公式、二倍角公式，求得要求式子的值．
【解答】
∵ sin(π6−α)=33，则cs(2α+2018π3)
=cs(2α+672π+2π3)=cs(2α+2π3)=cs2(α+π3)
=2cs2(α+π3)−1=2sin2(π6−α)−1=2⋅13−1=−13，
7.
【答案】
B
【考点】
二倍角的三角函数
【解析】
利用二倍角公式，诱导公式化简所求即可计算得解．
【解答】
∵ sin2α=13，
∴ cs2(α+π4)=1+cs(2α+π2)2=1−sin2α2=1−132=13．
8.
【答案】
B
【考点】
两角和与差的三角函数
【解析】
应用两角差的正弦公式，直接把所给式子化为sin60∘，再求出60∘的正弦值即可．
【解答】
cs15∘⋅sin75∘−sin15∘⋅cs75∘＝sin(75∘−15∘)＝sin60∘=32
9.
【答案】
C
【考点】
三角函数的周期性
三角函数中的恒等变换应用
【解析】
利用三角函数的倍角公式进行转化，结合辅助角公式进行化简求解即可．
【解答】
f(x)＝sin4x−cs4x+2sinxcsx
＝(sin2x−cs2x)(sin2x+cs2x)+2sinxcsx
＝sin2x+sin2x−cs2x＝sin2x−cs2x
＝sin(2x−），
则最小正周期T＝，
10.
【答案】
D
【考点】
二倍角的三角函数
【解析】
由题意利用直角三角形中的边角关系可得 5sinα−5csα＝3，两边平方并利用二倍角的正弦公式，求得sin2α的值．
【解答】
∵ 小正方形与大正方形面积之比为9:25，
设小正方形的边长为3，则大正方形边长为5，
由题意可得，小直角三角形的三边分别为5csα，5sinα，5，
∵ 4个小直角三角形全等，故有5csα+3＝5sinα，即 5sinα−5csα＝3，
平方可得sin2α=1625，
11.
【答案】
A
【考点】
二倍角的正切公式
运用诱导公式化简求值
同角三角函数间的基本关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：依题意，5cs(π2−α)=−csα，即5sinα=−csα，
∴ tanα=−55，
∴ tan2α=2tanα1−tan2α=−2551−15=−52.
故选A.
12.
【答案】
B
【考点】
二倍角的三角函数
两角和与差的三角函数
【解析】
利用条件先计算$\sin1pha + \cs1pha = \frac{\sqrt{7}}{2}$，再将所求式化简，代入即可得到结论．
【解答】
∵ sinα=12+csα
∴ sinα−csα=12
两边平方可得：1−2sinαcsα=14
∴ 2sinαcsα=34
∴ 1+2sinαcsα=74
∴ (sinα+csα)2=74
∵ α∈(0,π2)
∴ sinα+csα=72
∴ cs2αsin(α−π4)=cs2α−sin2α22(sinα−csα)=−2(sinα+csα)=−142
二、 解答题 （本题共计 2 小题 ，每题 14 分 ，共计28分 ）
13.
【答案】
（1）函数＝2−cs(2x−＝＝．
所以函数的最小正周期为，
令(k∈Z)(k∈Z)，
所以函数的单调递减区间为[](k∈Z)．
（2）将函数f(x)的图象向右平移个单位）+4＝，
由于x∈，所以，故，故函数的值域为[0．
【考点】
三角函数中的恒等变换应用
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
14.
【答案】
(1)由三角形的面积公式可得
S△ABC=12acsinB=a23sinA，
∴ 3csinBsinA=2a，
由正弦定理可得
3sinCsinBsinA=2sinA
∵ sinA≠0，
∴ sinBsinC=23．
(2)∵6csBcsC=1，
∴ csBcsC=16，
∴ csBcsC−sinBsinC=16−23=−12，
∴ csB+C=−12，
∴ A=π3，
∵ asinA=bsinB=csinC=2R=332=23，
∴ sinBsinC=b2R⋅c2R=bc232=bc12=23，
∴ bc=8，
∵ a2=b2+c2−2bccsA，
∴ b2+c2−bc=9，
∴ b+c2=9+3cb=9+24=33，
∴ b+c=33，
∴ 周长a+b+c=3+33．
【考点】
余弦定理
三角形的面积公式
正弦定理
两角和与差的余弦公式
【解析】
(1)根据三角形面积公式和正弦定理可得答案；
(2)根据两角余弦公式可得csA=12，即可求出A=π3，再根据正弦定理可得bc=8，根据余弦定理即可求出b+c，问题得以解决．
【解答】
解：(1)由三角形的面积公式可得
S△ABC=12acsinB=a23sinA，
∴ 3csinBsinA=2a，
由正弦定理可得
3sinCsinBsinA=2sinA
∵ sinA≠0，
∴ sinBsinC=23．
(2)∵6csBcsC=1，
∴ csBcsC=16，
∴ csBcsC−sinBsinC=16−23=−12，
∴ csB+C=−12，
∴ A=π3，
∵ asinA=bsinB=csinC=2R=332=23，
∴ sinBsinC=b2R⋅c2R=bc232=bc12=23，
∴ bc=8，
∵ a2=b2+c2−2bccsA，
∴ b2+c2−bc=9，
∴ b+c2=9+3cb=9+24=33，
∴ b+c=33，
∴ 周长a+b+c=3+33．
一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 6 分 ，共计72分 ， ）
1. 已知sinα−csα=43 ，则sin2α=（ ）
A.−79B. −29 C. 29 D. 79
2. sin4 15∘−cs4 15∘=（ ）
A.12B.−12C.32D.−32
3. 已知x∈(−π2, 0)，csx=45，则tan2x等于( )
A.724B.−724C.−247D.247
4. 函数y＝sinx−csx的最小正周期和最大值分别是（ ）
A.B.C.2π，2D.π，2
5. 已知命题p:∀x∈R，x2−2xsinθ+1≥0；命题q:∃α，β∈R，sin(α+β)≤sinα+sinβ，则下列命题中的真命题为( )
A.(¬p)∧qB.¬(p∧q)C.(¬p)∨qD.p∧(¬q)
6. 已知sin(π6−α)=33，则cs(2α+2018π3)=( )
A.23B.13C.−23D.−13
7. 已知sin2α=13，则cs2(α+π4)=( )
A.16B.13C.23D.12±23
8. cs15∘⋅sin75∘−sin15∘⋅cs75∘的值是（ ）
A.12B.32C.−12D.−32
9. 函数f(x)＝sin4x+2sinxcsx−cs4x的最小正周期是（ ）
A.B.C.πD.2π
10. 《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形，若图中直角三角形的一个锐角为α，且小正方形与大正方形面积之比为9:25，则sin2α的值为（ ）
A.49B.59C.916D.1625
11. 若5cs(α−π2)=cs(π+α)，则tan2α=( )
A.−52B.52C.−55D.−54
12. 已知sinα=12+csα，且α∈(0,π2)，则cs2αsin(α−π4)的值为（ ）
A.142B.−142C.144D.−144
二、 解答题 （本题共计 2 小题 ，每题 14 分 ，共计28分 ， ）
13. 已知函数．
(Ⅰ)求f(x)的最小正周期和单调递减区间；
(Ⅱ)将函数f(x)的图象向右平移个单位，得到函数g(x)的图象，求g(x)在区间上的值域．
14. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为a23sinA．
(1)求sinBsinC；
(2)若6csBcsC=1，a=3，求△ABC的周长．
参考答案与试题解析
人教B版（2019）必修第三册《8.2.3 倍角公式》同步练习
一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 6 分 ，共计72分 ）
1.
【答案】
A
【考点】
二倍角的正弦公式
【解析】
本题考查了二倍角公式.
【解答】
解：∵ sinα−csα=43，
∴ sinα−csα2=1−2sinαcsα=1−sin2α=169，
∴ sin2α=−79.
故选A．
2.
【答案】
D
【考点】
求二倍角的余弦
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：sin4 15∘−cs4 15∘
=(sin2 15∘−cs2 15∘)(sin2 15∘+cs2 15∘)
=sin2 15∘−cs2 15∘
=−cs 30∘=−32．
故选D．
3.
【答案】
C
【考点】
二倍角的正切公式
同角三角函数间的基本关系
【解析】
由csx的值及x的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sinx的值，进而求出tanx的值，然后把所求的式子利用二倍角的正切函数公式变形后，将tanx的值代入即可求出值．
【解答】
解：由csx=45，x∈(−π2, 0)，
得到sinx=−35，所以tanx=−34，
则tan2x=2tanx1−tan2x=2×(−34)1−(−34)2=−247．
故选C.
4.
【答案】
C
【考点】
三角函数的周期性
两角和与差的三角函数
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
5.
【答案】
C
【考点】
逻辑联结词“或”“且”“非”
命题的真假判断与应用
三角函数的恒等变换及化简求值
【解析】
分别判断出p，q的真假，从而判断出复合命题的真假即可．
【解答】
解：关于命题p:∀x∈R，x2−2xsinθ+1≥0，Δ=4sin2θ−4≤0，故p是真命题，
关于命题q:∃α，β∈R，sin(α+β)≤sinα+sinβ，是真命题，
∴ (¬p)∨q是真命题，
故选C.
6.
【答案】
D
【考点】
三角函数的恒等变换及化简求值
两角和与差的三角函数
【解析】
由题意利用诱导公式、二倍角公式，求得要求式子的值．
【解答】
∵ sin(π6−α)=33，则cs(2α+2018π3)
=cs(2α+672π+2π3)=cs(2α+2π3)=cs2(α+π3)
=2cs2(α+π3)−1=2sin2(π6−α)−1=2⋅13−1=−13，
7.
【答案】
B
【考点】
二倍角的三角函数
【解析】
利用二倍角公式，诱导公式化简所求即可计算得解．
【解答】
∵ sin2α=13，
∴ cs2(α+π4)=1+cs(2α+π2)2=1−sin2α2=1−132=13．
8.
【答案】
B
【考点】
两角和与差的三角函数
【解析】
应用两角差的正弦公式，直接把所给式子化为sin60∘，再求出60∘的正弦值即可．
【解答】
cs15∘⋅sin75∘−sin15∘⋅cs75∘＝sin(75∘−15∘)＝sin60∘=32
9.
【答案】
C
【考点】
三角函数的周期性
三角函数中的恒等变换应用
【解析】
利用三角函数的倍角公式进行转化，结合辅助角公式进行化简求解即可．
【解答】
f(x)＝sin4x−cs4x+2sinxcsx
＝(sin2x−cs2x)(sin2x+cs2x)+2sinxcsx
＝sin2x+sin2x−cs2x＝sin2x−cs2x
＝sin(2x−），
则最小正周期T＝，
10.
【答案】
D
【考点】
二倍角的三角函数
【解析】
由题意利用直角三角形中的边角关系可得 5sinα−5csα＝3，两边平方并利用二倍角的正弦公式，求得sin2α的值．
【解答】
∵ 小正方形与大正方形面积之比为9:25，
设小正方形的边长为3，则大正方形边长为5，
由题意可得，小直角三角形的三边分别为5csα，5sinα，5，
∵ 4个小直角三角形全等，故有5csα+3＝5sinα，即 5sinα−5csα＝3，
平方可得sin2α=1625，
11.
【答案】
A
【考点】
二倍角的正切公式
运用诱导公式化简求值
同角三角函数间的基本关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：依题意，5cs(π2−α)=−csα，即5sinα=−csα，
∴ tanα=−55，
∴ tan2α=2tanα1−tan2α=−2551−15=−52.
故选A.
12.
【答案】
B
【考点】
二倍角的三角函数
两角和与差的三角函数
【解析】
利用条件先计算$\sin1pha + \cs1pha = \frac{\sqrt{7}}{2}$，再将所求式化简，代入即可得到结论．
【解答】
∵ sinα=12+csα
∴ sinα−csα=12
两边平方可得：1−2sinαcsα=14
∴ 2sinαcsα=34
∴ 1+2sinαcsα=74
∴ (sinα+csα)2=74
∵ α∈(0,π2)
∴ sinα+csα=72
∴ cs2αsin(α−π4)=cs2α−sin2α22(sinα−csα)=−2(sinα+csα)=−142
二、 解答题 （本题共计 2 小题 ，每题 14 分 ，共计28分 ）
13.
【答案】
（1）函数＝2−cs(2x−＝＝．
所以函数的最小正周期为，
令(k∈Z)(k∈Z)，
所以函数的单调递减区间为[](k∈Z)．
（2）将函数f(x)的图象向右平移个单位）+4＝，
由于x∈，所以，故，故函数的值域为[0．
【考点】
三角函数中的恒等变换应用
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
14.
【答案】
(1)由三角形的面积公式可得
S△ABC=12acsinB=a23sinA，
∴ 3csinBsinA=2a，
由正弦定理可得
3sinCsinBsinA=2sinA
∵ sinA≠0，
∴ sinBsinC=23．
(2)∵6csBcsC=1，
∴ csBcsC=16，
∴ csBcsC−sinBsinC=16−23=−12，
∴ csB+C=−12，
∴ A=π3，
∵ asinA=bsinB=csinC=2R=332=23，
∴ sinBsinC=b2R⋅c2R=bc232=bc12=23，
∴ bc=8，
∵ a2=b2+c2−2bccsA，
∴ b2+c2−bc=9，
∴ b+c2=9+3cb=9+24=33，
∴ b+c=33，
∴ 周长a+b+c=3+33．
【考点】
余弦定理
三角形的面积公式
正弦定理
两角和与差的余弦公式
【解析】
(1)根据三角形面积公式和正弦定理可得答案；
(2)根据两角余弦公式可得csA=12，即可求出A=π3，再根据正弦定理可得bc=8，根据余弦定理即可求出b+c，问题得以解决．
【解答】
解：(1)由三角形的面积公式可得
S△ABC=12acsinB=a23sinA，
∴ 3csinBsinA=2a，
由正弦定理可得
3sinCsinBsinA=2sinA
∵ sinA≠0，
∴ sinBsinC=23．
(2)∵6csBcsC=1，
∴ csBcsC=16，
∴ csBcsC−sinBsinC=16−23=−12，
∴ csB+C=−12，
∴ A=π3，
∵ asinA=bsinB=csinC=2R=332=23，
∴ sinBsinC=b2R⋅c2R=bc232=bc12=23，
∴ bc=8，
∵ a2=b2+c2−2bccsA，
∴ b2+c2−bc=9，
∴ b+c2=9+3cb=9+24=33，
∴ b+c=33，
∴ 周长a+b+c=3+33．
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