人教B版 (2019)必修 第一册1.2.3 充分条件、必要条件练习题
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[合格基础练]
一、选择题
1.设A,B是两个集合,则“A∩B=A”是“A⊆B”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
C [由A∩B=A可知A⊆B;反过来A⊆B,则A∩B=A,故选C.]
2.已知集合A={1,a},B={1,2,3},则“a=3”是“A⊆B”的( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
A [当a=3时,A={1,3},所以A⊆B,即a=3能推出A⊆B;
反之当A⊆B时,a=3或a=2,所以A⊆B成立,推不出a=3.
故“a=3”是“A⊆B”的充分不必要条件,故选A.]
3.已知集合A={x||x|≤4,x∈R},B={x|x≤a},则“A⊆B”是“a>5”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
B [因为|x|≤4⇔-4≤x≤4,所以A={x|-4≤x≤4}.又A⊆B,所以a≥4,故选B.]
4.实数a,b中至少有一个不为零的充要条件是( )
A.ab=0 B.ab>0
C.a2+b2=0 D.a2+b2>0
D [a2+b2>0,则a,b不同时为零;a,b中至少有一个不为零,则a2+b2>0.故选D.]
5.“xy≥0”是“|x+y|=|x|+|y|”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
[答案] A
二、填空题
6.已知a,b是实数,则“a>0且b>0”是“a+b>0且ab>0”的______条件.
充要 [因为a>0,b>0,所以a+b>0,ab>0,
所以充分性成立;因为ab>0,所以a与b同号,又a+b>0,所以a>0且b>0,所以必要性成立.故“a>0且b>0”是“a+b>0且ab>0”的充要条件.]
7.若p:x-3<0是q:2x-3
{m|m>3} [由x-3<0得x<3,由2x-3
由p是q的充分不必要条件知
{x|x<3}eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x<\f(1,2)m+3)))),
所以eq \f(1,2)(m+3)>3,解得m>3.]
8.设计如图所示的四个电路图,条件A:“开关S1闭合”;条件B:“灯泡L亮”,则A是B的充要条件的图为________.
乙 [对于图甲,开关S1闭合灯亮,反过来灯泡L亮,也可能是开关S2闭合,
∴A是B的充分不必要条件.
对于图乙,只有一个开关,灯如果要亮,开关S1必须闭合,
∴A是B的充要条件.
对于图丙,∵灯亮必须S1和S2同时闭合,
∴A是B的必要不充分条件.
对于图丁,灯一直亮,跟开关没有关系,
∴A是B的既不充分也不必要条件.]
三、解答题
9.求关于x的方程ax2+x+1=0至少有一个负实根的充要条件.
[解] ①当a=0时,解得x=-1,满足条件;
②当a≠0时,显然方程没有零根,若方程有两异号实根,则a<0;
若方程有两个负的实根,
则必须满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,a)>0,,-\f(1,a)<0,,Δ=1-4a≥0))⇒0<a≤eq \f(1,4).
综上,若方程至少有一个负实根,则a≤eq \f(1,4).
反之,若a≤eq \f(1,4),则方程至少有一个负实根.
10.求证:一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.
[证明] 充分性:(由ac<0推证方程有一正根和一负根)
∵ac<0,
∴一元二次方程ax2+bx+c=0的判别式Δ=b2-4ac>0,
∴方程一定有两不等实根,设为x1,x2,则x1x2=eq \f(c,a)<0,
∴方程的两根异号.
即方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根.
必要性:(由方程有一正根和一负根,推证ac<0),
∵方程有一正根和一负根,设为x1,x2,
则由根与系数的关系得x1x2=eq \f(c,a)<0,
即ac<0.
综上可知:一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.
[等级过关练]
1.若非空集合A,B,C满足A∪B=C,且B不是A的子集,则( )
A.“x∈C”是“x∈A”的充分条件但不是必要条件
B.“x∈C”是“x∈A”的必要条件但不是充分条件
C.“x∈C”是“x∈A”的充要条件
D.“x∈C”既不是“x∈A”的充分条件也不是“x∈A”的必要条件
B [由A∪B=C知,x∈A⇒x∈C,x∈CD/⇒x∈A.所以x∈C是x∈A的必要不充分条件.]
2.记实数x1,x2,…,xn中的最大数为max{x1,x2,…,xn},最小数为min{x1,x2,…,xn}.已知△ABC的三边边长为a,b,c(a≤b≤c),定义它的倾斜度为l=maxeq \f(a,b),eq \f(b,c),eq \f(c,a)·mineq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(a,b),\f(b,c),\f(c,a))),则“l=1”是“△ABC为等边三角形”的( )
A.必要而不充分条件B.充分而不必要条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
A [当△ABC是等边三角形时,a=b=c,
∴l=maxeq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(a,b),\f(b,c),\f(c,a)))·mineq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(a,b),\f(b,c),\f(c,a)))=1×1=1.
∴“l=1”是“△ABC为等边三角形”的必要条件.
∵a≤b≤c,∴maxeq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(a,b),\f(b,c),\f(c,a)))=eq \f(c,a).
又∵l=1,∴mineq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(a,b),\f(b,c),\f(c,a)))=eq \f(a,c),即eq \f(a,b)=eq \f(a,c)或eq \f(b,c)=eq \f(a,c),
得b=c或b=a,可知△ABC为等腰三角形,而不能推出△ABC为等边三角形.
∴“l=1”不是“△ABC为等边三角形”的充分条件.]
3.设m∈N*,一元二次方程x2-4x+m=0有整数根的充要条件是m=________.
3或4 [x=eq \f(4±\r(16-4m),2)=2±eq \r(4-m),因为x是整数,即2±eq \r(4-m)为整数,所以eq \r(4-m)为整数,且m≤4.又m∈N*,取m=1,2,3,4.验证可得m=3,4符合题意,所以m=3,4时可以推出一元二次方程x2-4x+m=0有整数根.]
4.设p:eq \f(1,2)≤x≤1;q:a≤x≤a+1,若p是q的充分条件,则实数a的取值范围是________.
eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0,\f(1,2))) [因为q:a≤x≤a+1,p是q的充分条件,
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a≤\f(1,2),,a+1≥1,))解得0≤a≤eq \f(1,2).]
5.已知a,b,c∈R,a≠0,判断“a-b+c=0”是“二次方程ax2+bx+c=0有一根为-1”的什么条件?并说明理由.
[解] “a-b+c=0”是“二次方程ax2+bx+c=0有一根为-1”的充要条件.理由如下:
当a,b,c∈R,a≠0时,
若“a-b+c=0”,则-1满足二次方程ax2+bx+c=0,即“二次方程ax2+bx+c=0有一根为-1”,
故“a-b+c=0”是“二次方程ax2+bx+c=0有一根为-1”的充分条件,
若“二次方程ax2+bx+c=0有一根为-1”,则“a-b+c=0”,
故“a-b+c=0”是“二次方程ax2+bx+c=0有一根为-1”的必要条件,
综上所述,“a-b+c=0”是“二次方程ax2+bx+c=0有一根为-1”的充要条件.
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