高中数学人教B版 (2019)必修 第三册8.2.3 倍角公式学案

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第三册8.2.3 倍角公式学案，共13页。


金刚石晶体的碳－碳键键角约为55°，大雁南迁排成的“人”字形队列的每边与前进方向的夹角也约为55°，这是巧合还是大自然的“默契”？
研究表明，金刚石碳－碳键键角约为55°时，是最稳定的结构；大雁“人”字形队列夹角为55°时，后面的大雁可以利用前面的翼尖涡流，提高升力，以达到省力的作用．大自然真是神秘奇妙呀！

金刚石晶体胞 雁群以人字形排列飞行
问题 (1)“人”字形角度的2倍即110度，这其中蕴含着什么样的数学关系？
(2)我们能否利用两角和与差的三角函数公式，推导出二倍角的三角函数公式？如何推导？
[提示] (1)倍角关系．
(2)能．例如在两角和的余弦公式中，用α代替β，得到cs 2α＝cs2α－sin2α．
知识点1 倍角公式
S2α：sin 2α＝2sin αcs α．
C2α：cs 2α＝cs2α－sin2α＝2cs2α－1＝1－2sin2α．
T2α：tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α)．
你是怎样理解倍角公式中的“倍角”二字的？
[提示] 倍角公式中的“倍角”是相对的，对于两个角的比值等于2的情况都成立，如2α是α的二倍角，8α是4α的二倍角，eq \f(α,2)是eq \f(α,4)的二倍角等．
知识点2 倍角公式的变换
(1)因式分解变换：
cs 2α＝cs2α－sin2α＝(cs α＋sin α)(cs α－sin α)．
(2)配方变换：
1±sin 2α＝sin2α＋cs2α±2sin αcs α＝(sin α±cs α)2．
(3)升幂缩角变换：
1＋cs 2α＝2cs2α，1－cs 2α＝2sin2α．
(4)降幂扩角变换：
cs2α＝eq \f(1,2)(1＋cs 2α)，sin2α＝eq \f(1,2)(1－cs 2α)．
1．思考辨析(对的打“√”，错的打“×”)
(1)倍角的正切公式的适用范围不是任意角．( )
(2)对于任意的角α，都有sin 2α＝2sin α成立．( )
(3)存在角α，使cs 2α＝2cs α成立．( )
(4)cs 3αsin 3α＝eq \f(1,2)sin 6α对任意的角α都成立．( )
[提示] (1)√．倍角的正切公式，要求α≠eq \f(π,2)＋kπ(k∈Z)且α≠±eq \f(π,4)＋kπ(k∈Z)．
(2)×．当α＝eq \f(π,6)时，sin 2α＝sin eq \f(π,3)＝eq \f(\r(3),2)，而2sin α＝2×eq \f(1,2)＝1．
(3)√．由cs 2α＝2cs α＝2cs2α－1，得cs α＝eq \f(1－\r(3),2)时，cs 2α＝2cs α成立．
(4)√．由倍角的正弦公式可得．
[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)√
2．已知sin x＝eq \f(1,4)，则cs 2x的值为( )
A．eq \f(7,8)B．eq \f(1,8)
C．eq \f(1,2) D．eq \f(\r(2),2)
A [cs 2x＝1－2sin2x＝1－2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))eq \s\up12(2)＝eq \f(7,8)．]
3．sin 15°sin 75°的值为( )
A．eq \f(1,2)B．eq \f(1,4)
C．eq \f(\r(3),2) D．eq \f(\r(3),4)
B [原式＝sin 15°cs 15°＝eq \f(1,2)sin 30°＝eq \f(1,4)．]
4．若tan 2α＝eq \f(1,2)，则tan 4α＝________．
eq \f(4,3) [tan 4α＝eq \f(2tan 2α,1－tan22α)＝eq \f(2×\f(1,2),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(2))＝eq \f(4,3)．]
类型1 利用二倍角公式化简求值
【例1】 (对接教材P98练习A T1改编)化简求值．
(1)sin eq \f(π,24)·cs eq \f(π,24)·cs eq \f(π,12)；(2)1－2sin2 750°；
(3)tan 150°＋eq \f(1－3tan2 150°,2tan 150°)．
[解] (1)原式＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2sin \f(π,24)cs \f(π,24)))cseq \f(π,12)＝eq \f(1,2)sin eq \f(π,12)cs eq \f(π,12)
＝eq \f(1,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2sin \f(π,12)cs \f(π,12)))＝eq \f(1,4)sin eq \f(π,6)＝eq \f(1,8)，
所以原式＝eq \f(1,8)．
(2)原式＝cs(2×750°)＝cs 1 500°
＝cs(4×360°＋60°)＝cs 60°＝eq \f(1,2)，
所以原式＝eq \f(1,2)．
(3)原式＝eq \f(2tan2150°＋1－3tan2 150°,2tan 150°)
＝eq \f(1－tan2 150°,2tan 150°)＝eq \f(1,tan2×150°)
＝eq \f(1,tan 300°)＝eq \f(1,tan360°－60°)
＝－eq \f(1,tan 60°)＝－eq \f(\r(3),3)，
所以原式＝－eq \f(\r(3),3)．
二倍角公式的灵活运用
(1)公式的逆用：逆用公式，这种在原有基础上的变通是创新意识的体现．主要形式有：
2sin αcs α＝sin 2α，sin αcs α＝eq \f(1,2)sin 2α，
cs α＝eq \f(sin 2α,2sin α)，cs2 α－sin2 α＝cs 2α，eq \f(2tan α,1－tan2 α)＝tan 2α．
(2)公式的变形：公式间有着密切的联系，这就要求思考时要融会贯通，有目的地活用公式．主要形式有：
1±sin 2α＝sin2 α＋cs2 α±2sin αcs α＝(sin α±cs α)2，1＋cs 2α＝2cs2 α，cs2 α＝eq \f(1＋cs 2α,2)，sin2 α＝eq \f(1－cs 2α,2)．
eq \([跟进训练])
1．求下列各式的值：
(1)sin eq \f(π,8)cs eq \f(π,8)；
(2)2sin2eq \f(π,12)＋1；
(3)cs 20°cs 40°cs 80°；
(4)eq \f(1－tan2\f(π,12),tan \f(π,12))．
[解] 原式＝eq \f(2sin \f(π,8)cs \f(π,8),2)＝eq \f(sin \f(π,4),2)＝eq \f(\r(2),4)．
(2)原式＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－2sin2\f(π,12)))＋2＝2－cs eq \f(π,6)＝eq \f(4－\r(3),2)．
(3)原式＝eq \f(2sin 20°·cs 20°·cs 40°·cs 80°,2sin 20°)
＝eq \f(2sin 40°·cs 40°·cs 80°,4sin 20°)
＝eq \f(2sin 80°·cs 80°,8sin 20°)＝eq \f(sin 160°,8sin 20°)＝eq \f(1,8)．
(4)原式＝eq \f(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－tan2\f(π,12))),2tan \f(π,12))＝eq \f(2,tan \f(π,6))＝2eq \r(3)．
类型2 利用二倍角公式解决条件求值问题
【例2】 (1)已知sin α＝3cs α，那么tan 2α的值为( )
A．2 B．－2 C．eq \f(3,4) D．－eq \f(3,4)
(2)已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋α))＝eq \f(1,3)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)－2α))的值等于( )
A．eq \f(7,9)B．eq \f(1,3)
C．－eq \f(7,9)D．－eq \f(1,3)
(3)已知cs α＝－eq \f(3,4)，sin β＝eq \f(2,3)，α是第三象限角，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))．
①求sin 2α的值；②求cs(2α＋β)的值．
(1)D (2)C [(1)因为sin α＝3cs α，
所以tan α＝3，
所以tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2 α)＝eq \f(2×3,1－32)＝－eq \f(3,4)．
(2)因为cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))))
＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋α))＝eq \f(1,3)，
所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)－2α))
＝2cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))－1
＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(2)－1＝－eq \f(7,9)．]
(3)[解] ①因为α是第三象限角，
cs α＝－eq \f(3,4)，
所以sin α＝－eq \r(1－cs2 α)＝－eq \f(\r(7),4)，
所以sin 2α＝2sin αcs α
＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(7),4)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,4)))＝eq \f(3\r(7),8)．
②因为β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，sin β＝eq \f(2,3)，
所以cs β＝－eq \r(1－sin2 β)＝－eq \f(\r(5),3)，
cs 2α＝2cs2 α－1＝2×eq \f(9,16)－1＝eq \f(1,8)，
所以cs(2α＋β)＝cs 2αcs β－sin 2αsin β＝eq \f(1,8)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(5),3)))－eq \f(3\r(7),8)×eq \f(2,3)＝－eq \f(\r(5)＋6\r(7),24)．
利用二倍角公式解决条件求值问题的解题方法
条件求值问题的解题实质是对已知条件与要求问题进行化简变形，最终代入已知条件求值；其解题突破口为已知条件与要求问题中角的特点，解题关键在于“变角”，即把“所求角”变为“已知角”．
eq \([跟进训练])
2．(1)已知α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，sin α＝eq \f(\r(5),5)，则sin 2α＝________，cs 2α＝________．
(2)已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))＝eq \f(1,6)，且α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，求tan 4α的值．
(1)－eq \f(4,5) eq \f(3,5) [因为α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，sin α＝eq \f(\r(5),5)，
所以cs α＝－eq \f(2\r(5),5)，
所以sin 2α＝2sin αcs α
＝2×eq \f(\r(5),5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2\r(5),5)))＝－eq \f(4,5)，
cs 2α＝1－2sin2 α＝1－2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5),5)))eq \s\up12(2)＝eq \f(3,5)．]
(2)[解] 因为sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))，
则已知条件可化为sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＝eq \f(1,6)，
即eq \f(1,2)sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))))＝eq \f(1,6)，
所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋2α))＝eq \f(1,3)，所以cs 2α＝eq \f(1,3)．
因为α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，所以2α∈(π，2π)，
从而sin 2α＝－eq \r(1－cs22α)＝－eq \f(2\r(2),3)，
所以tan 2α＝eq \f(sin 2α,cs 2α)＝－2eq \r(2)，
故tan 4α＝eq \f(2tan 2α,1－tan22α)＝－eq \f(4\r(2),1－－2\r(2)2)＝eq \f(4\r(2),7)．
类型3 利用二倍角公式进行化简证明
角度1 化简问题
【例3】 化简：eq \f(cs2α,\f(1,tan \f(α,2))－tan \f(α,2))．
[解] 法一：原式＝eq \f(cs2α,\f(cs \f(α,2),sin \f(α,2))－\f(sin \f(α,2),cs \f(α,2)))＝eq \f(cs2α,\f(cs2\f(α,2)－sin2\f(α,2),sin \f(α,2)cs \f(α,2)))＝eq \f(cs2αsin \f(α,2)cs \f(α,2),cs2\f(α,2)－sin2\f(α,2))
＝eq \f(cs2αsin \f(α,2)cs \f(α,2),cs α)＝sin eq \f(α,2)cs eq \f(α,2)cs α
＝eq \f(1,2)sin αcs α＝eq \f(1,4)sin 2α．
法二：原式＝eq \f(cs2αtan \f(α,2),1－tan2\f(α,2))＝eq \f(1,2)cs2α·eq \f(2tan \f(α,2),1－tan2\f(α,2))＝
eq \f(1,2)cs2α·tan α＝eq \f(1,2)cs αsin α＝eq \f(1,4)sin 2α．
三角函数式的化简原则
三角函数式的化简原则：一是统一角，二是统一函数名．能求值的求值，必要时切化弦，更易通分、约分．
eq \([跟进训练])
3．化简：eq \r(1＋sin θ)－eq \r(1－sin θ)，其中θ∈(0，π)．
[解] 原式
＝eq \r(sin2\f(θ,2)＋cs2\f(θ,2)＋2sin \f(θ,2)cs \f(θ,2))－eq \r(sin2\f(θ,2)＋cs2\f(θ,2)－2sin \f(θ,2)cs \f(θ,2))
＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f(θ,2)＋cs \f(θ,2)))eq \s\up12(2))－eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f(θ,2)－cs \f(θ,2)))eq \s\up12(2))
＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin \f(θ,2)＋cs \f(θ,2)))－eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin \f(θ,2)－cs \f(θ,2)))．
①当θ∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，eq \f(θ,2)∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))，cs eq \f(θ,2)≥sin eq \f(θ,2)，
此时原式＝sin eq \f(θ,2)＋cs eq \f(θ,2)－cs eq \f(θ,2)＋sin eq \f(θ,2)＝2sin eq \f(θ,2)．
②当θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))时，eq \f(θ,2)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))，cs eq \f(θ,2)此时原式＝sin eq \f(θ,2)＋cs eq \f(θ,2)－sin eq \f(θ,2)＋cs eq \f(θ,2)＝2cs eq \f(θ,2)．
综上可知，当θ∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，原式＝2sin eq \f(θ,2)；
当θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))时，原式＝2cs eq \f(θ,2)．
角度2 恒等式证明问题
【例4】 求证：cs2(A＋B)－sin2(A－B)＝cs 2Acs 2B．
[证明] 左边＝eq \f(1＋cs2A＋2B,2)－eq \f(1－cs2A－2B,2)
＝eq \f(cs2A＋2B＋cs2A－2B,2)
＝eq \f(1,2)(cs 2Acs 2B－sin 2Asin 2B＋cs 2Acs 2B＋sin 2Asin 2B)＝cs 2Acs 2B＝右边，所以等式成立．
证明三角恒等式的原则与步骤
(1)观察恒等式两端的结构形式，处理原则是从复杂到简单，高次降低，复角化单角，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想．
(2)证明恒等式的一般步骤
①先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异；
②本着“复角化单角”“异名化同名”“变换式子结构”“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的．
eq \([跟进训练])
4．求证：cs2θ(1－tan2θ)＝cs 2θ．
[证明] 法一：左边＝cs2θeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(sin2θ,cs2θ)))
＝cs2θ－sin2θ＝cs 2θ＝右边．故原式得证．
法二：右边＝cs 2θ＝cs2θ－sin2θ
＝cs2θeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(sin2θ,cs2θ)))＝cs2θ(1－tan2θ)＝左边．故原式得证．
类型4 倍角公式与三角函数性质的综合应用
【例5】 设函数f(x) ＝(sin x＋cs x)2＋2eq \r(3)sin2x－eq \r(3)．
(1)求函数f(x) 的单调递增区间；
(2)当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(5π,6)))时，求函数f(x) 的值域．
1．要求函数f(x) 的值域及单调区间，应先把函数f(x) 化为什么样的形式？
[提示] 对三角函数问题，要求函数的最值、单调性等性质，应先把函数化为f(x) ＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式．
2．在化简函数解析式的过程中，一般会用到哪些公式？
[提示] 在化简解析式的过程中一般会用到：
①两角和与差的正弦、余弦公式；②二倍角公式；③辅助角公式．
[解] (1)原式＝1＋sin 2x＋2eq \r(3)×eq \f(1－cs 2x,2)－eq \r(3)
＝1＋sin 2x－eq \r(3)cs 2x＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))＋1，
由2kπ－eq \f(π,2)≤2x－eq \f(π,3)≤2kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，
得kπ－eq \f(π,12)≤x≤kπ＋eq \f(5π,12)，k∈Z，
则函数递增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,12)，kπ＋\f(5π,12)))，k∈Z．
(2)由eq \f(π,4)则－eq \f(\r(3),2)则1－eq \r(3)倍角公式与三角函数性质的综合问题的解题策略
运用三角函数的和、差、倍角公式将函数关系式化成y＝asin ωx＋bcs ωx＋k的形式，借助辅助角公式化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k(或y＝Acs(ωx＋φ)＋k)的形式，将ωx＋φ看作一个整体研究函数的性质．
eq \([跟进训练])
5．求函数y＝sin4x＋2eq \r(3)sin xcs x－cs4 x的最小正周期和最小值，并写出该函数在[0，π]上的单调递减区间．
[解] y＝sin4x＋2eq \r(3)sin xcs x－cs4x
＝(sin2x＋cs2x)(sin2x－cs2x)＋2eq \r(3)sin xcs x
＝－cs 2x＋eq \r(3)sin 2x＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)sin 2x－\f(1,2)cs 2x))＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))，
所以T＝eq \f(2π,2)＝π，ymin＝－2．
由2kπ＋eq \f(π,2)≤2x－eq \f(π,6)≤2kπ＋eq \f(3π,2)，k∈Z，
得kπ＋eq \f(π,3)≤x≤kπ＋eq \f(5π,6)，k∈Z，
又x∈[0，π]，
所以令k＝0，
得函数的单调递减区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(5π,6)))．
1．若sin eq \f(α,2)＝eq \f(\r(3),3)，则cs α等于( )
A．－eq \f(2,3) B．－eq \f(1,3) C．eq \f(1,3) D．eq \f(2,3)
C [因为sineq \f(α,2) ＝eq \f(\r(3),3)，所以cs α＝1－2sin2eq \f(α,2)＝1－2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)))eq \s\up12(2)＝eq \f(1,3)．]
2．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(π,12)－sin \f(π,12)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(π,12)＋sin \f(π,12)))的值为( )
A．－eq \f(\r(3),2)B．－eq \f(1,2)
C．eq \f(1,2)D．eq \f(\r(3),2)
D [原式＝cs2eq \f(π,12)－sin2eq \f(π,12)＝cs eq \f(π,6)＝eq \f(\r(3),2)．]
3．已知tan α＝－eq \f(1,3)，则eq \f(sin 2α－cs2α,1＋cs 2α)＝________．
－eq \f(5,6) [eq \f(sin 2α－cs2α,1＋cs 2α)＝eq \f(2sin αcs α－cs2α,1＋2cs2α－1)
＝eq \f(2sin αcs α－cs2α,2cs2α)＝tan α－eq \f(1,2)＝－eq \f(5,6)．]
4．函数f(x) ＝2cs2eq \f(x,2)＋1的最小正周期为____________；最大值是________．
2π 3 [函数f(x) ＝2cs2eq \f(x,2)＋1＝cs x＋2，
T＝eq \f(2π,ω)＝2π，f(x) max＝3．]
5．化简：eq \f(1＋cs 2α2sin2α－1tan\f(α,2),tan2\f(α,2)－1)．
[解] eq \f(1＋cs 2α2sin2α－1tan\f(α,2),tan2\f(α,2)－1)
＝2cs2α·(－cs 2α)·eq \f(tan \f(α,2),tan2\f(α,2)－1)
＝cs2αcs 2αtan α＝sin αcs αcs 2α
＝eq \f(1,2)sin 2αcs 2α＝eq \f(1,4)sin 4α．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．二倍角一定是α与2α的关系吗？
[提示] 不仅仅是α与2α的关系，应从广义上理解“二倍角”．
如：8α是4α的二倍；4α是2α的二倍；eq \f(α,2)是eq \f(α,4)的二倍；eq \f(α,3)是eq \f(α,6)的二倍；eq \f(α,2n)＝eq \f(2α,2n＋1)(n∈N*)．
2．二倍角的余弦公式的常见变形有哪些？
[提示] 常用形式：
①1＋cs 2α＝2cs2α；②cs2α＝eq \f(1＋cs 2α,2)；
③1－cs 2α＝2sin2 α；④sin2α＝eq \f(1－cs 2α,2)．
1．理解倍角公式的推导过程，知道倍角公式与和角公式之间的内在联系．(重点)
2．掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，并能运用这些公式进行简单的恒等变换．(重点、难点)
1．通过倍角公式的推导，培养学生的逻辑推理的核心素养．
2．借助倍角公式的应用，提升学生的数学运算和逻辑推理的核心素养．