(最新)初三数学上册班培优讲义..直升班第13讲 圆（三）（学生版）
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圆（三）
模块一 切线的性质和判定
模块二 切线长定理
模块三 弦切角定理
模块一 切线的性质和判定
1．切线的性质：
定理：圆的切线垂直于过切点的半径.
如图，直线AB与相切于点P，连接OP，则.
推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
总结：根据圆的切线性质定理，以后在题中看到圆的切线，连半径，得垂直.
2．切线的判定：
定义：和圆只有一个交点的直线是圆的切线．
距离：到圆心距离等于半径的直线是圆的切线．
定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
根据圆的切线判定定理，以后在题中证明圆的切线，连半径，证垂直.
模块二 切线长定理
1．切线长定理：
切线长：过圆外一点画圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．
切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线长相等，并且这点和圆心的连线平分两条切线的夹角．
如图所示，PA、PB分别与切于点A、B，则，OP平分．
2．三角形的内切圆
和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，内心是三条内角平分线的交点．
注意：（1）内心的确定：三条内角平分线的交点，内心一定在三角形的内部．
（2）内心到三角形的三边距离相等，都等于内切圆的半径．
（3）常见结论：如图，，，，，．
模块三 弦切角定理
1．弦切角定理：
弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角.
弦切角就是切线与弦所夹的角．
弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角．
如图所示，直线AB切圆O于点A，AC为圆O的弦，是弦切角所夹的弧，是所对的圆周角，则．
（1）如图1-1，AB是的直径，，AC是的弦，过点C的切线交AB的延长线于点D，若，则__________．
（2）如图1-2，直线AB与相切于点A，AC、CD是的两条弦，且，若的半径为，，则弦AC的长为_________．
（3）如图1-3，CB切于点B，CA交于点D且AB为的直径，点E是上异于点A、D的一点．若，则的度数为________．
图1-1 图1-2 图1-3
（4）PA，PB是的切线，C是圆周上异于A、B的一点，若，则__________．
已知：如图，AB是的直径，直线CD与相切于点C，AC平分．
（1）求证：；
（2）若，，求直径AB的长．
（1）如图3-1，在中，，以BC为直径的与边AB相交于点D，，垂足为点E．判断DE与的位置关系，并证明你的结论；
（2）已知：如图3-2，中，，以AC为直径的半圆O交AB于F，E是BC的中点．求证：直线EF是半圆O的切线．
图3-1 图3-2
（3）已知：如图3-3，P是的角平分线OC上一点，于E．以P点为圆心，PE长为半径作．求证：与OB相切．
（4）如图3-4，已知O是正方形ABCD对角线上一点，以O为圆心、OA长为半径的与BC相切于M，与AB、AD分别相交于E、F．
①求证：CD与相切；
②若正方形ABCD的边长为1，求的半径．
图3-3 图3-4
已知，如图，AB是的直径，点E是的中点，连接BE交AC于点G，BG的垂直平分线CF交BG于H交AB于F点．
（1）求证：BC是的切线；
（2）若，，求BE的长．
如图5-1所示，在中，，，O为BC的中点，动点E在BA边上自由移动，动点F在AC边上自由移动．
（1）点E，F的移动过程中，是否能成为的等腰三角形？若能，请直接写出为等腰三角形时动点E，F的位置；若不能，请说明理由．
（2）当时，设，，求y与x之间的函数解析式，写出x的取值范围．
（3）在满足（2）中的条件时，若以O为圆心的圆与AB相切（如图5-2），试探究直线EF与位置关系，并证明你的结论．
（1）如图6-1，PA、PB、DE分别切于A、B、C，若，周长为16，则的半径为______________．
（2）如图6-2，梯形ABCD中，，O是AB上一点，以O为圆心的半圆与AD、CD、BC都相切．已知，，则AB的长为______________．
图6-1 图6-2
（1）如图7-1所示，的内切圆与三边AB、BC、CA分别切于D、E、F，，，，则__________，__________，=___________．
（2）如图7-2，为的内切圆，，，，则内切圆半径为________．
图7-1 图7-2
如图，BC为半圆的直径，O为圆心，，AD与半圆相切于D，，．求证：．
已知AB是的弦，直线l在平面上，过A、B两点分别作于点C，于点D．
（1）如图9-1，若AB是的直径，直线l切于点E，过点E作于点F．求证：；
（2）如图9-2，AB是的弦，直线l切于点E，过点E作于点F，此时EF、AC、BD有什么关系？
（3）如图9-3，AB是的弦，直线l交于、两点，过、分别作于点，于点，此时直接写出、、AC、BD有什么关系？
图9-1 图9-2 图9-3
如图，已知AB为的弦，C为上一点，∠C=∠BAD，且BD⊥AB于B．
（1）求证：AD是的切线．
（2）若的半径为3，，求AD的长．
（1）如图1-1，PA切于A，PO交于，若，，则的半径是_____．
（2）如图1-2，半径为3的切直线AC于B，，，则的度数是_______．
（3）如图1-3，AB是的直径，点C在AB的延长线上，CD与相切于点D．若，则________．
图1-1 图1-2 图1-3
已知：如图，在中，，点E在斜边AB上，以AE为直径的与BC边相切于点D，连接AD．
（1）求证：AD是的平分线；
（2）若，，求的半径．
如图，，以AB为直径的交AC于点D，过D作，垂足为E．
（1）求证：DE是的切线；
（2）作交于G，垂足为F，若，，求弦DG的长．
如图，在中，，以AB为直径的交AC于点D，E是BC的中点，连接DE．
（1）求证：DE与相切；
（2）连接OE，若，，求OE的长．
（1）如图，是的内切圆，D、E、F是切点，，，，又直线切于G，交AB、BC于M、N，则的周长为______________．
（2）中，，，，则的内切圆半径_________．
已知：如图，C为上一点，DA交于B，连接AC、BC，且．
求证：（1）DC为的切线；（2）．
