高中数学人教B版 (2019)必修 第一册2.2.1 不等式及其性质课堂检测

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第一册2.2.1 不等式及其性质课堂检测，共6页。

(建议用时：60分钟)


[合格基础练]


一、选择题


1．已知：a，b，c，d∈R，则下列命题中必成立的是( )


A．若a＞b，c＞b，则a＞c


B．若a＞－b，则c－a＜c＋b


C．若a＞b，c＜d，则eq \f(a,c)＞eq \f(b,d)


D．若a2＞b2，则－a＜－b


B [选项A，若a＝4，b＝2，c＝5，显然不成立，选项C不满足倒数不等式的条件，如a＞b＞0，c＜0＜d时，不成立；选项D只有a＞b＞0时才可以．否则如a＝－1，b＝0时不成立，故选B.]


2．已知a<0，b<－1，则下列不等式成立的是( )


A．a>eq \f(a,b)>eq \f(a,b2) B.eq \f(a,b2)>eq \f(a,b)>a


C.eq \f(a,b)>a>eq \f(a,b2) D.eq \f(a,b)>eq \f(a,b2)>a


D [取a＝－2，b＝－2，则eq \f(a,b)＝1，eq \f(a,b2)＝－eq \f(1,2)，∴eq \f(a,b)>eq \f(a,b2)>a.故选D.]


3．已知a>b，则下列不等式：①a2>b2；②eq \f(1,a)eq \f(1,a).其中不成立的个数是( )


A．0 B．1


C．2 D．3


D [虽然已知a>b，但并不知道a，b的正负，如有2>－3，但22<(－3)2，故①错；2>－3⇒eq \f(1,2)>－eq \f(1,3)，②错；若有a＝1，b＝－2，则eq \f(1,a－b)＝eq \f(1,3)，eq \f(1,a)＝1，故③错．]


4．若abcd<0，且a>0，b>c，d<0，则( )


A．b<0，c<0 B．b>0，c>0


C．b>0，c<0 D．0

D [由a>0，d<0，且abcd<0，知bc>0，又∵b>c，∴0

5．若a，b，c∈R，a＞b，则下列不等式成立的是( )


A.eq \f(1,a)＜eq \f(1,b) B．a2＞b2


C.eq \f(a,c2＋1)＞eq \f(b,c2＋1) D．a|c|＞b|c|


C [对A，若a＞0＞b，则eq \f(1,a)＞0，eq \f(1,b)＜0，


此时eq \f(1,a)＞eq \f(1,b)，∴A不成立；


对B，若a＝1，b＝－2，则a2＜b2，


∴B不成立；


对C，∵c2＋1≥1，且a＞b，∴eq \f(a,c2＋1)＞eq \f(b,c2＋1)恒成立，∴C正确；


对D，当c＝0时，a|c|＝b|c|，∴D不成立．]


二、填空题


6．给出以下四个命题：


①a＞b⇒an＞bn(n∈N*)；②a＞|b|⇒an＞bn(n∈N*)；③a＜b＜0⇒eq \f(1,a)＞eq \f(1,b)；④a＜b＜0⇒eq \f(1,a－b)＞eq \f(1,a).其中真命题的序号是________．


②③ [①中取a＝－1，b＝－2，n＝2，不成立；②a＞|b|，得a＞0，∴an＞bn成立；


③a＜b＜0，得eq \f(1,a)＞eq \f(1,b)成立；


④a＜b＜0，得a－b＜0，且a－b＞a，故eq \f(1,a－b)＜eq \f(1,a)，④不成立．]


7．设x＞1，－1＜y＜0，试将x，y，－y按从小到大的顺序排列：________.


y＜－y＜x [∵－1＜y＜0，∴0＜－y＜1，∴y＜－y，又x＞1，∴y＜－y＜x.]


8．若8

(2,5) [∵2

∵8

三、解答题


9．(1)a

(2)已知a>b，eq \f(1,a)0.


[证明] (1)由于eq \f(b,a)－eq \f(a,b)＝eq \f(b2－a2,ab)


＝eq \f(b＋ab－a,ab)，


∵a

∴b＋a<0，b－a>0，ab>0，


∴eq \f(b＋ab－a,ab)<0，故eq \f(b,a)

(2)∵eq \f(1,a)

∴eq \f(1,a)－eq \f(1,b)<0，


即eq \f(b－a,ab)<0，


而a>b，


∴b－a<0，


∴ab>0.


10．已知：3＜a＋b＜4,0＜b＜1，求下列各式的取值范围．


(1)a；(2)a－b；(3)eq \f(a,b).


[解] (1)∵3＜a＋b＜4,0＜b＜1，


∴－1＜－b＜0，


∴2＜a＋b＋(－b)＜4，


即2＜a＜4.


(2)∵0＜b＜1，∴－1＜－b＜0.


又∵2＜a＜4，


∴1＜a－b＜4.


(3)∵0＜b＜1，∴eq \f(1,b)＞1，


又∵2＜a＜4，∴eq \f(a,b)＞2.


[等级过关练]


1．a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，下列不等式恒成立的是( )


A．ac＞bc B．ab＞ac


C．a|b|＞c|b| D．a2＞b2＞c2


B [∵a＋b＋c＝0且a＞b＞c，


∴a＞0，c＜0，∴A不正确．


对于B，ab＞ac⇔a(b－c)＞0.又b－c＞0，a＞0，故B正确；由于|b|有可能为0，故C不正确，若a＝2，b＝1，c＝－3，显然a＋b＋c＝0，但a2＞b2且b2＜c2，故D不正确．]


2．若α，β满足－eq \f(π,2)＜α＜β＜eq \f(π,2)，则2α－β的取值范围是( )


A．－π＜2α－β＜0 B．－π＜2α－β＜π


C．－eq \f(3π,2)＜2α－β＜eq \f(π,2) D．0＜2α－β＜π


C [∵－eq \f(π,2)＜α＜eq \f(π,2)，∴－π＜2α＜π.∵－eq \f(π,2)＜β＜eq \f(π,2)，


∴－eq \f(π,2)＜－β＜eq \f(π,2)，∴－eq \f(3π,2)＜2α－β＜eq \f(3π,2).又α－β＜0，α＜eq \f(π,2)，∴2α－β＜eq \f(π,2).故－eq \f(3π,2)＜2α－β＜eq \f(π,2).]


3．已知－1≤x＋y≤4，且2≤x－y≤3，则z＝2x－3y的取值范围是________．


[3,8] [∵z＝－eq \f(1,2)(x＋y)＋eq \f(5,2)(x－y)，


－2≤－eq \f(1,2)(x＋y)≤eq \f(1,2)，5≤eq \f(5,2)(x－y)≤eq \f(15,2)，


∴3≤－eq \f(1,2)(x＋y)＋eq \f(5,2)(x－y)≤8，


∴3≤z≤8.]


4．设a，b为正实数，有下列命题：


①若a2－b2＝1，则a－b<1；


②若eq \f(1,b)－eq \f(1,a)＝1，则a－b<1；


③若|eq \r(a)－eq \r(b)|＝1，则|a－b|<1；


④若|a3－b3|＝1，则|a－b|<1.


其中正确的命题为________．(写出所有正确命题的序号)


①④ [对于①，由题意a，b为正实数，则a2－b2＝1⇒a－b＝eq \f(1,a＋b)⇒a－b>0⇒a>b>0，故a＋b>a－b>0.若a－b≥1，则eq \f(1,a＋b)≥1⇒a＋b≤1≤a－b，这与a＋b>a－b>0矛盾，故a－b<1成立．


对于②，取特殊值，a＝3，b＝eq \f(3,4)，则a－b>1.


对于③，取特殊值，a＝9，b＝4时，|a－b|>1.


对于④，∵|a3－b3|＝1，a>0，b>0，


∴a≠b，不妨设a>b>0.


∴a2＋ab＋b2>a2－2ab＋b2>0，


∴(a－b)(a2＋ab＋b2)>(a－b)(a－b)2.


即a3－b3>(a－b)3>0，


∴1＝|a3－b3|>(a－b)3>0，


∴0

即|a－b|<1.因此④正确．]


5．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c满足以下条件：


(1)该函数图像过原点；


(2)当x＝－1时，y的取值范围为大于等于1且小于等于2；


(3)当x＝1时，y的取值范围为大于等于3且小于等于4.


求当x＝－2时，y的取值范围．


[解] ∵二次函数y＝ax2＋bx＋c图像过原点，


∴c＝0，


∴y＝ax2＋bx.


又∵当x＝－1时，1≤a－b≤2.①


当x＝1时，3≤a＋b≤4，②


∴当x＝－2时，y＝4a－2b.


设存在实数m，n，使得


4a－2b＝m(a＋b)＋n(a－b)，


而4a－2b＝(m＋n)a＋(m－n)b，


∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＋n＝4，,m－n＝－2，))解得m＝1，n＝3，


∴4a－2b＝(a＋b)＋3(a－b)．


由①②可知3≤a＋b≤4,3≤3(a－b)≤6，


∴3＋3≤4a－2b≤4＋6.


即6≤4a－2b≤10，


故当x＝－2时，y的取值范围是大于等于6且小于等于10.