高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第四章 指数函数与对数函数4.4 对数函数教学设计

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最新课程标准：(1)通过具体实例，了解对数函数的概念．能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点．(2)知道对数函数y＝lgax与指数函数y＝ax互为反函数(a＞0，且a≠1)．(3)收集、阅读对数概念的形成与发展的历史资料，撰写小论文，论述对数发明的过程以及对数对简化运算的作用.








知识点一 对数函数的概念


函数y＝lgax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．


eq \x(状元随笔) 形如y＝2lg2x，y＝lg2eq \f(x,3)都不是对数函数，可称其为对数型函数．


知识点二 对数函数的图象与性质


eq \x(状元随笔) 底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当a＞1时，对数函数的图象“上升”；当0＜a＜1时，对数函数的图象“下降”．


知识点三 反函数


一般地，指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝lgax(a＞0，且a≠1)互为反函数，它们的定义域与值域正好互换．


[教材解难]


1．教材P130思考


根据指数与对数的关系，由y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) (x≥0)得到x＝lgy(0＜y≤1)．如图，过y轴正半轴上任意一点(0，y0)(0＜y0≤1)作x轴的平行线，与y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) (x≥0)的图象有且只有一个交点(x0，y0)．这就说明，对于任意一个y∈(0,1]，通过对应关系x＝lgy，在[0，＋∞)上都有唯一确定的数x和它对应，所以x也是y的函数．也就是说，函数x＝lgy，y∈(0,1]刻画了时间x随碳14含量y的衰减而变化的规律．








2．教材P132思考





利用换底公式，可以得到y＝lgx＝－lg2x.因为点(x，y)与点(x，－y)关于x轴对称，所以y＝lg2x图象上任意一点P(x，y)关于x轴的对称点P1(x，－y)都在y＝lgx的图象上，反之亦然．由此可知，底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴对称．根据这种对称性，就可以利用y＝lg2x的图象画出y＝lgx的图象．


3．教材P138思考


一般地，虽然对数函数y＝lgax(a＞1)与一次函数y＝kx(k＞0)在区间(0，＋∞)上都单调递增，但它们的增长速度不同．随着x的增大，一次函数y＝kx(k＞0)保持固定的增长速度，而对数函数y＝lgax(a＞1)的增长速度越来越慢．不论a的值比k的值大多少，在一定范围内，lgax可能会大于kx，但由于lgax的增长慢于kx的增长，因此总会存在一个x0，当x＞x0时，恒有lgax＜kx.








4．4.1 对数函数的概念


[基础自测]


1．下列函数中是对数函数的是( )


A．y＝lgx B．y＝lg (x＋1)


C．y＝2lgx D．y＝lgx＋1


解析：形如y＝lgax(a＞0，且a≠1)的函数才是对数函数，只有A是对数函数．


答案：A


2．函数y＝eq \r(x)ln(1－x)的定义域为( )


A．(0,1) B．[0,1)


C．(0,1] D．[0,1]


解析：由题意，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≥0，,1－x＞0，))解得0≤x＜1；故函数y＝eq \r(x)ln(1－x)的定义域为[0,1)．


答案：B


3．函数y＝lga(x－1)(0＜a＜1)的图象大致是( )





解析：∵0＜a＜1，∴y＝lgax在(0，＋∞)上单调递减，故A，B可能正确；


又函数y＝lga(x－1)的图象是由y＝lgax的图象向右平移一个单位得到，故A正确．


答案：A


4．若f(x)＝lg2x，x∈[2,3]，则函数f(x)的值域为________．


解析：因为f(x)＝lg2x在[2,3]上是单调递增的，


所以lg22≤lg2x≤lg23，即1≤lg2x≤lg23.


答案：[1，lg23]





题型一 对数函数的概念


例1 下列函数中，哪些是对数函数？


(1)y＝lgaeq \r(x)(a＞0，且a≠1)；


(2)y＝lg2x＋2；


(3)y＝8lg2(x＋1)；


(4)y＝lgx6(x＞0，且x≠1)；


(5)y＝lg6x.


【解析】 (1)中真数不是自变量x，不是对数函数．(2)中对数式后加2，所以不是对数函数．(3)中真数为x＋1，不是x，系数不为1，故不是对数函数．(4)中底数是自变量x，而非常数，所以不是对数函数．(5)中底数是6，真数为x，系数为1，符合对数函数的定义，故是对数函数.


用对数函数的概念例如y＝lgax(a＞0且a≠1)来判断．





方法归纳


判断一个函数是对数函数的方法





跟踪训练1 若函数f(x)＝(a2－a＋1)lg(a＋1)x是对数函数，则实数a＝________.


解析：由a2－a＋1＝1，解得a＝0或a＝1.


又底数a＋1＞0，且a＋1≠1，所以a＝1.


答案：1


对数函数y＝lgax系数为1.





题型二 求函数的定义域[教材P130例1]


例2 求下列函数的定义域：


(1)y＝lg3x2；


(2)y＝lga(4－x)(a＞0，且a≠1)．


【解析】 (1)因为x2＞0，即x≠0，所以函数y＝lg3x2的定义域是{x|x≠0}．


(2)因为4－x＞0，即x＜4，所以函数y＝lga(4－x)的定义域是{x|x＜4}.


真数大于0.





教材反思


求定义域有两种题型，一种是已知函数解析式求定义域，常规为：分母不为0；0的零次幂与负指数次幂无意义；偶次根式被开方式(数)非负；对数的真数大于0，底数大于0且不等于1.另一种是抽象函数的定义域问题．同时应注意求函数定义域的解题步骤．





跟踪训练2 求下列函数的定义域：


(1)y＝lg(x＋1)＋eq \f(3x2,\r(1－x))；


(2)y＝lg(x－2)(5－x)．


解析：(1)要使函数有意义，


需eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1＞0，,1－x＞0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＞－1，,x＜1.))


∴－1＜x＜1，∴函数的定义域为(－1,1)．


(2)要使函数有意义，需eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(5－x＞0，,x－2＞0，,x－2≠1，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＜5，,x＞2，,x≠3.))


∴定义域为(2,3)∪(3,5)．


真数大于0，偶次根式被开方数大于等于0，分母不等于0，列不等式组求解．


题型三 对数函数的图象问题


例3 (1)函数y＝x＋a与y＝lgax的图象只可能是下图中的( )





(2)已知函数y＝lga(x＋3)－1(a＞0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A也在函数f(x)＝3x＋b的图象上，则f(lg32)＝________.


(3)如图所示的曲线是对数函数y＝lgax，y＝lgbx，y＝lgcx，y＝lgdx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系为________．





【解析】 (1)A中，由y＝x＋a的图象知a＞1，而y＝lgax为减函数，A错；B中，0＜a＜1，而y＝lgax为增函数，B错；C中，0＜a＜1，且y＝lgax为减函数，所以C对；D中，a＜0，而y＝lgax无意义，也不对．


(2)依题意可知定点A(－2，－1)，f(－2)＝3－2＋b＝－1，b＝－eq \f(10,9)，故f(x)＝3x－eq \f(10,9)，f(lg32)＝3－eq \f(10,9)＝2－eq \f(10,9)＝eq \f(8,9).


(3)由题干图可知函数y＝lgax，y＝lgbx的底数a＞1，b＞1，函数y＝lgcx，y＝lgdx的底数0＜c＜1,0＜d＜1.


过点(0,1)作平行于x轴的直线，则直线与四条曲线交点的横坐标从左向右依次为c，d，a，b，显然b＞a＞1＞d＞c.


【答案】 (1)C (2)eq \f(8,9) (3)b＞a＞1＞d＞c


eq \x(状元随笔) (1)由函数y＝x＋a的图象判断出a的范围．


(2)依据lga1＝0，a0＝1，求定点坐标．


(3)沿直线y＝1自左向右看，对数函数的底数由小变大．





方法归纳


解决对数函数图象的问题时要注意


(1)明确对数函数图象的分布区域．对数函数的图象在第一、四象限．当x趋近于0时，函数图象会越来越靠近y轴，但永远不会与y轴相交．


(2)建立分类讨论的思想．在画对数函数图象之前要先判断对数的底数a的取值范围是a＞1，还是0＜a＜1.


(3)牢记特殊点．对数函数y＝lgax(a＞0，且a≠1)的图象经过点：(1,0)，(a,1)和eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)，－1)).





跟踪训练3





(1)如图所示，曲线是对数函数y＝lgax(a＞0，且a≠1)的图象，已知a取eq \r(3)，eq \f(4,3)，eq \f(3,5)，eq \f(1,10)，则相应于C1，C2，C3，C4的a值依次为( )


A.eq \r(3)，eq \f(4,3)，eq \f(3,5)，eq \f(1,10)


B.eq \r(3)，eq \f(4,3)，eq \f(1,10)，eq \f(3,5)


C.eq \f(4,3)，eq \r(3)，eq \f(3,5)，eq \f(1,10)


D.eq \f(4,3)，eq \r(3)，eq \f(1,10)，eq \f(3,5)


(2)函数y＝lga|x|＋1(0＜a＜1)的图象大致为( )











解析：(1)方法一 作直线y＝1与四条曲线交于四点，由y＝lgax＝1，得x＝a(即交点的横坐标等于底数)，所以横坐标小的底数小，所以C1，C2，C3，C4对应的a值分别为eq \r(3)，eq \f(4,3)，eq \f(3,5)，eq \f(1,10)，故选A.


方法二 由对数函数的图象在第一象限内符合底大图右的规律，所以底数a由大到小依次为C1，C2，C3，C4，即eq \r(3)，eq \f(4,3)，eq \f(3,5)，eq \f(1,10).故选A.


增函数底数a＞1，


减函数底数0＜a＜1.





(2)函数为偶函数，在(0，＋∞)上为减函数，(－∞，0)上为增函数，故可排除选项B，C，又x＝±1时y＝1，故选A.


先去绝对值，再利用单调性判断.


答案：(1)A (2)A











课时作业 23





一、选择题


1．下列函数是对数函数的是( )


A．y＝2＋lg3x


B．y＝lga(2a)(a＞0，且a≠1)


C．y＝lgax2(a＞0，且a≠1)


D．y＝ln x


解析：判断一个函数是否为对数函数，其关键是看其是否具有“y＝lgax”的形式，A，B，C全错，D正确．


答案：D


2．若某对数函数的图象过点(4,2)，则该对数函数的解析式为( )


A．y＝lg2x B．y＝2lg4x


C．y＝lg2x或y＝2lg4x D．不确定


解析：由对数函数的概念可设该函数的解析式为y＝lgax(a＞0，且a≠1，x＞0)，则2＝lga4即a2＝4得a＝2.故所求解析式为y＝lg2x.


答案：A


3．设函数y＝eq \r(4－x2)的定义域为A，函数y＝ln(1－x)的定义域为B，则A∩B＝( )


A．(1,2) B．(1,2]


C．(－2,1) D．[－2,1)


解析：由题意可知A＝{x|－2≤x≤2}，B＝{x|x＜1}，故A∩B＝{x|－2≤x＜1}．


答案：D


4．已知a＞0，且a≠1，函数y＝ax与y＝lga(－x)的图象只能是下图中的( )





解析：由函数y＝lga(－x)有意义，知x＜0，所以对数函数的图象应在y轴左侧，可排除A，C.又当a＞1时，y＝ax为增函数，所以图象B适合．


答案：B


二、填空题


5．若f(x)＝lgax＋(a2－4a－5)是对数函数，则a＝________.


解析：由对数函数的定义可知


eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2－4a－5＝0,a＞0,a≠1))，∴a＝5.


答案：5


6．已知函数f(x)＝lg3x，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,5)))＋f(15)＝________.


解析：feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,5)))＋f(15)＝lg3eq \f(9,5)＋lg315＝lg327＝3.


答案：3


7．函数f(x)＝lga(2x－3)(a＞0且a≠1)的图象恒过定点P，则P点的坐标是________．


解析：令2x－3＝1，解得x＝2，且f(2)＝lga1＝0恒成立，所以函数f(x)的图象恒过定点P(2,0)．


答案：(2,0)


三、解答题


8．求下列函数的定义域：


(1)y＝lg3(1－x)；


(2)y＝eq \f(1,lg2x)；


(3)y＝lg7eq \f(1,1－3x).


解析：(1)由1－x＞0，得x＜1，


∴函数y＝lg3(1－x)的定义域为(－∞，1)．


(2)由lg2x≠0，得x＞0且x≠1.


∴函数y＝eq \f(1,lg2x)的定义域为{x|x＞0且x≠1}．


(3)由eq \f(1,1－3x)＞0，得x＜eq \f(1,3).


∴函数y＝lg7eq \f(1,1－3x)的定义域为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,3))).


9．已知f(x)＝lg3x.


(1)作出这个函数的图象；


(2)若f(a)＜f(2)，利用图象求a的取值范围．


解析：(1)作出函数y＝lg3x的图象如图所示





(2)令f(x)＝f(2)，即lg3x＝lg32，


解得x＝2.


由图象知，当0＜a＜2时，


恒有f(a)＜f(2)．∴所求a的取值范围为0＜a＜2.


[尖子生题库]


10．已知函数y＝lg2x的图象，如何得到y＝lg2(x＋1)的图象？y＝lg2(x＋1)的定义域与值域是多少？与x轴的交点是什么？


解析：y＝lg2xeq \(――――――→,\s\up12(左移1个单位))y＝lg2(x＋1)，如图．





定义域为(－1，＋∞)，值域为R，与x轴的交点是(0,0)．


a＞1
0＜a＜1
图


象
性


质
定义域(0，＋∞)
值域R
过点(1,0)，即当x＝1时，y＝0
在(0，＋∞)上是增函数
在(0，＋∞)上是减函数