高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.2 指数函数学案设计

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.2 指数函数学案设计，共8页。


授课提示：对应学生用书第54页
[教材提炼]
知识点 指数函数的图象和性质
eq \a\vs4\al(预习教材，思考问题)
y＝2x与y＝(eq \f(1,2))x的单调性有什么不同？
知识梳理
[自主检测]
1．若3x＋1<1，则x的取值范围是( )
A．(－1,1) B．(－1，＋∞)
C．(0,1)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)
解析：3x＋1<1＝30，∵y＝3x是增函数，
∴x＋1<0，∴x<－1.
答案：D
2．下列判断正确的是( )
A．1.51.5＞1.52
B．0.52＜0.53
C．e2＜eq \r(2)e
D．0.90.2＞0.90.5
答案：D
3．y＝3x2＋1的值域是________．
解析：设t＝x2＋1，则t≥1，∵y＝3t是增函数，∴y＝3t≥31＝3.
答案：[3，＋∞)
4．对任意实数m、n，当m＞n时，恒有am＜an，则a的取值范围为________．
答案：(0,1)
授课提示：对应学生用书第54页
探究一 利用指数函数单调性比较大小
[例1] 比较下列各组数的大小：
(1)1.52.5和1.53.2；
(2)0.6－1.2和0.6－1.5；
(3)1.50.3和
[解析] (1)函数y＝1.5x在R上是增函数，
∵2.5＜3.2，∴1.52.5＜
(2)函数y＝0.6x在R上是减函数，
∵－1.2＞－1.5，∴0.6－1.2＜0.6－1.5.
(3)由指数函数的性质知
1．50.3＞1.50＝1，
而0.81.2＜0.80＝1，
∴1.50.3＞
三类指数式的大小比较问题
(1)底数相同、指数不同：利用指数函数的单调性解决．
(2)底数不同、指数相同：利用指数函数的图象解决．在同一平面直角坐标系中画出各个函数的图象，依据底数a对指数函数图象的影响，按照逆时针方向观察，底数在逐渐增大，然后观察指数所取值对应的函数值即可．
(3)底数不同、指数也不同：采用介值法(中间量法)．取中间量1，其中一个大于1，另一个小于1；或者以其中一个指数式的底数为底数，以另一个指数式的指数为指数．比如，要比较ac与bd的大小，可取ad为中间量，ac与ad利用指数函数的单调性比较大小，bd与ad利用函数的图象比较大小.
比较下列几组值的大小
解析：
探究二 利用指数函数的单调性解不等式
[例2] [教材P12010题拓展探究]
(1)如果a－5x＞ax＋7(a＞0，a≠1)，求x的取值范围．
[解析] ①当0＜a＜1时，y＝ax为减函数，则－5x＜x＋7，解得x＞－eq \f(7,6).
②当a＞1时，y＝ax为增函数，
则－5x＞x＋7，
∴x＜－eq \f(7,6)，
综上，当0＜a＜1时，x∈(－eq \f(7,6)，＋∞)，
当a＞1时，x∈(－∞，－eq \f(7,6))．
(2)设f(x)＝ax，g(x)＝(eq \f(1,a))x(a＞0，a≠1)，如果对于∀x∈(0，＋∞)都有f(x)＞g(x)，求a的取值范围．
[解析] 由f(x)＞g(x)得ax＞eq \f(1,ax)
∴a2x＞1，∀x∈(0，＋∞)都成立．
∴a＞1.
(3)设f(x)＝3x，g(x)＝10－eq \f(9,3x)，如果f(x)＜g(x)，那么x的取值范围是多少？
[解析] 由f(x)＜g(x)得3x＜10－eq \f(9,3x)，
即(3x)2－10×3x＋9＜0.
设t＝3x＞0，故有t2－10t＋9＜0，
1＜t＜9，
即1＜3x＜9，
∴0＜x＜2.
解含指数式的不等式的策略
(1)指数型不等式af(x)＞ag(x)(a＞0，且a≠1)的解法：
当a＞1时，f(x)＞g(x)；
当0＜a＜1时，f(x)＜g(x)．
(2)如果不等式的形式不是同底指数式的形式，要首先进行变形将不等式两边的底数进行统一，此时常用到以下结论：1＝a0(a＞0，且a≠1)，a－x＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)))x(a＞0，且a≠1)等．
探究三 指数函数性质的综合应用
[例3] 已知f(x)＝x(eq \f(1,2x－1)＋eq \f(1,2))．
(1)求f(x)的定义域；
(2)判断f(x)的奇偶性，并说明理由；
(3)求证：f(x)>0.
[解析] (1)由2x－1≠0得2x≠20，故x≠0，
∴函数f(x)的定义域为{x∈R|x≠0}．
(2)函数f(x)是偶函数．
理由如下：
由(1)知函数f(x)的定义域关于原点对称，
∵f(x)＝x(eq \f(1,2x－1)＋eq \f(1,2))＝eq \f(x,2)·eq \f(2x＋1,2x－1)，
∴f(－x)＝－eq \f(x,2)·eq \f(2－x＋1,2－x－1)
＝－eq \f(x,2)·eq \f(2－x＋1·2x,2－x－1·2x)
＝－eq \f(x,2)·eq \f(1＋2x,1－2x)
＝eq \f(x,2)·eq \f(2x＋1,2x－1)＝f(x)，
∴f(x)为偶函数．
(3)证明：由(2)知f(x)＝eq \f(x,2)·eq \f(2x＋1,2x－1).
对于任意x∈R，都有2x＋1>0
若x>0，则2x>20，所以2x－1>0，
于是eq \f(x,2)·eq \f(2x＋1,2x－1)>0，即f(x)>0，
若x<0，则2x<20，所以2x－1<0，
于是eq \f(x,2)·eq \f(2x＋1,2x－1)>0，即f(x)>0，
综上知：f(x)>0.
解决指数函数性质的综合问题的注意点
(1)注意代数式的变形，如分式通分、因式分解、配方法、分母(或分子)有理化等变形技巧．
(2)解答函数问题注意应在函数定义域内进行．
(3)由于指数函数单调性与底数有关，因此要注意是否需要讨论．
(4)形如y＝af(x)的函数的单调性，若a＞1，y＝af(x)的单调性与u＝f(x)的单调性相同，若0＜a＜1，y＝af(x)的单调性与u＝f(x)的单调性相反.
设函数f(x)＝kax－a－x(a＞0，且a≠1)是定义域为R的奇函数．
(1)求k的值；
(2)若f(1)＞0，试判断函数的单调性(不需证明)，并求不等式f(x2＋2x)＋f(4－x2)＞0的解集．
解析：(1)法一：∵f(－x)＝ka－x－ax，－f(x)＝－kax＋a－x，
又f(x)是奇函数， ∴f(－x)＝－f(x)恒成立，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k＝1，,－1＝－k，))解得k＝1.
法二：∵f(x)是定义域为R的奇函数，
∴f(0)＝0，∴k－1＝0，∴k＝1.
(2)∵f(1)＝a－eq \f(1,a)＞0，又a＞0且a≠1，∴a＞1.
∵y＝ax，y＝－a－x都是R上的增函数，
∴f(x)是R上的增函数．
∵f(x2＋2x)＋f(4－x2)＞0，
∴f(x2＋2x)＞－f(4－x2)，
∴f(x2＋2x)＞f(x2－4)，
∴x2＋2x＞x2－4，
∴x＞－2.
∴f(x)在R上单调递增，且不等式的解集为{x|x＞－2}．
授课提示：对应学生用书第56页
一、“同为幂值，差别这么大”——指数函数与幂函数的区别
指数函数y＝ax与幂函数y＝xα，其函数值都是幂的形式．但是自变量的位置发生了变化，其图象性质也会有变化．
[典例] 一个函数y＝f(x)是幂函数或指数函数，过点(－2，eq \f(1,4))，研究这个函数的定义域、值域、单调性，如果该函数具有奇偶性，能确定f(x)是什么函数吗？
[解析] 若y＝f(x)为指数函数，设为y＝ax(a＞0，a≠1)．
∵函数过点(－2，eq \f(1,4))，
∴eq \f(1,4)＝a－2，
∴a＝2.
f(x)＝2x，定义域为R.
值域为(0，＋∞)．
单调增函数，是非奇非偶函数．
若y＝f(x)为幂函数，设为y＝xα，
过点(－2，eq \f(1,4))，
∴eq \f(1,4)＝(－2)α，
∴α＝－2.
∴f(x)＝x－2，即f(x)＝eq \f(1,x2).
定义域为{x|x≠0}，值域为(0，＋∞)．
在(0，＋∞)上为减函数，在(－∞，0)上为增函数．
此时f(x)是偶函数，具有奇偶性．故可确定f(x)＝x－2.
二、忽视对底数的讨论致错
[典例] 函数f(x)＝ax(a＞0且a≠1)在[0,1]上的最大值与最小值的差为eq \f(1,2)，则a＝________.
[解析] (1)当a＞1时，函数f(x)＝ax在[0,1]上是增函数．
所以当x＝1时，函数f(x)取最大值；
当x＝0时，函数f(x)取最小值．
由题意得f(1)－f(0)＝eq \f(1,2)，即a－a0＝eq \f(1,2)，
解得a＝eq \f(3,2).
(2)当0＜a＜1时，函数f(x)＝ax在[0,1]上是减函数．
所以当x＝1时，函数f(x)取最小值；
当x＝0时，函数f(x)取最大值．
由题意得f(0)－f(1)＝eq \f(1,2)，即a0－a＝eq \f(1,2)，解得a＝eq \f(1,2).
综上知a＝eq \f(3,2)或eq \f(1,2).
[答案] eq \f(3,2)或eq \f(1,2)
纠错心得 既要考虑当a＞1时，函数f(x)在[0,1]上是增函数的情况，也不能忽视当0＜a＜1时，函数f(x)在[0,1]上是减函数的情况．
内 容 标 准
学 科 素 养
1.通过具体的指数函数，总结指数函数的性质、单调性及特殊点．
数学抽象
逻辑推理、数学运算
2.会利用指数函数的性质解决指数函数问题.
0＜a＜1
a＞1
图象
定义域
R
值域
(0，＋∞)
性
质
过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1
减函数
增函数
无奇偶性