(最新)初三数学上册班培优讲义.直升班第12讲 圆（二）（学生版）

圆（二）     

模块一  弧、弦、圆心角、圆周角、弦心距之间的关系

模块二  基本定理综合

模块三  点、直线和圆的位置关系初步

模块一  弧、弦、圆心角、圆周角、弦心距之间的关系

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等．

推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等．

总结：在同圆或等圆中，弧、弦、圆心角、圆周角和弦心距的关系．

1．弧、圆心角、圆周角可以转换，弧相等，则圆心角相等，圆周角相等；圆心角相等，则弧相等，圆周角相等．

2．弦和弦心距可以相互转化，弦相等，则弦心距相等；弦心距相等，弦相等．

3．弧和弦不可以相互转化，弧相等，则弦相等；弦相等，弧不一定相等，因为弧对应的弦只有一条，而弦对应的弧有两条．

模块二  基本定理综合

模块三  点、直线和圆的位置关系初步

1．点和圆的位置关系有三种：

点在圆上、点在圆内和点在圆外，这三种关系由这个点到圆心的距离与半径的大小关系决定．设的半径为r，点P到圆心O的距离为d，

则有：点在圆外；

点在圆上；

点在圆内.

2．三角形的外接圆

（1）确定圆的条件：不在同一直线上的三点确定一个圆．

（2）外接圆定义：经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．

注意：

（1）外心的确定：三条垂直平分线的交点，锐角三角形的外心在它的内部；直角三角形的外心在斜边中点处（即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半）；钝角三角形的外心在它的外部．

（2）外心到三个顶点的距离相等，都等于外接圆的半径．

3．直线和圆的关系有三种：相交、相切和相离．

（1）如图1-1，已知中，，，则__________．

（2）如图1-2，，弦AB与弦CD交于点E，，则等于_______．

（3）如图1-3，中，，截的三边所截得的弦都相等，则_____．

图1-1                    图1-2                          图1-3

已知：如图，MN是的直径，点A是半圆上一个三等分点，点B是的中点，P是MN上一动点，的半径为1，则的最小值是__________．

（1）在同圆中，所对的圆心角小于，且（可以是优弧），那么弦AB和弦CD的大小关系为（    ）

A．        B．        C．        D．无法确定

（2）（嘉祥月考）如图，在中，，那么（    ）

A．       B．

C．         D．与的大小关系不能确定

已知：在半径为的内，有互相垂直的两条弦AB，CD，它们相交于P点．

（1）设BC的中点为F，连接FP并延长交AD于E，求证：．

（2）若，，求O、P两点之间的距离．

如图所示，圆O是的外接圆，与的平分线相交于点，延长交圆于点，连结BD、CD．

（1）求证：．

（2）若圆O的半径为10cm，，求的面积．

如图，已知是的内接三角形，，点P是的中点，连接PA，PB，PC．

（1）如图6-1，若．求证：．

（2）如图6-2，若，求的值．

图6-1                                            图6-2

在中，，M是它的外接圆上包含点C的的中点，AC上的点X使得，求证：．

（1）已知矩形ABCD的边，．如果以点A为圆心作，使B、C、D三点中在圆内和在圆外都至少有一个点，那么的半径的取值范围是___________．

（2）（七中育才月考）一个已知点到圆周上的点的最大距离为5cm，最小距离为1cm，则此圆的半径为___________．

（1）确定已知弧所在圆的圆心．

（2）在中，，，，则它的外接圆的直径为_______．

（3）中，，，则其外接圆的半径为_______．

（1）如图10-1，为等边三角形，，动点O在的边上从点A出发沿着的路线匀速运动一周，速度为1个长度单位每秒，以O为圆心，为半径的圆在运动过程中与的边第二次相切时是出发后第__________秒．

（2）如图10-2，直线AB、CD相交于点O，，半径为1cm的的圆心在直线AB上，开始时，．如果以1cm/秒的速度沿由A向B的方向移动，那么当的运动时间t(秒)满足条件              时，与直线CD相交．

图10-1                                          图10-2

（1）如果两条弦相等，那么（　　）

A．这两条弦所对的弧相等      B．这两条弦所对的圆心角相等

C．这两条弦的弦心距相等      D．以上答案都不对

（2）如图，在中，，，则________．

如图，AC为的直径，，B、D分别在AC两侧的圆上，，BD与AC的交点为E．

（1）求点O到BD的距离及的度数；

（2）若，求CD的长．

已知：如图，在中，，以AB为直径的分别交BC、AC于点D、E，连接EB交OD于点F．

（1）求证：．

（2）若，，求AE的长．

已知点A、B、C、D顺次在上，，于M，求证：．

（1）定义：定点A与上的任意一点之间的距离的最小值称为点A与之间的距离．现有一矩形ABCD如图，，，与矩形的边AB、BC、CD分别相切于点E、F、G，则点A与的距离为______．

（2）一个已知点到圆周上的点的最大距离为8cm，最小距离为2cm，则此圆的半径________．

（3）如图，已知，在ON上有一点P，，若以P点为圆心，r为半径作圆，当射线OM与只有一个公共点时，半径r的取值范围是____________．

已知中，，D是外接圆劣弧上的点（不与点A，C重合），延长BD至E．

（1）求证：AD的延长线平分；

（2）若，中BC边上的高为，求外接圆的面积．