数学第四章 指数函数与对数函数4.2 指数函数第1课时学案及答案

4.2.2　指数函数的图象和性质

第1课时　指数函数的图象和性质(一)

必备知识·探新知

基础知识

知识点　指数函数的图象和性质

思考：(1)对于指数函数y＝2x，y＝3x，y＝()x，y＝()x，…，为什么一定过点(0,1)?

(2)观察指数函数的图象，思考：在下表中，？号处y的范围是什么？

提示：(1)当x＝0时，a0＝1(a≠0)恒成立，即指数函数的图象一定过点(0,1)．

(2)

基础自测

1．下列说法正确的个数是(　C　)

(1)指数函数的图象都在x轴的上方．

(2)若指数函数y＝ax是减函数，则0<a<1.

(3)对于任意的x∈R，一定有3x>2x.

A．0　　　　　　　 B．1

C．2 D．3

[解析]　对于(1)，由指数函数的性质可知正确．

对于(2)，由指数函数的单调性可知正确．

对于(3)，由y＝3x，y＝2x的图象可知，当x<0时，3x<2x，故(3)不正确．

2．函数y＝(－1)x在R上是(　D　)

A．增函数 B．奇函数

C．偶函数 D．减函数

[解析]　∵0<－1<1，∴函数y＝(－1)x在R上是减函数．

3．函数y＝2－x的图象是(　B　)

[解析]　函数y＝2－x＝()x过点(0,1)，且在R上是减函数，故选B．

4．函数y＝1－2x，x∈[0,1]的值域是(　B　)

A．[0,1] B．[－1,0]

C． D．

[解析]　∵0≤x≤1，∴1≤2x≤2，

∴－1≤1－2x≤0，选B．

关键能力·攻重难

题型探究

题型一　指数函数的图象

例1 如图所示是下列指数函数的图象：

(1)y＝ax；(2)y＝bx；(3)y＝cx；(4)y＝dx.

则a，b，c，d与1的大小关系是(　B　)

A．a<b<1<c<d　　 B．b<a<1<d<c

C．1<a<b<c<d D．a<b<1<d<c

[分析]　根据指数函数的底数与图象间的关系来进行判断．

[解析]　可先分为两类，(3)(4)的底数一定大于1，(1)(2)的底数一定小于1，然后再由(3)(4)比较，c，d的大小，由(1)(2)比较a，b的大小．当指数函数的底数大于1时，图象上升，且当底数越大，图象向上越靠近y轴；当底数大于0小于1时，图象下降，且当底数越小，图象向下越靠近x轴，故选B．

[归纳提升]　指数函数图象的变化规律

指数函数的图象随底数变化的规律可归纳为：在第一象限内，图象自下而上对应的底数依次增大．

【对点练习】❶ (1)如图所示是指数函数的图象，已知a的值取，，，，则相应曲线C1，C2，C3，C4的a依次为(　D　)

A．，，， B．，，，

C．，，， D．，，，

[解析]　按规律，C1，C2，C3，C4的底数a依次增大，故选D．

(2)若函数y＝ax＋(b－1)(a＞0，且a≠1)的图象不经过第二象限，则有(　D　)

A．a＞1且b＜1 B．0＜a＜1且b≤1

C．0＜a＜1且b＞0 D．a＞1且b≤0

[解析]　由函数图象不过第二象限知a>1，且x＝0时，a0＋(b－1)≤0，∴b≤0，故选D．

题型二　与指数函数有关的定义域、值域问题

例2 求下列函数的定义域和值域：

(1)y＝2；

(2)y＝()－|x|；

(3)y＝.

[分析]　定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值集合，值域是函数值的集合，依据定义域和函数的单调性求解．

[解析]　(1)由题意知x－4≠0，所以x≠4，所以函数的定义域为{x|x∈R，x≠4}．因为≠0，所以2≠1，所以函数的值域为{y|y>0，且y≠1}．

(2)由题意知函数的定义域为R.

因为|x|≥0，所以y＝()－|x|＝()|x|≥()0＝1，所以函数的值域为{y|y≥1}．

(3)由题意知1－()x≥0，所以()x≤1＝()0，所以x≥0，所以函数的定义域为{x|x≥0，x∈R}．因为y关于x单调递增，所以函数的值域为{y|y≥0}．

[归纳提升]　1.函数单调性在求函数值域中的应用

(1)若函数f(x)在区间[a，b]上是增函数，则f(a)≤f(x)≤f(b)，值域为[f(a)，f(b)]．

(2)若函数f(x)在区间[a，b]上是减函数，则f(a)≥f(x)≥f(b)，值域为[f(b)，f(a)]．

2．函数y＝af(x)定义域、值域的求法

(1)定义域．

函数y＝af(x)的定义域与y＝f(x)的定义域相同．

(2)值域．

①换元，令t＝f(x)；②求t＝f(x)的定义域x∈D；③求t＝f(x)的值域t∈M；④利用y＝at的单调性求y＝at，t∈M的值域．

【对点练习】❷ 求y＝()的定义域和值域．

[解析]　由x－2≥0，得x≥2，所以定义域为{x|x≥2}．

当x≥2时，≥0，又因为0＜＜1，所以y＝()的值域为{y|0＜y≤1}．

题型三　幂式大小的比较

例3 比较下列各题中两个值的大小．

(1)1.82.2,1.83；(2)0.7－0.3,0.7－0.4；

(3)1.90.4,0.92.4；(4)()，().

[分析]　(1)(2)利用指数函数的单调性比较；(3)借助中间量1进行比较；(4)借助中间量()进行比较．

[解析]　(1)∵1.82.2,1.83可看作函数y＝1.8x的两个函数值，

∵1.8>1，∴y＝1.8x在R上为增函数，

又2.2<3，

∴1.82.2<1.83.

(2)∵y＝0.7x在R上为减函数，

又∵－0.3>－0.4，

∴0.7－0.3<0.7－0.4.

(3)∵1.90.4>1.90＝1,0.92.4<0.90＝1，

∴1.90.4>0.92.4.

(4)∵＝()<()0＝1，

∴()<()，

∵y＝()x在R上为减函数，又>，

∴()<()，∴()<().

[归纳提升]　比较指数式的大小应根据所给指数式的形式，当底数相同时，运用单调性法求解；当底数不同时，利用一个中间量做比较进行求解．或借助于同一坐标系中的图象求解．

【对点练习】❸ 比较下列每组中两个数的大小：

(1)1.72.5,1.73；

(2)0.8－0.1,0.8－0.2；

(3)()－0.5，()－0.5；

(4)1.70.3,0.93.1.

[解析]　(1)考查指数函数y＝1.7x，由于底数1.7>1，∴指数函数y＝1.7x在(－∞，＋∞)上是增函数．

∵2.5<3，∴1.72.5<1.73.

(2)考查函数y＝0.8x，由于0<0.8<1，

∴指数函数y＝0.8x在(－∞，＋∞)上为减函数．

∵－0.1>－0.2，∴0.8－0.1<0.8－0.2.

(3)在同一平面直角坐标系中画出指数函数y＝()x与y＝()x的图象，如图所示，当x＝－0.5时，观察图象可得()－0.5＞()－0.5.

(4)由指数函数的性质得1.70.3>1.70＝1,0.93.1<0.90＝1，∴1.70.3>0.93.1.

课堂检测·固双基

1．函数f(x)＝πx与g(x)＝(\S]1,π\s)x的图象关于(　C　)

A．原点对称　　　　 B．x轴对称

C．y轴对称 D．直线y＝－x对称

[解析]　设点(x，y)为函数f(x)＝πx的图象上任意一点，则点(－x，y)为g(x)＝π－x＝()x的图象上的点．因为点(x，y)与点(－x，y)关于y轴对称，所以函数f(x)＝πx与g(x)＝()x的图象关于y轴对称，选C．

2．若函数f(x)＝(2a－1)x是R上的减函数，则实数a的取值范围是(　C　)

A．(0,1) B．(1，＋∞)

C．(\S]1,2\s,1) D．(－∞，1)

[解析]　由已知，得0<2a－1<1，则<a<1，所以实数a的取值范围是(，1)．

3．(2019·安徽合肥众兴中学高一期末测试)函数y＝ax－2＋1(a>0且a≠1)的图象必经过点(　D　)

A．(0,1) B．(1,1)

C．(2,0) D．(2,2)

[解析]　令x－2＝0，即x＝2，y＝a0＋1＝2，故选D．

4．已知函数f(x)为指数函数，且f(－)＝，则f(－2)＝____.

[解析]　设f(x)＝ax(a>0，a≠1)，

∴＝a－＝，

∴＝，∴a＝3.

∴f(x)＝3x，∴f(－2)＝3－2＝.

5．函数y＝2x(x≥0)的值域是__[1，＋∞)__.

[解析]　∵y＝2x在[0，＋∞)上为增函数，

∴x≥0即y≥20，

∴值域为[1，＋∞)．