2021学年4.2 指数函数学案及答案

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这是一份2021学年4.2 指数函数学案及答案，共10页。学案主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是( )
A．a>1，b<0B．a>1，b>0C．00 D．02．函数y＝a|x|(a＞1)的图象是( )
3．图中的曲线C1，C2，C3，C4是指数函数y＝ax的图象，而a∈eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),3)，\f(1,3)，\r(5)，π))，则图象C1，C2，C3，C4对应的函数的底数依次是________，________，________，________.
4．已知函数f(x)＝4＋ax－1(a＞0，且a≠1)的图象恒过定点P，则定点P的坐标是________.
5.下列函数中，定义域与值域相同的是( )
A．y＝2x B．y＝eq \f(1,x－1)C．y＝3 D．y＝2
6．求下列函数的定义域和值域：
(1)y＝eq \r(1－3x)；(2)y＝2；(3)y＝2.
关键能力综合练
一、选择题
1．函数f(x)＝πx与g(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,π)))x的图象关于( )
A．原点对称 B．x轴对称C．y轴对称 D．直线y＝－x对称
2．函数y＝eq \r(2x－1)的定义域是( )
A．(－∞，0) B．(－∞，0]C．[0，＋∞) D．(0，＋∞)
3．当a>0，且a≠1时，函数f(x)＝ax＋1－1的图象一定过点( )
A．(0,1) B．(0，－1)C．(－1,0) D．(1,0)
4．函数f(x)＝ax与g(x)＝－x＋a的图象大致是( )
5．若函数y＝ax＋b－1(a>0，且a≠1)的图象经过第二、三、四象限，则一定有( )
A．00 B．a>1，且b>0C．01，且b<0
6．(探究题)已知0二、填空题
7．(易错题)已知f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为6，则a＝________.
8．若函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x，x<0，,－2－x，x>0，))则函数f(x)的值域是________．
9．函数y＝4x＋2x＋1＋1的定义域是____________．值域是__________．
三、解答题
10．若函数f(x)＝ax－1(a＞0，且a≠1)的定义域和值域都是[0,2]，求实数a的值．
学科素养升级练
1．(多选题)若指数函数y＝ax在区间[－1,1]上的最大值和最小值的和为eq \f(5,2)，则a的值可能是( )
A．2 B.eq \f(1,2)C．3 D.eq \f(1,3)
2．函数f(x)＝eq \f(x·2x,|x|)的图象大致为( )
3．(学科素养—数学抽象)已知函数f(x)＝ax＋b(a＞0，且a≠1)．
(1)若f(x)的图象如图①所示，求a，b的值；
(2)若f(x)的图象如图②所示，求a，b的取值范围；
(3)在(1)中，若|f(x)|＝m有且仅有一个实数根，求m的取值范围．
答案
必备知识基础练
1．解析：由图知f(x)单调递减，故00，∴b<0，选D.
答案：D
2．解析：该函数是偶函数．可先画出x≥0时，y＝ax的图象，然后沿y轴翻折过去，便得到x＜0时的函数图象．
答案：B
3．解析：作直线x＝1，与各曲线交点的纵坐标即为底数a的值，而eq \f(1,3)答案：eq \f(\r(2),3) eq \f(1,3) π eq \r(5)
4．解析：令x＝1，y＝4＋a0＝4＋1＝5，故f(x)图象过定点(1,5)．
答案：(1,5)
5．解析：A项中，y＝2x的定义域为R，值域为(0，＋∞)，B项中，y＝eq \f(1,x－1)的定义域为{x|x≠1}，值域为{y|y≠0}；C项中，由x－1>0得x>1，所以y＝3eq \f(1,\r(x－1))的定义域为(1，＋∞)，由eq \f(1,\r(x－1))>0得3eq \f(1,\r(x－1))>30＝1，所以其值域也为(1，＋∞)；D项中，y＝2eq \f(1,x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，而2eq \f(1,x)>0且2eq \f(1,x)≠1，所以其值域为(0,1)∪(1，＋∞)．所以选C.
答案：C
6．解析：(1)要使函数式有意义，则1－3x≥0，即3x≤1＝30，
因为函数y＝3x在R上是增函数，所以x≤0，
故函数y＝eq \r(1－3x)的定义域为(－∞，0]．
因为x≤0，所以0<3x≤1，
所以0≤1－3x<1，
所以eq \r(1－3x)∈[0,1)，
即函数y＝eq \r(1－3x)的值域为[0,1)．
(2)要使函数式有意义，则x－4≠0，解得x≠4，所以函数y＝2eq \f(1,x－4)的定义域为{x∈R|x≠4}．
因为eq \f(1,x－4)≠0，所以2eq \f(1,x－4)≠1，
即函数y＝2eq \f(1,x－4)的值域为{y|y>0，且y≠1}．
(3)定义域为R.
∵2x－x2＝－(x－1)2＋1≤1，
∴22x－x2≤2.即y≤2.
故函数的值域为(0,2]．
关键能力综合练
1．解析：设点(x，y)为函数f(x)＝πx的图象上任意一点，则点(－x，y)为g(x)＝π－x＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,π)))x的图象上的点．因为点(x，y)与点(－x，y)关于y轴对称，所以函数f(x)＝πx与g(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,π)))x的图象关于y轴对称，选C.
答案：C
2．解析：由2x－1≥0，得2x≥20，∴x≥0.
答案：C
3．解析：当x＝－1时，显然f(x)＝0，因此图象必过点(－1，0)．
答案：C
4．解析：当a>1时，函数f(x)＝ax单调递增，当x＝0时，g(0)＝a>1，此时两函数的图象大致为选项A.
答案：A
5．解析：函数y＝ax＋b－1(a>0，且a≠1)的图象是由函数y＝ax的图象经过向上或向下平移而得到的，因其图象不经过第一象限，所以a∈(0,1)．若经过第二、三、四象限，则需将函数y＝ax(0答案：C
6．解析：由于0答案：C
7．解析：∵f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为6，
∴a＋a2＝6，即a2＋a－6＝0，
∴a＝2或a＝－3(舍)．
答案：2
8．解析：由x<0，得0<2x<1；由x>0，∴－x<0,0<2－x<1，∴－1<－2－x<0，∴函数f(x)的值域为(－1,0)∪(0,1)．
答案：(－1,0)∪(0,1)
9．解析：显然定义域为R.
令2x＝t(t>0)，
则函数y＝4x＋2x＋1＋1可化为y＝t2＋2t＋1＝(t＋1)2，
该函数在t∈(0，＋∞)上递增，所以y>1，
即原函数的值域为(1，＋∞)．
答案：R (1，＋∞)
10．解析：当0＜a＜1时，函数f(x)＝ax－1(a＞0，且a≠1)为减函数，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a0－1＝2，,a2－1＝0))无解．当a＞1时，函数f(x)＝ax－1(a＞0，且a≠1)为增函数，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a0－1＝0，,a2－1＝2，))解得a＝eq \r(3).
综上，a的值为eq \r(3).
学科素养升级练
1．解析：指数函数y＝ax在区间[－1,1]上的最大值和最小值的和为eq \f(5,2)，
当a>1时，可得ymin＝eq \f(1,a)，ymax＝a，
那么eq \f(1,a)＋a＝eq \f(5,2)，解得a＝2，
当0那么eq \f(1,a)＋a＝eq \f(5,2)，解得a＝eq \f(1,2)，
故a的值可能是eq \f(1,2)或2.
故选AB.
答案：AB
2．解析：f(x)＝eq \f(x·2x,|x|)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x，x>0，,－2x，x<0.))由指数函数的图象知B正确．
答案：B
3．解析：(1)f(x)的图象过点(2,0)，(0，－2)，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＋b＝0，,a0＋b＝－2，))
又因为a＞0，且a≠1，所以a＝eq \r(3)，b＝－3.
(2)f(x)单调递减，所以0＜a＜1，又f(0)＜0.
即a0＋b＜0，所以b＜－1.
故a的取值范围为(0,1)，b的取值范围为(－∞，－1)．
(3)画出|f(x)|＝|(eq \r(3))x－3|的图象如图所示，要使|f(x)|＝m有且仅有一个实数根，则m＝0或m≥3.故m的取值范围为[3，＋∞)∪{0}．
知识点一
指数函数的图象
知识点二
指数函数的定义域与值域

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