人教A版 (2019)必修 第一册第四章 指数函数与对数函数4.2 指数函数优秀导学案及答案

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册第四章 指数函数与对数函数4.2 指数函数优秀导学案及答案，共10页。学案主要包含了指数函数的图象及应用，指数型函数的定义域和值域等内容，欢迎下载使用。

学习目标 1.掌握指数函数的图象和性质.2.学会利用指数函数的图象和性质求函数的定义域、值域．








知识点 指数函数的图象和性质


指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象和性质如下表：





预习小测 自我检验


1．函数y＝(eq \r(3)－1)x在R上是________函数．(填“增”“减”)


答案 减


2．函数y＝2－x的图象是________．(填序号)





答案 ②


3．函数f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))1－x的定义域为________．


答案 R


4．函数f(x)＝2x＋3的值域为________．


答案 (3，＋∞)





一、指数函数的图象及应用


例1 (1)函数y＝ax－eq \f(1,a)(a>0，且a≠1)的图象可能是( )





答案 D


(2)函数f(x)＝1＋ax－2(a>0，且a≠1)恒过定点________．


答案 (2,2)


(3)已知函数y＝3x的图象，怎样变换得到y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))x＋1＋2的图象？并画出相应图象．


解 y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))x＋1＋2＝3－(x＋1)＋2.


作函数y＝3x关于y轴的对称图象得函数y＝3－x的图象，再向左平移1个单位长度就得到函数y＝3－(x＋1)的图象，最后再向上平移2个单位长度就得到函数y＝3－(x＋1)＋2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))x＋1＋2的图象，如图所示．





反思感悟 处理函数图象问题的策略


(1)抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0,1)，求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的y的值，即可得函数图象所过的定点．


(2)巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)．


(3)利用函数的性质：奇偶性与单调性．


跟踪训练1 (1)已知0

A．第一象限 B．第二象限


C．第三象限 D．第四象限


答案 A


解析 函数恒过点(0,1＋b)，


因为b<－1，所以点(0,1＋b)在y轴负半轴上．


故图象不经过第一象限．


(2)画出下列函数的图象，并说明它们是由函数f(x)＝2x的图象经过怎样的变换得到的．


①y＝2x＋1；②y＝－2x.


解 如图．





①y＝2x＋1的图象是由y＝2x的图象向上平移1个单位长度得到的．


②y＝－2x的图象与y＝2x的图象关于x轴对称．


二、指数型函数的定义域和值域


例2 求下列函数的定义域和值域：


(1)


(2)y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))－|x|；


(3)y＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x).


解 (1)x应满足x－4≠0，∴x≠4，


∴定义域为{x|x≠4，x∈R}．


∵eq \f(1,x－4)≠0，∴≠1，


∴y＝的值域为{y|y>0，且y≠1}．


(2)定义域为R.


∵|x|≥0，∴y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))－|x|＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))|x|≥eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))0＝1，


∴此函数的值域为[1，＋∞)．


(3)由题意知1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x≥0，


∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x≤1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))0，


∴x≥0，∴定义域为{x|x≥0，x∈R}．


∵x≥0，∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x≤1.


又∵eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x>0，∴0

∴0≤1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x<1，


∴0≤y<1，∴此函数的值域为[0,1)．


反思感悟 指数型函数的定义域、值域的求法


(1)求与指数函数有关的函数的定义域时，首先观察函数是y＝ax型还是y＝af(x)型，前者的定义域是R，后者的定义域与f(x)的定义域一致，而求y＝eq \r(fax)型函数的定义域时，往往转化为解指数不等式(组)．


(2)求与指数函数有关的函数的值域时，在运用前面介绍的求函数值域的方法的前提下，要注意指数函数的值域为(0，＋∞)，切记准确运用指数函数的单调性．


跟踪训练2 (1)求下列函数的定义域、值域：


①


②


解 ①由5x－1≥0，得x≥eq \f(1,5)，


∴所求函数的定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≥\f(1,5))))).


由eq \r(5x－1)≥0，得y≥1，


∴所求函数的值域为[1，＋∞)．


②定义域为R.


∵x2－2x－3＝(x－1)2－4≥－4，


∴≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))－4＝16.


又∵>0，


∴函数的值域为(0,16]．


(2)求函数y＝4x－2x＋1的定义域、值域．


解 函数的定义域为R，


y＝(2x)2－2x＋1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(1,2)))2＋eq \f(3,4)，


∵2x>0，∴当2x＝eq \f(1,2)，即x＝－1时，y取最小值eq \f(3,4)，


同时y可以取一切大于eq \f(3,4)的实数，


∴值域为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，＋∞)).








1．函数f(x)＝πx与g(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,π)))x的图象关于( )


A．原点对称 B．x轴对称


C．y轴对称 D．直线y＝－x对称


答案 C


解析 设点(x，y)为函数f(x)＝πx的图象上任意一点，则点(－x，y)为g(x)＝π－x＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,π)))x的图象上的点．因为点(x，y)与点(－x，y)关于y轴对称，所以函数f(x)＝πx与g(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,π)))x的图象关于y轴对称，选C.


2.函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是( )





A．a>1，b<0


B．a>1，b>0


C．00


D．0

答案 D


解析 从曲线的变化趋势，可以得到函数f(x)为减函数，从而有00，即b<0.


3．函数y＝ax－3＋3(a>0，且a≠1)的图象过定点______．


答案 (3,4)


解析 因为指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象过定点(0,1)，


所以在函数y＝ax－3＋3中，令x－3＝0，得x＝3，此时y＝1＋3＝4，即函数y＝ax－3＋3的图象过定点(3,4)．


4．函数f(x)＝eq \r(1－2x)＋eq \f(1,\r(x＋3))的定义域为________．


考点 指数函数的定义域


题点 指数型复合函数的定义域


答案 (－3,0]


解析 由题意，自变量x应满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－2x≥0，,x＋3>0，))


解得－3

5．已知函数f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))|x|，则f(x)的值域为________．


答案 (0,1]


解析 因为f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))|x|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x，x≥0，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))－x，x<0，))


所以其图象由y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x(x≥0)和y＝2x(x<0)的图象合并而成，如图．








1．知识清单：


(1)指数函数的图象．


(2)指数函数的性质：定义域、值域、单调性及过定点．


2．方法归纳：数形结合法，换元法．


3．常见误区：在求值域时易忽视指数函数隐含的条件ax>0.








1．函数y＝eq \r(2x－1)的定义域是( )


A．(－∞，0) B．(－∞，0]


C．[0，＋∞) D．(0，＋∞)


答案 C


解析 由2x－1≥0，得2x≥20，∴x≥0.


2．已知函数f(x)＝4＋ax＋1的图象经过定点P，则点P的坐标是( )


A．(－1,5) B．(－1,4) C．(0,4) D．(4,0)


答案 A


解析 当x＋1＝0，即x＝－1时，ax＋1＝a0＝1，为常数，


此时f(x)＝4＋1＝5.即点P的坐标为(－1,5)．


3．函数y＝a|x|(a>1)的图象是( )








考点 指数函数的图象与性质


题点 指数函数图象的应用


答案 B


解析 函数y＝a|x|是偶函数，当x>0时，y＝ax.由已知a>1，故选B.


4．函数y＝eq \r(16－4x)的值域是( )


A．[0，＋∞) B．[0,4]


C．[0,4) D．(0,4)


答案 C


解析 要使函数式有意义，则16－4x≥0.


又因为4x>0，∴0≤16－4x<16，


即函数y＝eq \r(16－4x)的值域为[0,4)．


5．函数f(x)＝ax与g(x)＝－x＋a的图象大致是( )





答案 A


6.已知f(x)＝ax＋b(a>0，且a≠1)的图象如图，则f(3)＝________.





答案 3eq \r(3)－3


解析 由题意知，


f(x)的图象过点(0，－2)和(2,0)，


所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a0＋b＝－2，,a2＋b＝0，))


所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝\r(3)a＝－\r(3)舍，,b＝－3.))


所以f(x)＝(eq \r(3))x－3，


所以f(3)＝(eq \r(3))3－3＝3eq \r(3)－3.


7．若函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x，x<0，,－2－x，x>0，))则函数f(x)的值域是________．


答案 (－1,0)∪(0,1)


解析 由x<0，得0<2x<1；


由x>0，∴－x<0,0<2－x<1，


∴－1<－2－x<0，


∴函数f(x)的值域为(－1,0)∪(0,1)．


8．已知f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为6，则a＝________.


答案 2


解析 ∵f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为6，


∴a＋a2＝6，即a2＋a－6＝0，


∴a＝2或a＝－3(舍)．


9．求函数f(x)＝的定义域、值域．


解 要使函数有意义，


则x应满足x2－2x≥0，


即x≥2或x≤0，


所以所求函数的定义域为(－∞，0]∪[2，＋∞)，


令t＝eq \r(x2－2x)－1，


所以t≥－1，


又y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))t为减函数，


所以0

即0

所以f(x)的值域为(0,3]．


10．已知函数f(x)＝ax－1(x≥0)的图象经过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(1,2)))，其中a>0且a≠1.


(1)求a的值；


(2)求函数y＝f(x)(x≥0)的值域．


解 (1)函数图象经过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(1,2)))，


所以a2－1＝eq \f(1,2)，则a＝eq \f(1,2).


(2)由(1)知函数为f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x－1(x≥0)，


由x≥0，得x－1≥－1.


于是0

所以函数的值域为(0,2]．





11．函数y＝－1的定义域、值域分别是( )


A．R，(0，＋∞)


B．{x|x≠0}，{y|y>－1}


C．{x|x≠0}，{y|y>－1，且y≠1}


D．{x|x≠0}，{y|y>－1，且y≠0}


答案 C


解析 要使y＝－1有意义，


只需eq \f(x－1,x)有意义，即x≠0.


若令u＝eq \f(x－1,x)＝1－eq \f(1,x)，


则可知u≠1，∴y≠21－1＝1.


又∵y＝－1>0－1＝－1，


∴函数y＝－1的定义域为{x|x≠0}，值域为{y|y>－1，且y≠1}．


12．若函数y＝ax＋b－1(a>0，且a≠1)的图象经过第二、三、四象限，则一定有( )


A．00 B．a>1，且b>0


C．01，且b<0


答案 C


解析 函数y＝ax＋b－1(a>0，且a≠1)的图象是由函数y＝ax的图象经过向上或向下平移而得到的，因其图象不经过第一象限，所以a∈(0,1)．若经过第二、三、四象限，则需将函数y＝ax(0

13．函数y＝4x＋2x＋1＋1的值域是________．


答案 (1，＋∞)


解析 令2x＝t(t>0)，


则函数y＝4x＋2x＋1＋1可化为y＝t2＋2t＋1＝(t＋1)2，


该函数在t∈(0，＋∞)上递增，所以y>1，


即原函数的值域为(1，＋∞)．


14．已知方程|2x－1|＝a有唯一实数解，则a的取值范围是________．


答案 [1，＋∞)∪{0}


解析 作出y＝|2x－1|的图象，如图，





要使直线y＝a与y＝|2x－1|的图象的交点只有一个，


∴a≥1或a＝0.





15．已知1>n>m>0，则指数函数①y＝mx，②y＝nx的图象为( )





答案 C


解析 由于0

16．已知函数f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))|x|－1.


(1)作出f(x)的简图；


(2)求f(x)的单调区间；


(3)若关于x的方程f(x)＝3m有两个解，求m的取值范围．


解 (1)f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))x－1，x≥0，,3x－1，x<0，))如图所示，





(2)由图知，f(x)的单调增区间为(－∞，0)，单调减区间为(0，＋∞)．


(3)作出直线y＝3m，


当－1<3m<0，即－eq \f(1,3)

函数y＝f(x)与y＝3m有两个交点，


即关于x的方程f(x)＝3m有两个解时，m的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，0)).a>1
0图象
定义域
R
值域
(0，＋∞)
性质
过定点
过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1
函数值的变化
当x>0时，y>1；


当x<0时，0当x>0时，0

当x<0时，y>1
单调性
在R上是增函数
在R上是减函数