(最新)初三数学上册班培优讲义..直升班第10讲 二次函数和方程、不等式综合(学生版)

    二次函数和方程、

不等式综合

模块一  二次函数和方程综合

模块二  二次函数和不等式综合

模块一：二次函数和方程综合

1．函数和二次函数的交点

（1）交点求解，联立方程组，并代入求解．

（2）交点个数，联立方程组，消元得到一元二次方程，看判别式（）．

（3）交点关系，联立方程组，看判别式（），再用韦达定理．

2．一元二次方程的解也可以看成函数和二次函数的交点的横坐标．

模块二：二次函数和不等式综合

1．数形结合，可以通过二次函数和其它函数的图象解不等式．

2．根的分布：

一元二次方程根的分布问题，即一元二次方程的实根在什么区间内的问题，实质就是其相应二次函数的零点（图象与x轴的交点）问题，因此，借助于二次函数及其图象利用数形结合的方法来研究是非常有益的．

（1）0分布或k分布

（2）区间分布

已知二次函数．

（1）若点、在二次函数的图象上，求此二次函数的最小值；

（2）若、关于坐标原点成中心对称，试判断直线DE与抛物线的交点个数，并说明理由．

（1）抛物线与一次函数有交点，则a的取值范围_______．

（2）已知函数（m是常数），若一次函数的图象与该函数的图象恰好只有一个交点，则交点坐标为________________．

已知二次函数及一次函数．

（1）求该二次函数图象的顶点坐标以及它与x轴的交点坐标；

（2）将该二次函数图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，请你在图中画出这个新图象，并求出新图象与直线有三个不同公共点时m的值．

（1）抛物线与x轴两交点间距离的最大值为________．

（2）设二次函数经过点、，且其图象在x轴上所截得的线段长为．求这个二次函数的解析式．

在平面直角坐标系xOy中，抛物线过点，且当时，y取得最小值1．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）已知点，试探索是否存在满足下列条件的直线l；①直线l过点；②直线l交抛物线于E、F两点且C点恰好是线段EF的中点.若存在，请求出直线l的函数解析式：若不存在，请说明理由．

（1）二次函数的图象如图所示，则关于x的方程的根的情况是（   ）

A．有两个相等的实数根   

B．无实数根

C．有两个同号不相等实数根  

D．有两个异号实数根

（2）若方程有两个相异的实数解，则m的取值范围是________．

已知二次函数的图象如图所示，它与x轴的一个交点的坐标为，与y轴的交点坐标为．

（1）求二次函数的解析式；并求图象与x轴的另一个交点的坐标；

（2）根据图象回答：当x取何值时，．

（1）已知关于x的方程有实根，且方程的两根都大于0，则实数m的取值范围是________．

（2）已知方程的两个实根和，且，求实数a取值范围．

（1）已知关于x的方程的一个根大于0而小于2，另一个根大于4而小于6，则实数a的取值范围是______________．

（2）若关于x的方程的解都位于的范围中，求正整数m，n的值．

（1）二次函数的图像与x轴的交点个数________．

（2）给出定义：设一条直线与一条抛物线只有一个公共点，且这条直线与这条抛物线的对称轴不平行，就称直线与抛物线相切，这条直线是这条抛物线的切线，有下列命题：

①直线是抛物线的切线；

②直线与抛物线相切于点；

③直线与抛物线相切，则相切于点；

④直线与抛物线相切，则.

其中正确的命题是_____________．

（3）若方程有四个不相等实根，则a的取值范围是________．

已知：抛物线与x轴交于、，与y轴交于．

（1）求抛物线顶点D的坐标；

（2）设直线CD交x轴于点E，过点B作x轴的垂线，交直线CD于点F，将抛物线沿其对称轴上下平移，使抛物线与线段EF总有公共点．试探究：抛物线向上最多可以平移多少个单位长度，向下最多可以平移多少个单位长度？

已知：y关于x的函数的图象与x轴有交点．

（1）求k的取值范围；

（2）若、是函数图象与x轴两个交点的横坐标，且满．

①求k的值；

②当时，求y的最大值与最小值．

如图，一次函数和抛物线都经过点，．

（1）求一次函数和抛物线的解析式；

（2）求不等式的解集．（直接写出答案）

（1）已知方程有两实根，且两根都大于5，则实数a的取值范围是_______．

（2）方程的两根、满足，求实数p的取值范围．