高中3.2 函数的基本性质优秀第二课时学案设计

第三章 函数的概念与性质

3.1函数的概念及其表示

第1课时奇偶性的应用

【课程标准】

1、              利用函数的奇偶性求函数解析式

2、            利用函数的奇偶性解函数不等式

3、            利用函数的奇偶性求参数范围.

【知识要点归纳】

1、已知区间[a，b]上的解析式，求[－b，－a]上的解析式

(1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设．

(2)要利用已知区间的解析式进行代入．

(3)利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x)．

注意：若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数，则必有f(0)＝0，但若为偶函数,未必有f(0)＝0.

2.利用单调性和奇偶性解不等式的方法：

(1)充分利用已知的条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f(x1)>f(x2)或f(x1)<f(x2)的形式，再利用单调性脱掉“f”求解．

(2)在对称区间上根据奇函数的单调性一致，偶函数的单调性相反，列出不等式或不等式组，求解即可，同时要注意函数自身定义域对参数的影响．

【经典例题】

例1 函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f(x)＝－x＋1，求当x<0时，f(x)的解析式．

[跟踪训练]已知y＝f(x)是定义在 R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝2x－x2，求y＝f(x)的解析式．

．

例2    设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝，求函数f(x)，g(x)的解析式．

、

[跟踪训练]设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝x2＋2x，求函数f(x)，g(x)的解析式．

例3 已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，若f(－3)＝10，则f(3)＝(　　)

A.26  B.18

C.10  D.－26

例4 若函数f(x)＝为奇函数，则a＝________.

[跟踪训练]5　(1)若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－2,2a]，则a＝_______，b＝_______；

(2) 已知函数f(x)＝ax2＋2x是奇函数，则实数a＝________.

例5已知函数y＝f(x)在定义域[－1,1]上是奇函数，又是减函数，若f(1－a2)＋f(1－a)<0，求实数a的取值范围；

[跟踪训练]定义在[－2,2]上的偶函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(1－m)<f(m)，求实数m的取值范围．

例6函数f(x)＝是定义在(－1,1)上的奇函数，且f＝.

(1)确定函数f(x)的解析式；

(2)用定义证明f(x)在(－1,1)上是增函数；

(3)解不等式f(t－1)＋f(t)<0.

【当堂检测】

一．选择题（共3小题）

1．已如函数为偶函数，当时，恒成立，设，（2），（3），则，，的大小关系为　　

A． B． C． D．

2．若定义在上的奇函数在单调递增，且，则满足的解集是　　

A．，， B．，， 

C．，， D．，，

3．已知定义在上的奇函数在，单调递增．若（1），则不等式的解集为　　

A． B． C． D．

二．填空题（共2小题）

4．若为偶函数，且当时，，则不等式的解集　　．

5．已知是定义在，上的偶函数，且在，上为增函数，则的解集为　　．

三．多选题（共1小题）

6．已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则下列说法正确的是　　

A．的最大值为 B．在是增函数 

C．的解集为 D．的解集为，

四．解答题（共1小题）

7．已知定义在，上的奇函数是增函数．

（1）若，求的取值范围；

（2）若（2），解不等式．

当堂检测答案

一．选择题（共3小题）

1．已如函数为偶函数，当时，恒成立，设，（2），（3），则，，的大小关系为　　

A． B． C． D．

【分析】根据条件求出函数在上的单调性，然后根据函数是偶函数，将化成，利用单调性即可判定出，，的大小．

【解答】解：当时，，恒成立，

，即，

函数在上为减函数，

函数是偶函数，

，即函数关于对称，

，

根据函数在上为减函数，

（2）（3），即

故选：．

【点评】本题主要考查了函数的单调性应用，以及函数的奇偶性的应用，属于中档题．

2．若定义在上的奇函数在单调递增，且，则满足的解集是　　

A．，， B．，， 

C．，， D．，，

【分析】先确定函数在上单调递增，且（5），再将不等式等价变形，即可得到结论．

【解答】解：定义在上的奇函数在上单调递增，且，

函数在上单调递增，且（5），

不等式等价于或，

或

不等式的解集，，．

故选：．

【点评】本题考查函数单调性与奇偶性的结合，关键利用函数上奇函数得到对称区间的单调性，属于中档题．

3．已知定义在上的奇函数在，单调递增．若（1），则不等式的解集为　　

A． B． C． D．

【分析】由已知可把原不等式转化为（1），结合单调性可求．

【解答】解：因为定义在上的奇函数在，单调递增且（1），

所以，

则不等式可转化为（1），

所以，

解可得，

故选：．

【点评】本题主要考查函数单调性在求解不等式中的应用，属于基础试题．

二．填空题（共2小题）

4．若为偶函数，且当时，，则不等式的解集　或　．

【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论．

【解答】解：因为为偶函数，且当时，单调递增，

根据偶函数的对称性可知，当时，函数单调递减，距离对称轴越远，函数值越小，

则由不等式可得，

两边平方可得，，

整理可得，，

解可得，或．

故答案为：或

【点评】本题主要考查不等式的解法，利用函数的奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键，综合考查函数性质的应用．

5．已知是定义在，上的偶函数，且在，上为增函数，则的解集为　　．

【分析】由偶函数定义域的对称性可求，从而可得在，上为增函数，在，上为减函数，距离对称轴越远，函数值越小，可求．

【解答】解：是定义在，上的偶函数，

，

，

在，上为增函数，

在，上为减函数，距离对称轴越远，函数值越小，

由可得，且，，

解得，

故不等式的解集为．

故答案为：．

【点评】本题主要考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意分析函数的定义域，属于中档题．

三．多选题（共1小题）

6．已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则下列说法正确的是　　

A．的最大值为 B．在是增函数 

C．的解集为 D．的解集为，

【分析】由偶函数的定义可求得时，的解析式，由二次函数的最值，可判断；由时，的单调区间可判断；讨论，，由二次不等式的解法可判断、．

【解答】解：函数是定义在上的偶函数，当时，，

可得时，，

当时，，

所以时，取得最大值，故正确；

在上单调递增，在，上单调递减，故正确；

当时，，解得；

当时，，解得，

所以的解集为，，，故错误；

当时，，解得；

当时，，解得．

所以的解集为，，故正确．

故选：．

【点评】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用，解析式的求法，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．

四．解答题（共1小题）

7．已知定义在，上的奇函数是增函数．

（1）若，求的取值范围；

（2）若（2），解不等式．

【分析】（1）根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论．

（2）由已知可得，，从而可得，结合单调性可求．

【解答】解：（1）因为定义在，上的奇函数是增函数，

由可得，

，

解可得，．

（2）（2），

，

由可得，

，

解可得，．

故不等式的解集，．

【点评】本题主要考查不等式的解法，利用函数的奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键，综合考查函数性质的应用．