(最新)初三数学上册班培优讲义..直升班第11讲 圆（一）（学生版）
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圆（一）
模块一 圆的基本概念
模块二 垂径定理
模块三 圆周角定理
模块一 圆的基本概念
定 义 | 示例剖析 |
圆：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆． 固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径． 由圆的定义可知： （1）圆上的各点到圆心的距离都等于半径长；在一个平面内，到圆心的距离等于半径长的点都在同一个圆上．因此，圆是在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形． （2）要确定一个圆，需要两个基本条件，一个是圆心的位置，另一个是半径的长短，其中，圆心确定圆的位置，半径长确定圆的大小． | 表示为“” |
圆心相同且半径相等的圆叫做同圆； 圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆； 能够重合的两个圆叫做等圆． |
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弦和弧： 1．连接圆上任意两点的线段叫做弦．经过圆心的弦叫做直径，并且直径是同一圆中最长的弦，直径等于半径的2倍． 2．圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧． 以A、B为端点的弧记作，读作弧AB． 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧． 3．圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆． 4．在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧． | 表示：劣弧 优弧或 |
圆心角和圆周角： 1．顶点在圆心的角叫做圆心角． 2．顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角． | |
扇形和弓形 1．一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫扇形，设扇形的圆心角为，则扇形的面积和弧长：，． 2．由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形． |
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模块二 垂径定理
1．圆的对称性
圆是轴对称图形，也是中心对称图形，其对称轴是任意一条过原点的直线，对称中心是圆心．
2．垂径定理
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
注意：垂径定理中的五个元素——“过圆心”、“垂直弦”、“平分弦”、“平分优弧”、“平分劣弧”，构成知二推三.
模块三 圆周角定理
定理 | 示例 |
定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都相等，且都等于它所对的圆心角的一半． | 如图，． |
推论1：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弧（或弦）是半圆（或直径）． | 如图，是半圆（AB是直径），则 |
推论2：圆内接四边形的对角互补． | 如图，四边形ABCD是的内接四边形，则，由推论2，我们可以得到圆内接四边形的外角等于内对角，如图，即． |
判断下列正误．
（1）半径相等的两个圆是等圆 （ ）
（2）过圆心的线段是直径 （ ）
（3）半圆所对的弦是直径 （ ）
（4）直径是圆中最大的弦 （ ）
（5）半圆是弧 （ ）
（6）长度相等的弧是等弧 （ ）
（7）两个端点能够重合的弧是等弧 （ ）
（8）圆中任意一条弦所对的弧有两条，其中一条优弧，一条劣弧 （ ）
（9）圆的半径是R，则弦长的取值范围是大于0且不大于2R （ ）
（1）如图2-1，AB为的直径，CD是的弦，AB、CD的延长线交于点E，若，，__________．
（2）如图2-2，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16cm2，则该半圆的半径为__________．
图2-1 图2-2
（1）如图3-1，CD为的直径，于E，，，则__________．
（2）如图3-2，矩形ABCD与圆心在AB上的交于点G、B、F，，，，则_________．
（3）（安徽芜湖中考）如图3-3，在内有折线OABC，其中，，，则的长为______．
图3-1 图3-2 图3-3
（1）如图4-1，过内一点M的最长弦长为12cm，最短弦长为8cm，则OM长为_________．
（2）如图4-2，点P是半径为5的内一点，且，在过点P的所有的弦中，弦的长度为整数的条数有___________．
图4-1 图4-2
（1）直径为50cm的中，弦AB//弦CD，又，，则AB和CD两弦的距离为________．
（2）（郴州中考）已知在中，半径，AB、CD是两条平行弦，且，，则AC的长为_______．
如图，P为外一点，过点P引两条割线PAB和PCD，点M，N分别是，的中点，连接MN交AB，CD与E，F．
（1）求证：为等腰三角形；
（2）探究：当点P在上或内时其它条件不变，结论还成立吗?
图6-1 图6-2 图6-3
（1）已知A、B为圆周上任意两点，C是优弧上一点，请你判断与的大小关系．
根据上面的推理，可以发现_________________________________________．
（2）若点D是优弧上任意一点，试判断与的大小关系．根据上面的推理，可以发现：___________________________________．
（3）如果点D在劣弧上，此时和的大小关系还一样吗？可以得到什么结论？
（1）一条弦分圆为两部分，则这条弦所对圆周角的度数为__________．
（2）如图8-1，A、B、C、D是上的点，直径AB交CD于点E，已知，，则________．
（3）如图8-2，AB为的弦，的两边BC、AC分别交于D、E两点，，，则________．
（4）如图8-3，内接于，AB是直径，，，CD平分，则弦BD的长为________．
图8-1 图8-2 图8-3
如图，是的内接三角形，点C是优弧AB上一点（点C不与A，B重合），设，．猜想与之间的关系，并给予证明．
如图，CD是的直径，，AE交于B，且，求的度数．
（1）如图2-1，点A、D、G、M在半圆O上，四边形ABOC、DEOF、HMNO均为矩形，设，，，则下列选项中正确的是（ ）.
A． B． C． D．
（2）（河南中考）如图2-2，在半径为，圆心角等于的扇形AOB内部作一个正方形CDEF，使点C在OA上，点D、E在OB上，点F在上，则阴影部分的面积为（结果保留）__________．
图2-1 图2-2
（1）如图3-1，是一条水平铺设的直径为2米的通水管道横截面，其水面宽为1.6米，则这条管道中此时水最深为___________米．
（2）如图3-2，已知C是弧AB的中点，半径OC与弦AB相交于点D，如果，，那么__________．
（3）（安徽中考）如图3-3，过点．圆心在等腰直角的内部，，，，则的半径为_____________．
图3-1 图3-2 图3-3
（1）过内一点M的最长的弦长为6cm，最短的弦长为4cm，则OM的长等于_________．
（2）已知的直径是10cm，的两条平行弦，，则弦AB与CD间的距离为_________．
（湖北中考）如图，AB是的直径，且，弦MN的长为8，若弦MN的两端在圆上滑动时，始终与AB相交，记点A、B到MN的距离分别为，，则等于________．
如图，已知AB是半圆O的直径，C为半圆周上一点，M是的中点，于N，试判断MN与AC的数量关系并证明．
（1）（四川成都中考）如图7-1，内接于，，，AD为的直径，，那么_________．
（2）（四川南充中考）如图7-2，AB是的直径，点C、D在上，，，则（ ）．
A． B． C． D．
（3）（山东泰安中考）如图7-3，的半径为1，AB是的一条弦，且，则弦AB所对圆周角的度数为__________．
图7-1 图7-2 图7-3
