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    人教B版 (2019)必修 第三册第八章 向量的数量积与三角恒等变换本章综合与测试精品当堂检测题

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    这是一份人教B版 (2019)必修 第三册第八章 向量的数量积与三角恒等变换本章综合与测试精品当堂检测题,共6页。

    (建议用时:60分钟)


    [合格基础练]


    一、选择题


    1.若平面向量b与向量a=(1,-2)的夹角是180°,且|b|=3eq \r(5),则b等于( )


    A.(-3,6) B.(3,-6)


    C.(6,-3)D.(-6,3)


    A [设b=ka=(k,-2k),k<0,而|b|=3eq \r(5),则eq \r(5k2)=3eq \r(5),k=-3,b=(-3,6).]


    2.若a,b是非零向量且满足(a-2b)⊥a,(b-2a)⊥b,则a与b的夹角是( )


    A.eq \f(π,6) B.eq \f(π,3) C.eq \f(2π,3) D.eq \f(5π,6)


    B [∵a2-2a·b=0,b2-2a·b=0, ∴a2=b2,|a|=|b|,


    又∵cs θ=eq \f(a·b,|a||b|)=eq \f(\f(1,2)a2,|a|2)=eq \f(1,2),∴θ=eq \f(π,3).]


    3.函数f(x)=cs 2x+2sin x的最小值和最大值分别为( )


    A.-3,1 B.-2,2


    C.-3,eq \f(3,2) D.-2,eq \f(3,2)


    C [f(x)=-2sin2x+2sin x+1=-2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin x-\f(1,2)))2+eq \f(3,2),sin x∈[-1,1],


    ∴f(x)max=eq \f(3,2), f(x)min=-3.]


    4.平面直角坐标系中, O为坐标原点, 已知两点A(3,1),B(-1,3), 若点C满足eq \(OC,\s\up8(→))=αeq \(OA,\s\up8(→))+βeq \(OB,\s\up8(→)), 其中α,β∈R且α+β=1, 则点C的轨迹方程为( )


    A.3x+2y-11=0B.(x-1)2+(y-2)2=5


    C.2x-y=0D.x+2y-5=0


    D [设C(x,y),则eq \(OC,\s\up8(→))=(x,y),eq \(OC,\s\up8(→))=αeq \(OA,\s\up8(→))+βeq \(OB,\s\up8(→))


    =α(3,1)+(1-α)(-1,3)=(3α,α)+(α-1,3-3α)


    =(4α-1,3-2α),∴x=4α-1,y=3-2α,


    消去α得x+2y-5=0.]


    5.函数y=sin xcs x+eq \r(3)cs 2x-eq \r(3)的图像的一个对称中心为( )


    A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)π,-\f(\r(3),2))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,6)π,-\f(\r(3),2)))


    C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(2,3)π,\f(\r(3),2))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3),-\r(3)))


    B [y=eq \f(1,2)sin 2x+eq \f(\r(3),2)(1+cs 2x)-eq \r(3)=sin2x+eq \f(π,3)-eq \f(\r(3),2),令2x+eq \f(π,3)=kπ,(k∈Z)


    x=eq \f(kπ,2)-eq \f(π,6)(k∈Z),当k=2时,x=eq \f(5π,6),∴函数图像的一个对称中心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,6)π,-\f(\r(3),2))).]


    6.设向量a=(cs 55°,sin 55°),b=(cs 25°,sin 25°),若t为实数,则|a-tb|的最小值是( )


    A.eq \f(1,2) B.1


    C.eq \f(\r(3),2) D.1+eq \r(3)


    A [|a-tb|=eq \r(a-tb2)=eq \r(a2-2ta·b+t2b2)


    =eq \r(1-2ta·b+t2)


    =eq \r(t2-2tcs 55°cs 25°+sin55°sin25°+1)


    =eq \r(t2-2cs55°-25°t+1)


    =eq \r(t2-\r(3)t+1)=eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t-\f(\r(3),2)))eq \s\up12(2)+\f(1,4)),|a-tb|的最小值为eq \f(1,2).]


    二、填空题


    7.给出下列四个命题,其中正确的序号是________.


    ①非零向量a,b满足|a|=|b|=|a-b|,则a与a+b的夹角是30°;②若(eq \(AB,\s\up8(→))+eq \(AC,\s\up8(→)))·(eq \(AB,\s\up8(→))-eq \(AC,\s\up8(→)))=0,则△ABC为等腰三角形;③若单位向量a,b的夹角为120°,则当|2a+xb|(x∈R)取最小值时x=1;④ 若eq \(OA,\s\up8(→))=(3,-4),eq \(OB,\s\up8(→))=(6,-3),eq \(OC,\s\up8(→))=(5-m,-3-m),∠ ABC为锐角,则实数m的取值范围是m>-eq \f(3,4).


    ①②③ [①中,令eq \(OA,\s\up8(→))=a,eq \(OB,\s\up8(→))=b.以eq \(OA,\s\up8(→)),eq \(OB,\s\up8(→))为邻边作平行四边形OACB.∵|a|=|b|=|a-b|,∴四边形OACB为菱形,∠AOB=60°,∠AOC=30°,即a与a+b的夹角是30°,





    故①正确.②中,∵(eq \(AB,\s\up8(→))+eq \(AC,\s\up8(→)))·(eq \(AB,\s\up8(→))-eq \(AC,\s\up8(→)))=0,∴|eq \(AB,\s\up8(→))|2=|eq \(AC,\s\up8(→))|2,


    故△ABC为等腰三角形.故②正确.


    ③中,∵(2a+xb)2=4a2+4xa·b+x2b2


    =4+4xcs 120°+x2=x2-2x+4=(x-1)2+3,


    故|2a+xb|取最小值时x=1.故③正确.


    ④中,∵eq \(BA,\s\up8(→))=eq \(OA,\s\up8(→))-eq \(OB,\s\up8(→))=(3,-4)-(6,-3)=(-3,-1),eq \(BC,\s\up8(→))=eq \(OC,\s\up8(→))-eq \(OB,\s\up8(→))=(5-m,-3-m)-(6,-3)=(-1-m,-m),又∠ABC为锐角,∴eq \(BA,\s\up8(→))·eq \(BC,\s\up8(→))>0,即3+3m+m>0,∴m>-eq \f(3,4).又当eq \(BA,\s\up8(→))与eq \(BC,\s\up8(→))同向共线时,m=eq \f(1,2),故当∠ABC为锐角时,m的取值范围是m>-eq \f(3,4)且m≠eq \f(1,2).故④不正确.]


    8.若点P(cs α,sin α)在直线y=-2x上,则sin 2α+2cs 2α=________.


    -2 [由题意知,tan α=-2,sin 2α+2cs 2α=2sin αcs α+2cs 2α-2sin2α


    =eq \f(2sin αcs α+2cs2α-2sin2α,sin2α+cs2α)=eq \f(2tan α+2-2tan2α,tan2α+1)=


    eq \f(-4+2-2×4,5)=-2.]


    9.若eq \f(1+tan α,1-tan α)=2 020,则eq \f(1,cs 2α)+tan 2α=________.


    2 020 [eq \f(1,cs 2α)+tan 2α=eq \f(1,cs 2α)+eq \f(sin 2α,cs 2α)=eq \f(1+sin 2α,cs 2α)=eq \f(cs α+sinα2,cs2α-sin2α)=eq \f(cs α+sin α,cs α-sinα)


    =eq \f(1+tan α,1-tan α)=2 020.]


    三、解答题


    10.已知△ABC的内角B满足2cs 2B-8cs B+5=0,若eq \(BC,\s\up8(→))=a,eq \(CA,\s\up8(→))=b,且a,b满足:a·b=-9,|a|=3,|b|=5,θ为a,b的夹角.求sin(B+θ).


    [解] 2(2cs2B-1)-8cs B+5=0,4cs2B-8cs B+3=0,


    得cs B=eq \f(1,2),sin B=eq \f(\r(3),2),cs θ=eq \f(a·b,|a|·|b|)=-eq \f(3,5),


    sin θ=eq \f(4,5),


    sin(B+θ)=sin Bcs θ+cs Bsin θ=eq \f(4-3\r(3),10).


    [等级过关练]


    1.已知sin 2α=eq \f(3,5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)<2α<π)),tan(α-β)=eq \f(1,2),则tan(α+β)等于( )


    A.-eq \f(2,11) B.-2


    C.-1 D.eq \f(2,11)


    B [∵sin 2α=eq \f(3,5),且eq \f(π,2)<2α<π,∴cs 2α=-eq \f(4,5),


    ∴tan 2α=-eq \f(3,4),


    ∴tan(α+β)=tan[2α-(α-β)]=eq \f(tan 2α-tanα-β,1+tan 2αtanα-β)=-2.


    2.设0≤θ<2π,已知两个向量eq \(OP1,\s\up8(→))=(cs θ,sin θ),eq \(OP2,\s\up8(→))=(2+sin θ,2-cs θ),则向量eq \(P1P2,\s\up8(→))长度的最大值是( )


    A.eq \r(2) B.eq \r(3)


    C.3eq \r(2) D.2eq \r(3)


    C [∵eq \(P1P2,\s\up8(→))=eq \(OP2,\s\up8(→))-eq \(OP1,\s\up8(→))=(2+sin θ-cs θ,2-cs θ-sin θ),


    ∴|eq \(P1P2,\s\up8(→))|=eq \r(2+sin θ-cs θ2+2-cs θ-sin θ2)=eq \r(10-8cs θ)≤3eq \r(2).


    3.函数y=(acs x+bsin x)cs x有最大值2,最小值-1,则实数a=________,b=________.


    1 ±2eq \r(2) [y=acs2x+bsin xcs x=eq \f(b,2)sin 2x+eq \f(a,2)·cs 2x+eq \f(a,2)=eq \f(\r(a2+b2),2)sin(2x+φ)+eq \f(a,2),eq \f(\r(a2+b2),2)+eq \f(a,2)=2,-eq \f(\r(a2+b2),2)+eq \f(a,2)=-1,a=1,b=±2eq \r(2).]


    4.如图所示,半圆的直径AB=2,O为圆心,C是半圆上不同于A,B的任意一点,若P为半径OC上的动点,则(eq \(PA,\s\up8(→))+eq \(PB,\s\up8(→)))·eq \(PC,\s\up8(→))的最小值是________.





    -eq \f(1,2) [因为点O是A,B的中点,所以eq \(PA,\s\up8(→))+eq \(PB,\s\up8(→))=2eq \(PO,\s\up8(→)),


    设|eq \(PC,\s\up8(→))|=x,则|eq \(PO,\s\up8(→))|=1-x(0≤x≤1).


    所以(eq \(PA,\s\up8(→))+eq \(PB,\s\up8(→)))·eq \(PC,\s\up8(→))=2eq \(PO,\s\up8(→))·eq \(PC,\s\up8(→))=-2x(1-x)


    =2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x-\f(1,2)))eq \s\up12(2)-eq \f(1,2).


    所以当x=eq \f(1,2)时,(eq \(PA,\s\up8(→))+eq \(PB,\s\up8(→)))·eq \(PC,\s\up8(→))取到最小值-eq \f(1,2).]


    5.已知函数f(x)=a(cs 2x+sin xcs x)+b.


    (1)当a>0时,求f(x)的单调递增区间;


    (2)当a<0且x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0,\f(π,2)))时,f(x)的值域是[3,4],求a,b的值.


    [解] f(x)=a·eq \f(1+cs 2x,2)+a·eq \f(1,2)sin 2x+b


    =eq \f(\r(2)a,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x+\f(π,4)))+eq \f(a,2)+b.


    (1)2kπ-eq \f(π,2)≤2x+eq \f(π,4)≤2kπ+eq \f(π,2),(k∈Z),kπ-eq \f(3π,8)≤x≤kπ+eq \f(π,8)(k∈Z),即x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ-\f(3π,8),kπ+\f(π,8))),k∈Z,


    故f(x)的单调递增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ-\f(3π,8),kπ+\f(π,8))),k∈Z.


    (2)0≤x≤eq \f(π,2),eq \f(π,4)≤2x+eq \f(π,4)≤eq \f(5π,4),-eq \f(\r(2),2)≤sin2x+eq \f(π,4)≤1,


    f(x)min=3,f(x)max=4,


    ∴a=2-2eq \r(2),b=4.


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