人教A版 (2019)必修 第一册4.3 对数教学设计

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册4.3 对数教学设计，共9页。







知识点一 对数的运算性质


若a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么：


(1)lga(M·N)＝lgaM＋lgaN，


(2)lgaeq \f(M,N)＝lgaM－lgaN，


(3)lgaMn＝nlgaM(n∈R)．


eq \x(状元随笔) 对数的这三条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时，等式才成立 . 例如，lg2[(－3)·(－5)]＝lg2(－3)＋lg2(－5)是错误的．


知识点二 对数换底公式


lgab＝eq \f(lgcb,lgca)(a＞0，a≠1，c＞0，c≠1，b＞0)．


特别地：lgab·lgba＝1(a＞0，a≠1，b＞0，b≠1)．


eq \x(状元随笔) 对数换底公式常见的两种变形


(1)lgab·lgba＝1，即eq \f(1,lgab)＝lgba ，此公式表示真数与底数互换，所得的对数值与原对数值互为倒数 .


(2)lgNMm＝eq \f(m,n)lgNM，此公式表示底数变为原来的n次方，真数变为原来的m次方，所得的对数值等于原来对数值的eq \f(m,n)倍．


[教材解难]


换底公式的推导


设x＝lgab，化为指数式为ax＝b，两边取以c为底的对数，得lgcax＝lgcb，即xlgca＝lgcb.


所以x＝eq \f(lgcb,lgca)，即lgab＝eq \f(lgcb,lgca).


[基础自测]


1．下列等式成立的是( )


A．lg2(8－4)＝lg28－lg24


B.eq \f(lg28,lg24)＝lg2eq \f(8,4)


C．lg28＝3lg22


D．lg2(8＋4)＝lg28＋lg24


解析：由对数的运算性质易知C正确．


答案：C


2.eq \f(lg49,lg43)的值为( )


A.eq \f(1,2) B．2


C.eq \f(3,2) D.eq \f(9,2)


解析：原式＝lg39＝2.


答案：B


3．2lg510＋lg50.25＝( )


A．0 B．1


C．2 D．4


解析：原式＝lg5102＋lg50.25


＝lg5(102×0.25)＝lg525＝2.


答案：C


4．已知ln 2＝a，ln 3＝b，那么lg32用含a，b的代数式表示为________．


解析：lg32＝eq \f(ln 2,ln 3)＝eq \f(a,b).


答案：eq \f(a,b)





题型一 对数运算性质的应用[教材P124例3]


例1 求下列各式的值：


(1)lg eq \r(5,100)；


(2)lg2(47×25)．


【解析】 (1)lgeq \r(5,100)＝lg 100＝eq \f(1,5)lg 100＝eq \f(2,5)；


(2)lg2(47×25)＝lg247＋lg225


＝7lg24＋5lg22


＝7×2＋5×1


＝19.


利用对数运算性质计算．


教材反思


1．对于同底的对数的化简，常用方法是：


(1)“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；


(2)“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)．


2．对数式的化简、求值一般是正用或逆用公式，要养成正用、逆用、变形应用公式的习惯，lg 2＋lg 5＝1在计算对数值时会经常用到，同时注意各部分变形要化到最简形式．


跟踪训练1 (1)计算：lgeq \f(5,2)＋2lg 2－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))－1＝________.


(2)求下列各式的值．


①lg53＋lg5eq \f(1,3)


②(lg 5)2＋lg 2·lg 50


③lg 25＋eq \f(2,3)lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2.


解析：(1)lgeq \f(5,2)＋2lg 2－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))－1＝lg 5－lg 2＋2lg 2－2＝(lg 5＋lg 2)－2＝1－2＝－1.


(2)①lg53＋lg5eq \f(1,3)＝lg5eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3×\f(1,3)))＝lg51＝0.


②(lg 5)2＋lg 2·lg 50


＝(lg 5)2＋(1＋lg 5)lg 2


＝(lg 5)2＋lg 2＋lg 2·lg 5


＝lg 5(lg 5＋lg 2)＋lg 2


＝lg 5＋lg 2＝lg 10＝1.


③原式＝lg 25＋lg 8＋lgeq \f(10,2)·lg(10×2)＋(lg 2)2


＝lg 25＋lg 4＋(lg 10－lg 2)(lg 10＋lg 2)＋(lg 2)2


＝lg 100＋(lg 10)2－(lg 2)2＋(lg 2)2＝2＋1＝3.


答案：(1)－1 (2)见解析


利用对数运算性质化简求值．


题型二 对数换底公式的应用[经典例题]


例2 (1)已知2x＝3y＝a，eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)＝2，则a的值为( )


A．36 B．6


C．2eq \r(6) D.eq \r(6)


(2)计算下列各式：


①lg89·lg2732.


②2lg 4＋lg 5－lg 8－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3\f(3,8))).


③64eq \f(1,3)＋lg 4＋2lg 5.


【解析】 (1)因为2x＝3y＝a，


所以x＝lg2a，y＝lg3a，


所以eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)＝eq \f(1,lg2a)＋eq \f(1,lg3a)＝lga2＋lga3＝lga6＝2，


所以a2＝6，解得a＝±eq \r(6).


又a＞0，所以a＝eq \r(6).


(2)①lg89·lg2732＝eq \f(lg 9,lg 8)·eq \f(lg 32,lg 27)


＝eq \f(lg 32,lg 23)·eq \f(lg 25,lg 33)＝eq \f(2lg 3,3lg 2)·eq \f(5lg 2,3lg 3)＝eq \f(10,9).


②2lg 4＋lg 5－lg 8－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3\f(3,8)))＝lg 16＋lg 5－lg 8－eq \f(1,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(3,\f(27,8))))2)＝lgeq \f(16×5,8)－eq \f(1,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))2)＝1－eq \f(4,9)＝eq \f(5,9).


③64eq \f(1,3)＋lg 4＋2lg 5＝4＋lg(4×52)＝4＋2＝6.


【答案】 (1)D (2)见解析


eq \x(状元随笔) 1.先把指数式化为对数式，再用换底公式，把所求式化为同底对数式，最后用对数的运算性质求值．


2．先用换底公式将式子变为同底的形式，再用对数的运算性质计算并约分．





方法归纳


(1)换底公式中的底可由条件决定，也可换为常用对数的底，一般来讲，对数的底越小越便于化简，如an为底的换为a为底．


(2)换底公式的派生公式：lgab＝lgac·lgcb；lganbm＝eq \f(m,n)lgab.


跟踪训练2 (1)式子lg916·lg881的值为( )


A.18 B.eq \f(1,18)


C.eq \f(8,3) D.eq \f(3,8)


(2)(lg43＋lg83)(lg32＋lg98)等于( )


A.eq \f(5,6) B.eq \f(25,12)


C.eq \f(9,4) D．以上都不对


解析：(1)原式＝lg3224·lg2334＝2lg32·eq \f(4,3)lg23＝eq \f(8,3).


(2)原式＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(lg33,lg34)＋\f(lg33,lg38)))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lg32＋\f(lg38,lg39)))


＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2lg32)＋\f(1,3lg32)))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lg32＋\f(3lg32,2)))


＝eq \f(5,6lg32)×eq \f(5,2)lg32＝eq \f(25,12).


答案：(1)C (2)B


利用换底公式化简求值．


题型三 用已知对数表示其他对数


例3 已知lg189＝a,18b＝5，用a，b表示lg3645.


解析：方法一 因为lg189＝a，所以9＝18a.


又5＝18b，


所以lg3645＝lg2×18(5×9)＝lg2×1818a＋b＝(a＋b)·lg2×1818.


又因为lg2×1818＝eq \f(1,lg1818×2)＝eq \f(1,1＋lg182)＝eq \f(1,1＋lg18\f(18,9))＝eq \f(1,1＋1－lg189)＝eq \f(1,2－a)，所以原式＝eq \f(a＋b,2－a).


方法二 ∵18b＝5，∴lg185＝b.


∴lg3645＝eq \f(lg1845,lg1836)＝eq \f(lg185×9,lg184×9)＝eq \f(lg185＋lg189,2lg182＋lg189)＝eq \f(a＋b,2lg18\f(18,9)＋lg189)＝eq \f(a＋b,2－2lg189＋lg189)＝eq \f(a＋b,2－a).


eq \x(状元随笔) 方法一 对数式化为指数式，再利用对数运算性质求值．


方法二 先求出a、b，再利用换底公式化简求值.





方法归纳


用已知对数的值表示所求对数的值，要注意以下几点：


(1)增强目标意识，合理地把所求向已知条件靠拢，巧妙代换；


(2)巧用换底公式，灵活“换底”是解决这种类型问题的关键；


(3)注意一些派生公式的使用．


跟踪训练3 (1)已知lg62＝p，lg65＝q，则lg 5＝________；(用p，q表示)


(2)①已知lg147＝a,14b＝5，用a，b表示lg3528.


②设3x＝4y＝36，求eq \f(2,x)＋eq \f(1,y)的值．


解析：(1)lg 5＝eq \f(lg65,lg610)＝eq \f(q,lg62＋lg65)＝eq \f(q,p＋q).


(2)①∵lg147＝a,14b＝5，


∴b＝lg145.


∴lg3528＝eq \f(lg1428,lg1435)＝eq \f(lg14\f(142,7),lg145×7)





＝eq \f(lg14142－lg147,lg145＋lg147)＝eq \f(2－a,a＋b).


②∵3x＝36,4y＝36，


∴x＝lg336，y＝lg436，


∴eq \f(1,x)＝eq \f(1,lg336)＝eq \f(1,\f(lg3636,lg363))＝lg363，


eq \f(1,y)＝eq \f(1,lg436)＝eq \f(1,\f(lg3636,lg364))＝lg364，


∴eq \f(2,x)＋eq \f(1,y)＝2lg363＋lg364＝lg36(9×4)＝1.


答案：(1)eq \f(q,p＋q) (2)①eq \f(2－a,a＋b) ②1


(1)利用换底公式化简．


(2)利用对数运算性质化简求值．














课时作业 22





一、选择题


1．若a＞0，a≠1，x＞y＞0，下列式子：


①lgax·lgay＝lga(x＋y)；②lgax－lgay＝lga(x－y)；③lgaeq \f(x,y)＝lgax÷lgay；④lga(xy)＝lgax·lgay.其中正确的个数为( )


A．0个 B．1个


C．2个 D．3个


解析：根据对数的性质知4个式子均不正确．


答案：A


2．化简eq \f(1,2)lg612－2lg6eq \r(2)的结果为( )


A．6eq \r(2) B．12eq \r(2)


C．lg6eq \r(3) D.eq \f(1,2)


解析：eq \f(1,2)lg612－2lg6eq \r(2)＝eq \f(1,2)(1＋lg62)－lg62＝eq \f(1,2)(1－lg62)＝eq \f(1,2)lg63＝lg6eq \r(3).


答案：C


3．设lg 2＝a，lg 3＝b，则eq \f(lg 12,lg 5)＝( )


A.eq \f(2a＋b,1＋a) B.eq \f(a＋2b,1＋a)


C.eq \f(2a＋b,1－a) D.eq \f(a＋2b,1－a)


解析：eq \f(lg 12,lg 5)＝eq \f(lg 3＋lg 4,lg 5)＝eq \f(lg 3＋2lg 2,1－lg 2)＝eq \f(2a＋b,1－a).


答案：C


4．若lg34·lg8m＝lg416，则m等于( )


A．3 B．9


C．18 D．27


解析：原式可化为lg8m＝eq \f(2,lg34)，eq \f(lg m,3lg 2)＝eq \f(2,\f(lg 4,lg 3))，


即lg m＝eq \f(6lg 2·lg 3,2lg 2)，lg m＝lg 27，m＝27.


故选D.


答案：D


二、填空题


5．lg 10 000＝________；lg 0.001＝________.


解析：由104＝10 000知lg 10 000＝4,10－3＝0.001得lg 0.001＝－3，注意常用对数不是没有底数，而是底数为10.


答案：4 －3


6．若lg5eq \f(1,3)·lg36·lg6x＝2，则x等于________．


解析：由换底公式，


得eq \f(－lg 3,lg 5)·eq \f(lg 6,lg 3)·eq \f(lg x,lg 6)＝2，


lg x＝－2lg 5，x＝5－2＝eq \f(1,25).


答案：eq \f(1,25)


7.eq \f(lg 2＋lg 5－lg 1,2lg \f(1,2)＋lg 8)·(lg 32－lg 2)＝________.


解析：原式＝eq \f(lg2×5－0,lg\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2×8)))×lgeq \f(32,2)＝eq \f(1,lg 2)·lg 24＝4.


答案：4


三、解答题


8．化简：(1)eq \f(lg 3＋\f(2,5)lg 9＋\f(3,5)lg\r(27)－lg\r(3),lg 81－lg 27)；


(2)(lg 5)2＋lg 2lg 50＋2.


解析：(1)方法一 (正用公式)：


原式＝eq \f(lg 3＋\f(4,5)lg 3＋\f(9,10)lg 3－\f(1,2)lg 3,4lg 3－3lg 3)


＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(4,5)＋\f(9,10)－\f(1,2)))lg 3,lg 3)＝eq \f(11,5).


方法二 (逆用公式)：


原式＝eq \f(lg\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3×9\f(2,5)×27\f(1,2)×\f(3,5)×3－\f(1,2))),lg\f(81,27))


＝eq \f(lg 3\f(11,5),lg 3)＝eq \f(11,5).


(2)原式＝(lg 5)2＋lg 2(lg 5＋1)＋21·2＝lg 5·(lg 5＋lg 2)＋lg 2＋2eq \r(5)＝1＋2eq \r(5).


9．计算：(1)lg1627lg8132；


(2)(lg32＋lg92)(lg43＋lg83)．


解析：(1)lg1627lg8132＝eq \f(lg 27,lg 16)×eq \f(lg 32,lg 81)


＝eq \f(lg 33,lg 24)×eq \f(lg 25,lg 34)＝eq \f(3lg 3,4lg 2)×eq \f(5lg 2,4lg 3)＝eq \f(15,16).


(2)(lg32＋lg92)(lg43＋lg83)


＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lg32＋\f(lg32,lg39)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(lg23,lg24)＋\f(lg23,lg28)))


＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lg32＋\f(1,2)lg32))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)lg23＋\f(1,3)lg23))


＝eq \f(3,2)lg32×eq \f(5,6)lg23＝eq \f(5,4)×eq \f(lg 2,lg 3)×eq \f(lg 3,lg 2)＝eq \f(5,4).


[尖子生题库]


10．已知2x＝3y＝6z≠1，求证：eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)＝eq \f(1,z).


证明：设2x＝3y＝6z＝k(k≠1)，


∴x＝lg2k，y＝lg3k，z＝lg6k，


∴eq \f(1,x)＝lgk2，eq \f(1,y)＝lgk3，eq \f(1,z)＝lgk6＝lgk2＋lgk3，


∴eq \f(1,z)＝eq \f(1,x)＋eq \f(1,y).