高中4.2 指数函数导学案

这是一份高中4.2 指数函数导学案，共10页。学案主要包含了指数函数的概念，求指数函数的解析式或函数值等内容，欢迎下载使用。

§4.2　指数函数
4．2.1　指数函数的概念
学习目标　1.理解指数函数的概念，了解对底数的限制条件的合理性.2.了解指数增长型和指数衰减型在实际问题中的应用．

知识点一　指数函数的定义
一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.
思考　为什么底数应满足a>0且a≠1?
答案　①当a≤0时，ax可能无意义；②当a>0时，x可以取任何实数；③当a＝1时，ax＝1 (x∈R)，无研究价值．因此规定y＝ax中a>0，且a≠1.
知识点二　两类指数模型
1．y＝kax(k>0，a>0且a≠1)，当a>1时为指数增长型函数模型．
2．y＝kax(k>0，a>0且a≠1)，当0
1．y＝xx(x>0)是指数函数．(　×　)
2．y＝ax＋2(a>0且a≠1)是指数函数．(　×　)
3．y＝x是指数衰减型函数模型．(　√　)
4．若f(x)＝ax为指数函数，则a>1.(　×　)

一、指数函数的概念
例1　(1)给出下列函数：①y＝2·3x；②y＝3x＋1；③y＝3x；④y＝x3；⑤y＝(－2)x.其中，指数函数的个数是(　　)
A．0 B．1 C．2 D．4
答案　B
解析　①中，3x的系数是2，故①不是指数函数；②中，y＝3x＋1的指数是x＋1，不是自变量x，故②不是指数函数；③中，3x的系数是1，幂的指数是自变量x，且只有3x一项，故③是指数函数；④中，y＝x3的底数为自变量，指数为常数，故④不是指数函数．⑤中，底数－2<0，不是指数函数．
(2)若函数y＝(2a－1)x(x是自变量)是指数函数，则a的取值范围是(　　)
A．(0,1)∪(1，＋∞) B．[0,1)∪(1，＋∞)
C.∪(1，＋∞) D.
答案　C
解析　依题意得2a－1>0，且2a－1≠1，
解得a>，且a≠1.
反思感悟　判断一个函数是否为指数函数的方法
(1)底数的值是否符合要求．
(2)ax前的系数是否为1.
(3)指数是否符合要求．
跟踪训练1　(1)下列是指数函数的是(　　)
A．y＝－3x B．y＝
C．y＝ax D．y＝πx
答案　D
解析　根据指数函数的特征知，A，B，C不满足．
(2)若函数y＝(a2－3a＋3)·ax是指数函数，则a的值为________．
答案　2
解析　由指数函数的定义知
由①得a＝1或2，结合②得a＝2.
二、求指数函数的解析式或函数值
例2　(1)若函数f(x)＝·ax是指数函数，则f 的值为(　　)
A．2 B．－2 C．－2 D．2
答案　D
解析　因为函数f(x)是指数函数，所以a－3＝1，
所以a＝8，
所以f(x)＝8x，f ＝＝2.
(2)已知函数y＝f(x)，x∈R，且f(0)＝3，＝，＝，…，＝，n∈N*，求函数y＝f(x)的一个解析式．
解　当x增加1时函数值都以的衰减率衰减，
∴函数f(x)为指数衰减型，
令f(x)＝kx(k≠0)，
又f(0)＝3，∴k＝3，∴f(x)＝3·x.
反思感悟　(1)求指数函数的解析式时，一般采用待定系数法，即先设出函数的解析式，然后利用已知条件，求出解析式中的参数，从而得到函数的解析式，其中掌握指数函数的概念是解决这类问题的关键．
(2)求指数函数的函数值的关键是掌握指数函数的解析式．
跟踪训练2　指数函数y＝f(x)的图象经过点，那么f(4)f(2)等于(　　)
A．8 B．16 C．32 D．64
答案　D
解析　由指数函数y＝f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的图象经过点，可得a－2＝，解得a＝2，函数的解析式为y＝2x，f(4)f(2)＝24·22＝64.
三、指数增长型和指数衰减型函数的实际应用
例3　某林区2020年木材蓄积量为200万立方米，由于采取了封山育林、严禁采伐等措施，使木材蓄积量的年平均递增率能达到5%.
(1)若经过x年后，该林区的木材蓄积量为y万立方米，求y＝f(x)的表达式，并求此函数的定义域；
(2)求经过多少年后，林区的木材蓄积量能达到300万立方米．
解　(1)现有木材蓄积量为200万立方米，经过1年后木材蓄积量为200＋200×5%＝200(1＋5%)．
经过2年后木材蓄积量为：200(1＋5%)＋200(1＋5%)×5%＝200×(1＋5%)2.
∴经过x年后木材蓄积量为200(1＋5%)x.
∴y＝f(x)＝200(1＋5%)x.函数的定义域为x∈N*.
(2)作函数y＝f(x)＝200(1＋5%)x(x≥0)图象见下图．
x
0
1
2
3
…
y
200
210
220.5
231.5
…


作直线y＝300与函数y＝200(1＋5%)x的图象交于A点，则A(x0，300)，A点的横坐标x0的值就是函数值y＝300时(木材蓄积量为300万立方米时)所经过的时间x年的值．
∵8 反思感悟　解决有关增长率问题的关键和措施
(1)解决这类问题的关键是理解增长(衰减)率的意义：增长(衰减)率是所研究的对象在“单位时间”内比它在“前单位时间”内的增长(衰减)率，切记并不总是只和开始单位时间内的比较．
(2)分析具体问题时，应严格计算并写出前3～4个单位时间的具体值，通过观察、归纳出规律后，再概括为数学问题，最后求解数学问题即可．
(3)在实际问题中，有关人口增长、银行复利、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型表示，通常可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式．
跟踪训练3　春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了________天．
答案　19
解析　假设第一天荷叶覆盖水面面积为1，则荷叶覆盖水面面积y与生长时间x的函数关系为y＝2x－1，当x＝20时，长满水面，所以生长19天时，荷叶布满水面一半．

1．下列各函数中，是指数函数的是(　　)
A．y＝(－4)x B．y＝－4x
C．y＝3x－1 D．y＝x
答案　D
解析　A中函数的底数不满足大于零且不等于1，故不是指数函数；B中函数式中幂值的系数不是1，故不是指数函数；C中的指数是x－1，不是指数函数．
2．若函数y＝(m2－m－1)·mx是指数函数，则m等于(　　)
A．－1或2 B．－1
C．2 D.
答案　C
解析　依题意，有
解得m＝2(舍m＝－1)．
3．碳14的半衰期为5 730年，那么碳14的年衰变率为(　　)
A. B.5 730
C. D．
答案　C
解析　设碳14的年衰变率为m，原有量为1，
则m5 730＝，解得m＝，
所以碳14的年衰变率为.
4．若函数f(x)是指数函数，且f(2)＝2，则f(x)＝________.
答案　()x
解析　由题意，设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，
则由f(2)＝a2＝2，得a＝，所以f(x)＝()x.
5．若函数f(x)＝(4－3a)x是指数函数，则实数的取值范围是________．
答案　(－∞，1)∪
解析　由题意可得解得a<且a≠1.

1．知识清单：
(1)指数函数的定义．
(2)指数增长型和指数衰减型函数模型．
2．方法归纳：待定系数法．
3．常见误区：易忽视指数函数的底数a的限制条件：a>0且a≠1.


1．函数f(x)＝(2a－3)ax是指数函数，则f(1)等于(　　)
A．8 B. C．4 D．2
答案　D
解析　∵函数f(x)＝(2a－3)ax是指数函数，
∴2a－3＝1，解得a＝2.
∴f(x)＝2x，∴f(1)＝2.
2．函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)，对于任意实数x，y都有(　　)
A．f(xy)＝f(x)f(y) B．f(xy)＝f(x)＋f(y)
C．f(x＋y)＝f(x)f(y) D．f(x＋y)＝f(x)＋f(y)
答案　C
解析　f(x＋y)＝ax＋y＝axay＝f(x)f(y)．
3．函数y＝(a2－4a＋4)ax是指数函数，则a的值是(　　)
A．4 B．1或3
C．3 D．1
答案　C
解析　由题意得解得a＝3.
4．若函数y＝a2(2－a)x是指数函数，则(　　)
A．a＝1或－1 B．a＝1
C．a＝－1 D．a>0且a≠1
答案　C
解析　因为函数y＝a2(2－a)x是指数函数，
所以即a＝－1.
5．据报道，某淡水湖的湖水在50年内减少了10%，若每年以相同的衰减率呈指数衰减，按此规律，设2020年的湖水量为m，从2020年起，经过x年后湖水量y与x的函数关系为(　　)
A．y＝ B．y＝
C．y＝ D．y＝(1－0.150x)m
答案　C
解析　设每年的衰减率为q%，
则(1－q%)50＝0.9，所以1－q%＝，
所以y＝m·(1－q%)x＝.
6．下列函数中是指数函数的是________．(填序号)
①y＝2·()x；②y＝2x－1；③y＝x；
④y＝ ；⑤y＝.
答案　③
解析　①中指数式()x的系数不为1，故不是指数函数；②中y＝2x－1，指数位置不是x，故不是指数函数；④中指数不是x，故不是指数函数；⑤中指数为常数且底数不是唯一确定的值，故不是指数函数．
7．已知函数f(x)＝ax，a为常数，且函数的图象过点(－1,2)，则a＝________，若g(x)＝
4－x－2，且g(m)＝f(m)，则m＝________.
答案　1　－1
解析　因为函数的图象过点(－1,2)，
所以－a＝2，所以a＝1，
所以f(x)＝x，g(m)＝f(m)可变形为4－m－2－m－2＝0，
解得2－m＝2，所以m＝－1.
8．f(x)为指数函数，若f(x)过点(－2,4)，则f(f(－1))＝________.
答案　
解析　设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，
由f(－2)＝4，得a－2＝4，解得a＝，
所以f(x)＝x，
所以f(－1)＝－1＝2，
所以f(f(－1))＝f(2)＝2＝.
9．已知函数f(x)＝(a2＋a－5)ax是指数函数．
(1)求f(x)的表达式；
(2)判断F(x)＝f(x)－f(－x)的奇偶性，并加以证明．
解　(1)由a2＋a－5＝1，可得a＝2或a＝－3(舍去)，
∴f(x)＝2x.
(2)F(x)＝2x－2－x，定义域为R，∴F(－x)＝2－x－2x＝－F(x)，
∴F(x)是奇函数．
10．有一种树栽植5年后可成材．在栽植后5年内，该种树的产量年增长率为20%，如果不砍伐，从第6年到第10年，该种树的产量年增长率为10%，现有两种砍伐方案：
甲方案：栽植5年后不砍伐，等到10年后砍伐．
乙方案：栽植5年后砍伐重栽，然后过5年再砍伐一次．
请计算后回答：10年内哪一个方案可以得到较多的木材？
解　设该种树的最初栽植量为a，甲方案在10年后的木材产量为
y1＝a(1＋20%)5(1＋10%)5＝a(1.2×1.1)5≈4.01a.
乙方案在10年后的木材产量为
y2＝2a(1＋20%)5＝2a·1.25≈4.98a.
∵a>0，∴4.98a>4.01a，即y2>y1，
∴乙方案能获得更多的木材．

11．已知函数f(x)＝ 则f 等于(　　)
A．4 B. C．－4 D．－
答案　B
解析　∵f ＝1－ ＝1－3＝－2，
∴f ＝f(－2)＝2－2＝.
12．某股民购买一公司股票10万元，在连续十个交易日内，前5个交易日，平均每天上涨5%，后5个交易日内，平均每天下跌4.9%，则股民的股票盈亏情况(不计其他成本，精确到元)为(　　)
A．赚723元 B．赚145元
C．亏145元 D．亏723元
答案　D
解析　由题意得10×(1＋5%)5×(1－4.9%)5
≈10×0.992 77＝9.927 7；
100 000－99 277＝723，
故股民亏723元．
13．若函数y＝(m2－5m＋5)x是指数函数，且为指数增长型函数模型，则实数m＝________.
答案　1
解析　依题意知
解得m＝1(舍m＝4)．
14．某厂2018年的产值为a万元，预计产值每年以7%的速度增加，则该厂到2022年的产值为________万元．
答案　a(1＋7%)4
解析　2018年产值为a，增长率为7%.
2019年产值为a＋a×7%＝a(1＋7%)(万元)．
2020年产值为a(1＋7%)＋a(1＋7%)×7%
＝a(1＋7%)2(万元)．
……
2022年的产值为a(1＋7%)4万元．

15．某校甲、乙两食堂某年1月份的营业额相等，甲食堂的营业额逐月增加，并且每月的增加值相同；乙食堂的营业额也逐月增加，且每月增加的百分率相同．已知该年9月份两食堂的营业额又相等，则该年5月份(　　)
A．甲食堂的营业额较高
B．乙食堂的营业额较高
C．甲、乙两食堂的营业额相等
D．不能确定甲、乙哪个食堂的营业额较高
答案　A
解析　设甲、乙两食堂1月份的营业额均为m，甲食堂的营业额每月增加a(a>0)，乙食堂的营业额每月增加的百分率为x.由题意，可得m＋8a＝m(1＋x)8，则5月份甲食堂的营业额y1＝m＋4a，乙食堂的营业额y2＝m(1＋x)4＝，因为y－y＝(m＋4a)2－m(m＋8a)＝16a2>0，所以y1>y2，故该年5月份甲食堂的营业额较高．
16．截止到2018年底，我国某市人口约为130万．若今后能将人口年平均递增率控制在3‰，经过x年后，此市人口数为y(万)．
(1)求y与x的函数关系y＝f(x)，并写出定义域；
(2)若按此增长率，2029年年底的人口数是多少？
(3)哪一年年底的人口数将达到135万？
解　(1)2018年年底的人口数为130万；
经过1年，2019年年底的人口数为130＋130×3‰
＝130(1＋3‰)(万)；
经过2年，2020年年底的人口数为130(1＋3‰)＋130(1＋3‰)×3‰＝130(1＋3‰)2(万)；
经过3年，2021年年底的人口数为130(1＋3‰)2＋130(1＋3‰)2×3‰＝130(1＋3‰)3(万)．
……
所以经过的年数与(1＋3‰)的指数相同，所以经过x年后的人口数为130(1＋3‰)x(万)．
即y＝f(x)＝130(1＋3‰)x(x∈N*)．
(2)2029年年底的人口数为130(1＋3‰)11≈134(万)．
(3)由(2)可知，2029年年底的人口数为130(1＋3‰)11≈134<135.
2030年年底的人口数为130(1＋3‰)12≈134.8(万)，
2031年年底的人口数为130(1＋3‰)13≈135.2(万)．
所以2031年年底的人口数将达到135万．