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人教版（2024）九年级上册22.2二次函数与一元二次方程评优课ppt课件
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这是一份人教版（2024）九年级上册22.2二次函数与一元二次方程评优课ppt课件，文件包含人教版数学九年级上册222《二次函数与一元二次方程》课件pptx、人教版数学九年级上册222《二次函数与一元二次方程》教案docx等2份课件配套教学资源，其中PPT共30页， 欢迎下载使用。
函数与方程是初中阶段的重点内容。八年级下册学生学习了一次函数，研究了一次函数与一元一次方程(二元一次方程组)的联系，本节课加深函数与方程的联系，利用二次函数研究一元二次方程，用函数的观点看方程，可以把方程看成函数值为某个定值时的情况，所以，研究函数与方程的关系是对函数的进一步深化。本章专设一节，通过探讨二次函数与一元二次方程的联系，再次展示函数与方程之间的联系。这样既深化学生对一元二次方程的认识，又可以运用二次函数解决一元二次方程的相关问题，体现了知识之间的联系。
1.通过探索，理解二次函数与一元二次方程之间的联系.2.能运用二次函数的图象与性质确定方程的解.3.了解用图象法求一元二次方程的近似根.
1．若一次函数y＝kx＋b的图象经过点(0，1)，(1，0)，则方程kx＋b＝0的解是___________．
2．一次函数y＝kx＋b的图象如图所示，则方程kx＋b＝－3的解是____________．
3．对于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当y取一个确定值时，它就变成了一个一元二次方程，由此可知一元二次方程与二次函数有着密切的关系．那么，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)之间到底有怎样的关系呢？
探究：以40 m /s的速度将小球沿与地面成 30°角的方向击出时，球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度 h (单位:m)与飞行时间 t (单位:s)之间具有关系：h= 20t–5t2 . 考虑下列问题:（1）小球的飞行高度能否达到 15 m? 若能，需要多少时间?（2）小球的飞行高度能否达到 20 m? 若能，需要多少时间?（3）小球的飞行高度能否达到 20.5 m？为什么？（4）小球从飞出到落地要用多少时间?
[分析]由于小球的飞行高度h与飞行时间t有函数关系:h＝20t－5t2，所以可以将问题中h的值代入函数解析式，得到关于t的一元二次方程．[注意]根据实际问题，讨论h的取值．
（1）解：当h=15时，20t-5t2=15， 解得，t1=1，t2=3.当球飞行1s和3s时，它的高度为15m.
(2)小球的飞行高度能否达到20 m？如果能，需要多少飞行时间？
解方程： 20=20t-5t2 t2-4t+4=0 t1=t2=2.
当小球飞行2 s时，它的高度为20 m.
结合图形，你知道为什么在问题一中有两个点符合题意，而在问题二中只有一个点符合题意？
(3)球的飞行高度能否达到20.5 m？为什么？
解方程： 20.5=20t-5t2 t2-4t+4.1=0因为(-4)2-4×4.1<0，所以方程无实数根.即球的飞行高度达不到20.5 m.
(4)小球从飞出到落地要用多少时间？
解方程 0=20t-5t2 t2-4t=0 t1=0，t2=4.
当小球飞行0 s和4 s时，它的高度为0 m.这表明小球从飞出到到落地要用4 s，即0 s时小球从地面飞出，4 s时小球落回地面.
小球飞出时和落地时的高度都为0 m.
从以上可以看出：已知二次函数y的值为m，求相应自变量x的值，就是求相应一元二次方程的解.例如，已知二次函数y=-x2+4x的值为3，求自变量x的值.就是求方程3=-x2+4x的解.例如，解方程x2-4x+3=0，就是已知二次函数y=x2-4x+3的值为0，求自变量x的值.
从上面发现，二次函数y=ax2+bx+c何时为一元二次方程?
一般地，当y取定值且a≠0时，二次函数为一元二次方程.
二次函数与一元二次方程的关系：
已知二次函数，求自变量的值
观察思考下列二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少？由此你能得出相应的一元二次方程的根吗？（1）y=x2+x-2；（2）y=x2-6x+9；（3）y=x2-x+1.
二次函数y =x2+x-2，y=x2-6x+9，y =x2–x+1的图象如图所示.
x2-6x+9=0，x1=x2=3
x2+x-2=0，x1=-2,x2=1
由上述问题，你可以得到什么结论呢？
方程ax2+bx+c=0的解就是抛物线y=ax2+bx+c与x轴公共点的横坐标。当抛物线与x轴没有公共点时，对应的方程无实数根.
二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的位置关系有三种：
例1 利用函数图象求方程x2-2x-2=0的实数根(结果保留小数点后一位).
解：画出y=x2-2x-2的图象
y = x2－2x－2
它与x轴的公共点的横坐标大约是-0.7，2.7.所以方程x2-2x-2=0的实数根为x1≈ -0.7，x2≈2.7.
思考：利用二次函数的图象解一元二次方程的基本步骤有哪些？
1.画出函数的图象；2.根据图象确定抛物线与x轴的交点分别在哪两个相邻的整数 之间；3.利用计算器探索其解的十分位数字，从而确定方程的近似根.
【知识技能类作业】必做题：
2.下列抛物线中，与x轴有两个交点的是( ) A．y＝3x2－5x＋3 B．y＝4x2－12x＋9 C．y＝x2－2x＋3 D．y＝2x2＋3x－4
3.二次函数y＝x2+bx+c的图象如图所示，则其对称轴方程是 ，方程x2+bx+c＝0的解是 ．4.下表是一组二次函数y＝x2＋3x－5的自变量x与函数值y的对应值：那么方程x2＋3x－5＝0的一个近似根是 。
【知识技能类作业】选做题：
5.已知函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，求k的取值范围．
解：当k＝3时，函数y＝2x＋1是一次函数．∵一次函数y＝2x＋1与x轴有一个交点，∴k＝3；当k≠3时，y＝(k－3)x2＋2x＋1是二次函数．∵二次函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，∴Δ＝b2－4ac≥0.∵b2－4ac＝22－4(k－3)＝－4k＋16，∴－4k＋16≥0.∴k≤4且k≠3.综上所述，k的取值范围是k≤4.
6.已知：抛物线y＝x2＋ax＋a－2.(1)求证：不论a取何值时，抛物线y＝x2＋ax＋a－2与x轴都有两个不同的交点；(2)设这个二次函数的图象与x轴相交于A(x1，0)，B(x2，0)，且x1、x2的平方和为3，求a的值．
(1)证明：∵Δ＝a2－4(a－2)＝(a－2)2＋4＞0，∴不论a取何值时，抛物线y＝x2＋ax＋a－2与x轴都有两个不同的交点；(2)解：∵x1＋x2＝－a，x1·x2＝a－2，∴x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1·x2＝a2－2a＋4＝3，∴a＝1.
解：∵抛物线y＝－x2＋mx＋3过点B(3，0)， ∴0＝－9＋3m＋3， ∴m＝2.
(2)抛物线上有一点P，满足S△ABP＝4S△ABD，求点P的坐标．
二次函数与一元二次方程
二次函数与一元二次方程的关系
y=ax2+bx+c(a ≠0)，当y取定值时就成了一元二次方程；ax2+bx+c=0(a ≠0),右边换成y时就成了二次函数.
二次函数与一元二次方程根的情况
二次函数与x轴的交点个数
一、二次函数与一元二次方程的联系 二、二次函数图象与x轴交点问题
3.如图，直线y＝mx＋n与抛物线y＝ax2＋bx＋c 交于A(－1，p)，B(4，q)两点，则关于x的不 等式mx＋n＞ax2＋bx＋c的解集是______________．4.二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象如图，若点A(x1，y1)，B(x2，y2)在此函数图象上，且x1
(2)设二次函数的图象交y轴于点C，求△ABC的面积．
函数与方程是初中阶段的重点内容。八年级下册学生学习了一次函数，研究了一次函数与一元一次方程(二元一次方程组)的联系，本节课加深函数与方程的联系，利用二次函数研究一元二次方程，用函数的观点看方程，可以把方程看成函数值为某个定值时的情况，所以，研究函数与方程的关系是对函数的进一步深化。本章专设一节，通过探讨二次函数与一元二次方程的联系，再次展示函数与方程之间的联系。这样既深化学生对一元二次方程的认识，又可以运用二次函数解决一元二次方程的相关问题，体现了知识之间的联系。
1.通过探索，理解二次函数与一元二次方程之间的联系.2.能运用二次函数的图象与性质确定方程的解.3.了解用图象法求一元二次方程的近似根.
1．若一次函数y＝kx＋b的图象经过点(0，1)，(1，0)，则方程kx＋b＝0的解是___________．
2．一次函数y＝kx＋b的图象如图所示，则方程kx＋b＝－3的解是____________．
3．对于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当y取一个确定值时，它就变成了一个一元二次方程，由此可知一元二次方程与二次函数有着密切的关系．那么，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)之间到底有怎样的关系呢？
探究：以40 m /s的速度将小球沿与地面成 30°角的方向击出时，球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度 h (单位:m)与飞行时间 t (单位:s)之间具有关系：h= 20t–5t2 . 考虑下列问题:（1）小球的飞行高度能否达到 15 m? 若能，需要多少时间?（2）小球的飞行高度能否达到 20 m? 若能，需要多少时间?（3）小球的飞行高度能否达到 20.5 m？为什么？（4）小球从飞出到落地要用多少时间?
[分析]由于小球的飞行高度h与飞行时间t有函数关系:h＝20t－5t2，所以可以将问题中h的值代入函数解析式，得到关于t的一元二次方程．[注意]根据实际问题，讨论h的取值．
（1）解：当h=15时，20t-5t2=15， 解得，t1=1，t2=3.当球飞行1s和3s时，它的高度为15m.
(2)小球的飞行高度能否达到20 m？如果能，需要多少飞行时间？
解方程： 20=20t-5t2 t2-4t+4=0 t1=t2=2.
当小球飞行2 s时，它的高度为20 m.
结合图形，你知道为什么在问题一中有两个点符合题意，而在问题二中只有一个点符合题意？
(3)球的飞行高度能否达到20.5 m？为什么？
解方程： 20.5=20t-5t2 t2-4t+4.1=0因为(-4)2-4×4.1<0，所以方程无实数根.即球的飞行高度达不到20.5 m.
(4)小球从飞出到落地要用多少时间？
解方程 0=20t-5t2 t2-4t=0 t1=0，t2=4.
当小球飞行0 s和4 s时，它的高度为0 m.这表明小球从飞出到到落地要用4 s，即0 s时小球从地面飞出，4 s时小球落回地面.
小球飞出时和落地时的高度都为0 m.
从以上可以看出：已知二次函数y的值为m，求相应自变量x的值，就是求相应一元二次方程的解.例如，已知二次函数y=-x2+4x的值为3，求自变量x的值.就是求方程3=-x2+4x的解.例如，解方程x2-4x+3=0，就是已知二次函数y=x2-4x+3的值为0，求自变量x的值.
从上面发现，二次函数y=ax2+bx+c何时为一元二次方程?
一般地，当y取定值且a≠0时，二次函数为一元二次方程.
二次函数与一元二次方程的关系：
已知二次函数，求自变量的值
观察思考下列二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少？由此你能得出相应的一元二次方程的根吗？（1）y=x2+x-2；（2）y=x2-6x+9；（3）y=x2-x+1.
二次函数y =x2+x-2，y=x2-6x+9，y =x2–x+1的图象如图所示.
x2-6x+9=0，x1=x2=3
x2+x-2=0，x1=-2,x2=1
由上述问题，你可以得到什么结论呢？
方程ax2+bx+c=0的解就是抛物线y=ax2+bx+c与x轴公共点的横坐标。当抛物线与x轴没有公共点时，对应的方程无实数根.
二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的位置关系有三种：
例1 利用函数图象求方程x2-2x-2=0的实数根(结果保留小数点后一位).
解：画出y=x2-2x-2的图象
y = x2－2x－2
它与x轴的公共点的横坐标大约是-0.7，2.7.所以方程x2-2x-2=0的实数根为x1≈ -0.7，x2≈2.7.
思考：利用二次函数的图象解一元二次方程的基本步骤有哪些？
1.画出函数的图象；2.根据图象确定抛物线与x轴的交点分别在哪两个相邻的整数 之间；3.利用计算器探索其解的十分位数字，从而确定方程的近似根.
【知识技能类作业】必做题：
2.下列抛物线中，与x轴有两个交点的是( ) A．y＝3x2－5x＋3 B．y＝4x2－12x＋9 C．y＝x2－2x＋3 D．y＝2x2＋3x－4
3.二次函数y＝x2+bx+c的图象如图所示，则其对称轴方程是 ，方程x2+bx+c＝0的解是 ．4.下表是一组二次函数y＝x2＋3x－5的自变量x与函数值y的对应值：那么方程x2＋3x－5＝0的一个近似根是 。
【知识技能类作业】选做题：
5.已知函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，求k的取值范围．
解：当k＝3时，函数y＝2x＋1是一次函数．∵一次函数y＝2x＋1与x轴有一个交点，∴k＝3；当k≠3时，y＝(k－3)x2＋2x＋1是二次函数．∵二次函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，∴Δ＝b2－4ac≥0.∵b2－4ac＝22－4(k－3)＝－4k＋16，∴－4k＋16≥0.∴k≤4且k≠3.综上所述，k的取值范围是k≤4.
6.已知：抛物线y＝x2＋ax＋a－2.(1)求证：不论a取何值时，抛物线y＝x2＋ax＋a－2与x轴都有两个不同的交点；(2)设这个二次函数的图象与x轴相交于A(x1，0)，B(x2，0)，且x1、x2的平方和为3，求a的值．
(1)证明：∵Δ＝a2－4(a－2)＝(a－2)2＋4＞0，∴不论a取何值时，抛物线y＝x2＋ax＋a－2与x轴都有两个不同的交点；(2)解：∵x1＋x2＝－a，x1·x2＝a－2，∴x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1·x2＝a2－2a＋4＝3，∴a＝1.
解：∵抛物线y＝－x2＋mx＋3过点B(3，0)， ∴0＝－9＋3m＋3， ∴m＝2.
(2)抛物线上有一点P，满足S△ABP＝4S△ABD，求点P的坐标．
二次函数与一元二次方程
二次函数与一元二次方程的关系
y=ax2+bx+c(a ≠0)，当y取定值时就成了一元二次方程；ax2+bx+c=0(a ≠0),右边换成y时就成了二次函数.
二次函数与一元二次方程根的情况
二次函数与x轴的交点个数
一、二次函数与一元二次方程的联系 二、二次函数图象与x轴交点问题
3.如图，直线y＝mx＋n与抛物线y＝ax2＋bx＋c 交于A(－1，p)，B(4，q)两点，则关于x的不 等式mx＋n＞ax2＋bx＋c的解集是______________．4.二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象如图，若点A(x1，y1)，B(x2，y2)在此函数图象上，且x1
(2)设二次函数的图象交y轴于点C，求△ABC的面积．
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