人教A版 (2019)必修 第一册第二章 一元二次函数、方程和不等式2.2 基本不等式精品同步训练题

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册第二章 一元二次函数、方程和不等式2.2 基本不等式精品同步训练题，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

复习巩固


一、选择题


1．当x>0时，y＝eq \f(12,x)＋4x的最小值为( )


A．4 B．8


C．8eq \r(3) D．16


[解析] ∵x>0，∴eq \f(12,x)>0,4x>0.∴y＝eq \f(12,x)＋4x≥2eq \r(\f(12,x)·4x)＝8eq \r(3).当且仅当eq \f(12,x)＝4x，即x＝eq \r(3)时取最小值8eq \r(3)，∴当x>0时，y的最小值为8eq \r(3).


[答案] C


2．设x，y为正数，则(x＋y)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋\f(4,y)))的最小值为( )


A．6 B．9


C．12 D．15


[解析] (x＋y)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋\f(4,y)))＝x·eq \f(1,x)＋eq \f(4x,y)＋eq \f(y,x)＋y·eq \f(4,y)＝1＋4＋eq \f(4x,y)＋eq \f(y,x)≥5＋2 eq \r(\f(4x,y)·\f(y,x))＝9.


[答案] B


3．若x>0，y>0，且eq \f(2,x)＋eq \f(8,y)＝1，则xy有( )


A．最大值64 B．最小值eq \f(1,64)


C．最小值eq \f(1,2) D．最小值64


[解析] 由题意xy＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,x)＋\f(8,y)))xy＝2y＋8x≥2eq \r(2y·8x)＝8eq \r(xy)，∴eq \r(xy)≥8，即xy有最小值64，等号成立的条件是x＝4，y＝16.


[答案] D


4．已知p>0，q>0，p＋q＝1，且x＝p＋eq \f(1,p)，y＝q＋eq \f(1,q)，则x＋y的最小值为( )


A．6 B．5


C．4 D．3


[解析] 由p＋q＝1，


∴x＋y＝p＋eq \f(1,p)＋q＋eq \f(1,q)＝1＋eq \f(1,p)＋eq \f(1,q)＝1＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,p)＋\f(1,q)))(p＋q)


＝1＋2＋eq \f(q,p)＋eq \f(p,q)≥3＋2eq \r(\f(q,p)·\f(p,q))＝5，


当且仅当eq \f(q,p)＝eq \f(p,q)即p＝q＝eq \f(1,2)时取等号，


所以B选项是正确的．


[答案] B


5．若a<1，则a＋eq \f(1,a－1)有最________(填“大”或“小”)值，为________．


[解析] ∵a<1，


∴a－1<0，


∴－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－1＋\f(1,a－1)))＝(1－a)＋eq \f(1,1－a)≥2，


∴a－1＋eq \f(1,a－1)≤－2，


∴a＋eq \f(1,a－1)≤－1.


当且仅当a＝0时取等号．


[答案] 大 －1


二、填空题


6．已知0

[解析] 由x(3－3x)＝eq \f(1,3)×3x(3－3x)≤eq \f(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3x＋3－3x,2)))2＝eq \f(3,4)，当且仅当3x＝3－3x，即x＝eq \f(1,2)时等号成立．


[答案] eq \f(1,2)


7．已知正数x，y满足x＋2y＝1，则eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)的最小值为________．


[解析] ∵x，y为正数，且x＋2y＝1，


∴eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)＝(x＋2y)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋\f(1,y)))＝3＋eq \f(2y,x)＋eq \f(x,y)≥3＋2eq \r(2)，


当且仅当eq \f(2y,x)＝eq \f(x,y)，即当x＝eq \r(2)－1，y＝1－eq \f(\r(2),2)时等号成立．


∴eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)的最小值为3＋2eq \r(2).


[答案] 3＋2eq \r(2)


8．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝________吨．


[解析] 每年购买次数为eq \f(400,x)次．


∴总费用＝eq \f(400,x)·4＋4x≥2eq \r(6400)＝160，


当且仅当eq \f(1600,x)＝4x，即x＝20时等号成立．


[答案] 20


三、解答题


9．已知a，b，x，y>0，x，y为变量，a，b为常数，且a＋b＝10，eq \f(a,x)＋eq \f(b,y)＝1，x＋y的最小值为18，求a，b.


[解] x＋y＝(x＋y)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,x)＋\f(b,y)))＝a＋b＋eq \f(bx,y)＋eq \f(ay,x)≥a＋b＋2eq \r(ab)＝(eq \r(a)＋eq \r(b))2，


当且仅当eq \f(bx,y)＝eq \f(ay,x)时取等号．


故(x＋y)min＝(eq \r(a)＋eq \r(b))2＝18，


即a＋b＋2eq \r(ab)＝18，①


又a＋b＝10，②


由①②可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2，b＝8))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝8，b＝2.))


10．(1)已知x<3，求f(x)＝eq \f(4,x－3)＋x的最大值；


(2)设x>0，y>0，且2x＋8y＝xy，求x＋y的最小值．


[解] (1)∵x<3，∴x－3<0.


∴f(x)＝eq \f(4,x－3)＋x＝eq \f(4,x－3)＋x－3＋3


＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3－x)＋3－x))＋3


≤－2 eq \r(\f(4,3－x)·3－x)＋3＝－1，


当且仅当eq \f(4,3－x)＝3－x，即x＝1时取等号，


∴f(x)的最大值为－1.


(2)解法一：由2x＋8y－xy＝0，


得y(x－8)＝2x，


∵x>0，y>0，∴x－8>0，y＝eq \f(2x,x－8)，


∴x＋y＝x＋eq \f(2x,x－8)＝x＋eq \f(2x－16＋16,x－8)


＝(x－8)＋eq \f(16,x－8)＋10


≥2 eq \r(x－8×\f(16,x－8))＋10


＝18.


当且仅当x－8＝eq \f(16,x－8)，即x＝12时，等号成立．


∴x＋y的最小值是18.


解法二：由2x＋8y－xy＝0及x>0，y>0，得eq \f(8,x)＋eq \f(2,y)＝1，


∴x＋y＝(x＋y)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,x)＋\f(2,y)))


＝eq \f(8y,x)＋eq \f(2x,y)＋10≥2 eq \r(\f(8y,x)·\f(2x,y))＋10


＝18.


当且仅当eq \f(8y,x)＝eq \f(2x,y)，即x＝2y＝12时等号成立，


∴x＋y的最小值是18.


综合运用


11．已知a>0，b>0，a＋b＝2，则y＝eq \f(1,a)＋eq \f(4,b)的最小值是( )


A.eq \f(7,2) B．4 C.eq \f(9,2) D．5


[解析] ∵a＋b＝2，∴eq \f(a＋b,2)＝1，


∴eq \f(1,a)＋eq \f(4,b)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋\f(4,b)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))＝eq \f(5,2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2a,b)＋\f(b,2a)))≥eq \f(5,2)＋2eq \r(\f(2a,b)·\f(b,2a))＝eq \f(9,2)(当且仅当eq \f(2a,b)＝eq \f(b,2a)，即b＝2a时，“＝”成立)，故y＝eq \f(1,a)＋eq \f(4,b)的最小值为eq \f(9,2).


[答案] C


12．若xy是正数，则eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2y)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y＋\f(1,2x)))2的最小值是( )


A．3 B.eq \f(7,2) C．4 D.eq \f(9,2)


[解析] eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2y)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y＋\f(1,2x)))2


＝x2＋y2＋eq \f(1,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x2)＋\f(1,y2)))＋eq \f(x,y)＋eq \f(y,x)


＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋\f(1,4x2)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y2＋\f(1,4y2)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,y)＋\f(y,x)))


≥1＋1＋2＝4.


当且仅当x＝y＝eq \f(\r(2),2)或x＝y＝－eq \f(\r(2),2)时取等号．


[答案] C


13．若对任意x>0，eq \f(x,x2＋3x＋1)≤a恒成立，则a的取值范围是________．


[解析] 因为x>0，所以x＋eq \f(1,x)≥2，


当且仅当x＝1时取等号，


所以有eq \f(x,x2＋3x＋1)＝eq \f(1,x＋\f(1,x)＋3)≤eq \f(1,2＋3)＝eq \f(1,5)，


即eq \f(x,x2＋3x＋1)的最大值为eq \f(1,5)，故a≥eq \f(1,5).


[答案] eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)，＋∞))


14．设x>－1，则函数y＝eq \f(x＋5x＋2,x＋1)的最小值是________．


[解析] ∵x>－1，∴x＋1>0，设x＋1＝t>0，则x＝t－1，


于是有y＝eq \f(t＋4t＋1,t)＝eq \f(t2＋5t＋4,t)


＝t＋eq \f(4,t)＋5≥2eq \r(t·\f(4,t))＋5＝9，


当且仅当t＝eq \f(4,t)，即t＝2时取等号，此时x＝1，


∴当x＝1时，函数y＝eq \f(x＋5x＋2,x＋1)取得最小值9.


[答案] 9


15．阳光蔬菜生产基地计划建造一个室内面积为800 m2的矩形蔬菜温室．在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1 m宽的通道，沿前侧内墙保留3 m宽的空地，当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？


[解] 设矩形温室的一边长为x m，则另一边长为eq \f(800,x) m(2

＝808－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1600,x)＋4x))≤808－2eq \r(\f(1600,x)·4x)＝648，


当且仅当eq \f(1600,x)＝4x，即x＝20时，等号成立．


即当矩形温室的一边长为20 m，另一边长为40 m时种植面积最大，最大种植面积是648 m2.