人教B版 (2019)必修 第三册8.2.3 倍角公式当堂检测题

这是一份人教B版 (2019)必修 第三册8.2.3 倍角公式当堂检测题，共5页。试卷主要包含了eq \f×eq \f等于等内容，欢迎下载使用。

C．1 D．－eq \f(\r(2),2)
解析：原式
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs2\f(π,8)＋sin2\f(π,8)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs2\f(π,8)－sin2\f(π,8)))＝cseq \f(π,4)＝eq \f(\r(2),2).
答案：B
2.eq \f(2sin2α,1＋cs2α)×eq \f(cs2α,cs2α)等于( )
A．tanα B．tan2α
C．1 D.eq \f(1,2)
解析：原式＝eq \f(2sin2α,2cs2α)×eq \f(cs2α,cs2α)＝eq \f(sin2α,cs2α)＝tan2α.
答案：B
3．已知x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0))，csx＝eq \f(4,5)，则tan2x等于( )
A.eq \f(7,24) B．－eq \f(7,24)
C.eq \f(24,7) D．－eq \f(24,7)
解析：∵x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0))，csx＝eq \f(4,5)，∴sinx＝－eq \r(1－cs2x)＝－eq \f(3,5)，
∴tanx＝eq \f(sinx,csx)＝eq \f(－\f(3,5),\f(4,5))＝－eq \f(3,4)，
∴tan2x＝eq \f(2tanx,1－tan2x)＝eq \f(2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,4))),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,4)))2)＝eq \f(－\f(3,2),\f(7,16))＝－eq \f(24,7)，故选D.
答案：D
4．化简：sin40°(tan10°－eq \r(3))＝________.
解析：原式＝sin40°eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(sin10°,cs10°)－\r(3)))＝eq \f(sin40°,cs10°)(sin10°－eq \r(3)cs10°)
＝eq \f(2sin40°,cs10°)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)sin10°－\f(\r(3),2)cs10°))＝eq \f(－2sin40°,cs10°)cs40°＝eq \f(－sin80°,cs10°)＝－1.
答案：－1
5．化简：(1)eq \f(1,2)－cs2eq \f(π,8)；(2)－eq \f(2,3)＋eq \f(4,3)cs215°；
(3)eq \f(1＋sin4α－cs4α,1＋sin4α＋cs4α)；(4)eq \r(1＋cs2α)＋eq \r(1－cs2α).
解析：(1)eq \f(1,2)－cs2eq \f(π,8)＝eq \f(1,2)－eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋cs\f(π,4)))
＝－eq \f(1,2)cseq \f(π,4)＝－eq \f(\r(2),4).
(2)－eq \f(2,3)＋eq \f(4,3)cs215°＝eq \f(2,3)(2cs215°－1)＝eq \f(2,3)cs30°＝eq \f(\r(3),3).
(3)原式＝eq \f(2sin22α＋2sin2αcs2α,2cs22α＋2sin2αcs2α)＝eq \f(2sin2αsin2α＋cs2α,2cs2αcs2α＋sin2α)＝tan2α.
(4)原式＝eq \r(2cs2α)＋eq \r(2sin2α)＝eq \r(2)|csα|＋eq \r(2)|sinα|.
1．计算1－2sin222.5°的结果等于( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(2),2)
C.eq \f(\r(3),3) D.eq \f(\r(3),2)
解析：1－2sin222.5°＝cs45°＝eq \f(\r(2),2).
答案：B
2．在△ABC中，若sinBsinC＝cs2eq \f(A,2)，则△ABC是( )
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
解析：由sinBsinC＝cs2eq \f(A,2)得sinBsinC＝eq \f(1＋csA,2)，
∴2sinBsinC＝1＋csA，
∴2sinBsinC＝1＋cs[π－(B＋C)]＝1－cs(B＋C)
∴2sinBsinC＝1－csBcsC＋sinBsinC，
∴csBcsC＋sinBsinC＝1，∴cs(B－C)＝1，
又∵－180°∴△ABC是等腰三角形．
答案：B
3．若sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))＝eq \f(1,3)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)＋2α))的值是( )
A．－eq \f(7,9) B．－eq \f(1,3)
C.eq \f(1,3) D.eq \f(7,9)
解析：∵sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋α))＝eq \f(1,3)，
∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)＋2α))＝cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋α))＝2cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋α))－1
＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2－1＝－eq \f(7,9).
答案：A
4．函数f(x)＝sin2x＋eq \r(3)sinxcsx在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))上的最大值是( )
A．1 B.eq \f(1＋\r(3),2)
C.eq \f(3,2) D．1＋eq \r(3)
解析：∵f(x)＝eq \f(1－cs2x,2)＋eq \f(\r(3),2)sin2x＝eq \f(\r(3),2)sin2x－eq \f(1,2)cs2x＋eq \f(1,2)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))＋eq \f(1,2)，且eq \f(π,4)≤x≤eq \f(π,2)，∴eq \f(π,3)≤2x－eq \f(π,6)≤eq \f(5,6)π.从而可得ymax＝1＋eq \f(1,2)＝eq \f(3,2).
答案：C
5．已知taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝2，则eq \f(sin2α－cs2α,1＋cs2α)的值为( )
A．－eq \f(1,6) B.eq \f(1,6)
C.eq \f(5,6) D．－eq \f(5,6)
解析：由taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝eq \f(tanα＋1,1－tanα)＝2得tanα＝eq \f(1,3).
原式＝eq \f(2sinαcsα－cs2α,2cs2α)＝tanα－eq \f(1,2)＝eq \f(1,3)－eq \f(1,2)＝－eq \f(1,6).
答案：A
6．若α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，且sin2α＋cs2α＝eq \f(1,4)，则tanα的值等于( )
A.eq \f(\r(2),2) B.eq \f(\r(3),3)
C.eq \r(2) D.eq \r(3)
解析：∵sin2α＋cs2α＝eq \f(1,4)，∴sin2α＋cs2α－sin2α＝cs2α＝eq \f(1,4).
∴csα＝±eq \f(1,2).
又α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，∴csα＝eq \f(1,2)，sinα＝eq \f(\r(3),2).
∴tanα＝eq \r(3).
答案：D
7．若csx＝eq \f(1,3)，则cs2x－sin2x＝__________.
解析：cs2x－sin2x＝2cs2x－1－1＋cs2x＝3cs2x－2＝－eq \f(5,3).
答案：－eq \f(5,3)
8．已知taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))＝2，则eq \f(tanx,tan2x)的值为__________．
解析：cs2x－sin2x＝2cs2x－1－1＋cs2x＝3cs2x－2＝－eq \f(5,3).
答案：－eq \f(5,3)
9．已知α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，sinα＝eq \f(\r(5),5)，则tan2α＝__________.
解析：∵α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，sinα＝eq \f(\r(5),5)，
∴csα＝－eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5),5)))2)＝－eq \f(2\r(5),5).∴tanα＝－eq \f(1,2)，
∴tan2α＝eq \f(2tanα,1－tan2α)＝eq \f(2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2))),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))2)＝－eq \f(4,3).
答案：－eq \f(4,3)
10．已知α为锐角，且taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＝2.
(1)求tanα的值；
(2)求eq \f(sin2αcsα－sinα,cs2α)的值．
解析： (1)taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＝eq \f(1＋tanα,1－tanα)，
所以eq \f(1＋tanα,1－tanα)＝2,1＋tanα＝2－2tanα，所以tanα＝eq \f(1,3).
(2)eq \f(sin2αcsα－sinα,cs2α)＝eq \f(2sinαcs2α－sinα,cs2α)
＝eq \f(sinα2cs2α－1,cs2α)
＝eq \f(sinαcs2α,cs2α)＝sinα.
因为tanα＝eq \f(1,3)，所以csα＝3sinα，
又sin2α＋cs2α＝1，所以sin2α＝eq \f(1,10)，
又α为锐角，所以sinα＝eq \f(\r(10),10)，
所以eq \f(sin2αcsα－sinα,cs2α)＝eq \f(\r(10),10).
11．函数f(x)＝5eq \r(3)cs2x＋eq \r(3)sin2x－4sinxcsx.
(1)求feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,12)))；
(2)若f(α)＝5eq \r(3)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，求角α.
解析：f(x)＝5eq \r(3)cs2x＋eq \r(3)sin2x－4sinxcsx
＝5eq \r(3)cs2x＋5eq \r(3)sin2x－2sin2x－4eq \r(3)sin2x
＝5eq \r(3)－2sin2x－2eq \r(3)(1－cs2x)
＝3eq \r(3)－2sin2x＋2eq \r(3)cs2x
＝3eq \r(3)－4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin2x×\f(1,2)－cs2x×\f(\r(3),2)))
＝3eq \r(3)－4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin2xcs\f(π,3)－cs2xsin\f(π,3)))
＝3eq \r(3)－4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))，
(1)feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,12)))＝3eq \r(3)－4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)－\f(π,3)))＝3eq \r(3)－4sineq \f(π,2)
＝3eq \r(3)－4.
(2)由f(α)＝5eq \r(3)，得sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α－\f(π,3)))＝－eq \f(\r(3),2)，
由α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，得2α－eq \f(π,3)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)，\f(5π,3)))，
∴2α－eq \f(π,3)＝eq \f(4,3)π，α＝eq \f(5π,6).
12．已知tan(π＋α)＝－eq \f(1,3).
(1)求eq \f(sinπ－2α＋cs2α,2cs2α＋sin2α＋2)；
(2)若α是钝角，α－β是锐角，且sin(α－β)＝eq \f(3,5)，求sinβ的值．
解析：(1)由tan(π＋α)＝－eq \f(1,3)，得tanα＝－eq \f(1,3).
eq \f(sinπ－2α＋cs2α,2cs2α＋sin2α＋2)＝eq \f(2sinαcsα＋cs2α,4cs2α＋2sinαcsα)＝eq \f(2tanα＋1,4＋2tanα)＝eq \f(1,10).
(2)∵α为钝角，tanα＝－eq \f(1,3)，α－β为锐角，sin(α－β)＝eq \f(3,5)，
∴csα＝－eq \f(3\r(10),10)，sinα＝eq \f(\r(10),10)，cs(α－β)＝eq \f(4,5).
∴sinβ＝sin[α－(α－β)]＝sinαcs(α－β)－csαsin(α－β)
＝eq \f(13,50)eq \r(10).