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第二十二章 二次函数
22.2 二次函数与一元二次方程
1.通过探索,理解二次函数与一元二次方程之间的联系;
2.能运用二次函数及其图象、性质确定方程的解;
3.了解用图象法求一元二次方程的近似根.
重点:能运用二次函数及其图象、性质确定方程的解.
难点:理解二次函数与一元二次方程之间的联系.
1.抛物线y=-x2-2x+3与x轴交点为_______________,与y轴交点为________.
(-3, 0)、(1, 0)
(0, 3)
2.若二次函数y=x2-6x+3k的图象与x轴有两个交点,则k的取值范围是 .
b2-4ac > 0
36-12k > 0
k <3
k <3
3.二次函数y=x2+bx的图象如图,对称轴为x=1.若关于x的一元二次方程x2+bx-t=0(为实数)在-1<x<4的范围内有解,则t的取值范围是_________.
-1≤t<8
-1
3
4
(4, 8)
(1,-1)
如图,以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时,球的飞行路线将是一条抛物线,如果不考虑空气的阻力,球的飞行高度h(单位:m)与飞行时间t(单位:s)之间具有关系:h=20t-5t2,考虑以下问题:
15
1
3
∴当小球飞行1s或3s时,它的高度为15m.
t1=1,t2=3.
h=20t-5t2
解:解方程 15=20t-5t2,
t2-4t+3=0,
20
4
当小球飞行2秒时,它的高度为20米.
h=20t-5t2
解方程:
20=20t-5t2,
t2-4t+4=0,
t1=t2=2.
20.5
h=20t-5t2
解方程:
20.5=20t-5t2,
t2-4t+4.1=0,
因为(-4) -4×4.1<0,所以方程无解.
即小球的飞行高度达不到20.5米.
当小球飞行0秒和4秒时,它的高度为0米.
即0秒时小球从地面飞出,4秒时小球落回地面.
h=20t-5t2
0=20t-5t2,
t2-4t=0,
t1=0,t2=4.
这表明小球从飞出到落地要用4s.
从上面发现,二次函数 y = ax2+bx+c何时为一元二次方程?
如:y=5时,则5=ax2+bx+c就是一个一元二次方程.
所以二次函数与一元二次方程联系密切.
例如,已知二次函数y = -x2+4x的值为3,求自变量x的值,可以解一元二次方程-x2+4x=3(即x2-4x+3=0).
反过来,解方程x2-4x+3=0 又可以看作已知二次函数 y = x2-4x+3 的值为0,求自变量x的值.
下列二次函数的图象与x轴有公共点吗?如果有,公共点的横坐标是多少?当x取公共点的横坐标时,函数值是多少?由此你能得出相应的一元二次方程的根吗? (1)y=x2+x-2; (2)y=x2-6x+9; (3)y=x2-x+1.
利用二次函数深入讨论一元二次方程
观察图象,完成下表
0个
1个
2个
x2-x+1=0无解
0
x2-6x+9=0,x1=x2=3
-2, 1
x2+x-2=0,x1=-2,x2=1
有两个交点
有两个不相等的实数根
b2-4ac > 0
有一个交点
有两个相等的实数根
b2-4ac = 0
没有交点
没有实数根
b2-4ac < 0
二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0根的关系
例1. 已知关于x的二次函数y=mx2-(m+2)x+2(m≠0).(1)求证:此抛物线与x轴总有两个交点;(2)若此抛物线与x轴总有两个交点,且它们的横坐标都是整数,求正整数m的值.
(1)证明:∵m≠0,
∴Δ=(m+2)2-4m×2=m2+4m+4-8m=(m-2)2.
∵(m-2)2≥0,
∴Δ≥0,
∴此抛物线与x轴总有两个交点;
例1. 已知关于x的二次函数y=mx2-(m+2)x+2(m≠0).(1)求证:此抛物线与x轴总有两个交点;(2)若此抛物线与x轴总有两个交点,且它们的横坐标都是整数,求正整数m的值.
(2)解:令y=0,则(x-1)(mx-2)=0,
所以 x-1=0或mx-2=0,
当m为正整数1或2时,x2为整数,即抛物线与x轴总有两个交点,且它们的横坐标都是整数.
所以正整数m的值为1或2.
即当铅球离地面的高度为2.1m时,它离初始位置的水平距离是1m或5m.
解: (1)由抛物线的表达式得
解得
即当铅球离地面的高度为2.5m时,它离初始位置的水平距离是3m.
解:由抛物线的表达式得
即
解得
所以铅球离地面的高度不能达到3m.
解:由抛物线的表达式得
即
因为
所以方程无实根.
图象法解一元二次方程
所以方程x2-2x-2=0的实数根为x1≈-0.7,x2≈2.7.
解:作y=x2-2x-2的图象(如右图所示),
它与x轴的公共点的横坐标大约是-0.7,2.7.
判断方程 ax2+bx+c =0 (a≠0,a,b,c为常数)一个解x的范围是( )A. 3< x < 3.23 B. 3.23 < x < 3.24C. 3.24
1.根据下列表格的对应值:
2.若二次函数y=-x2+2x+k的部分图象如图所示,且关于x的一元二次方程-x2+2x+k=0的一个解x1=3,则另一个解x2= _______.
-1
A
5.已知二次函数y=kx2-7x-7的图象和x轴有交点,则k的取值范围____________.
6. 如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=-x2+4x的顶点为A,与x轴分别交于O、B两点,过顶点A分别作AC⊥x轴于点C,AD⊥y轴于点D,连接BD,交AC于点E,则△ADE与△BCE的面积和为________.
4
4
2
(2,4)
解:(1)x1=2,x2=4;
(2)x<2或x>4;
(3)2
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