高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第四章 指数函数与对数函数4.1 指数教学设计及反思

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第四章 指数函数与对数函数4.1 指数教学设计及反思，共10页。教案主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

最新课程标准：通过对有理数指数幂a (a>0，且a≠1；m，n为整数，且n>0)、实数指数幂ax(a>0，且a≠1；x∈R)含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质．








知识点一 n次方根及根式的概念


1．a的n次方根的定义


如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.


2．a的n次方根的表示


(1)当n是奇数时，a的n次方根表示为eq \r(n,a)，a∈R.


(2)当n是偶数时，a的n次方根表示为±eq \r(n,a)，其中－eq \r(n,a)表示a的负的n次方根，a∈[0，＋∞)．


3．根式


式子eq \r(n,a)叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．


eq \x(状元随笔) 根式的概念中要求n>1，且n∈N*.


知识点二 根式的性质


(1)(eq \r(n,a))n＝a(n∈R＋，且n>1)；


(2)eq \r(n,an)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(an为奇数，且n>1，,|a|n为偶数，且n>1.))


eq \x(状元随笔) (eq \r(n,a))n中当n为奇数时，a∈R；n为偶数时，a≥0，而eq \r(n,an)中a∈R.


知识点三 分数指数幂的意义及有理数指数幂的运


算性质


1．分数指数幂的意义


2.有理数指数幂的运算性质


(1)aras＝ar＋s；(a>0，r，s∈Q)


(2)(ar)s＝ars；(a>0，r，s∈Q)


(3)(ab)r＝arbr.(a>0，b>0，r∈Q)


3．无理数指数幂


无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质对于无理数指数幂同样适用．


[教材解难]


1．教材P105思考


可以，把根式表示为分数指数幂的形式时，例如，把eq \r(3,a2)，eq \r(b)，eq \r(4,c5)等写成下列形式：


eq \r(3,a2)＝a (a>0)，


eq \r(b)＝b (b>0)，


eq \r(4,c5)＝c (c>0)．


2．教材P108思考


无理数指数幂2eq \r(3)的含义：就是一串以eq \r(3)的不足近似值为指数、以2为底数的有理数指数幂和另一串同样以eq \r(3)的过剩近似值为指数、以2为底数的有理数指数幂无限逼近的结果，故2eq \r(3)是一个确定的实数．


[基础自测]


1.eq \r(π－42)＋π等于( )


A．4 B．2π－4


C．2π－4或4 D．4－2π


解析：eq \r(π－42)＋π＝4－π＋π＝4.故选A.


答案：A


2．b4＝3(b>0)，则b等于( )


A．34 B．3


C．43 D．35


解析：因为b4＝3(b>0)，∴b＝eq \r(4,3)＝3eq \f(1,4).


答案：B


3．下列各式正确的是( )


A.eq \r(－32)＝－3 B.eq \r(4,a4)＝a


C．(eq \r(3,－2))3＝－2 D.eq \r(3,－23)＝2


解析：由于eq \r(－32)＝3，eq \r(4,a4)＝|a|，eq \r(3,－23)＝－2，故选项A，B，D错误，故选C.


答案：C


4.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(81,625)))的值是________．


解析：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(81,625)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(625,81)))＝ eq \r(4,\f(625,81))＝eq \r(4,\f(54,34))＝ eq \r(4,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,3)))4)＝eq \f(5,3).


答案：eq \f(5,3)











题型一 利用根式的性质化简求值[经典例题]


例1 (1)下列各式正确的是( )


A.eq \r(8,a8)＝a B．a0＝1


C. eq \r(4,－44)＝－4 D. eq \r(5,－55)＝－5


(2)计算下列各式：


① eq \r(5,－a5)＝________.


② eq \r(6,3－π6)＝________.


③ eq \r(6\f(1,4))－eq \r(3,3\f(3,8))－eq \r(3,0.125)＝________.


【解析】 (1)由于eq \r(n,an)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(|a|，n为偶数，,a，n为奇数，))则选项A，C排除，D正确，B需要加条件a≠0.


(2)① eq \r(5,－a5)＝－a.


② eq \r(6,3－π6)＝eq \r(6,π－36)＝π－3.


③ eq \r(6\f(1,4))－eq \r(3,3\f(3,8))－eq \r(3,0.125)＝eq \r(\f(5,2)2)－eq \r(3,\f(3,2)3)－eq \r(3,\f(1,2)3)＝eq \f(5,2)－eq \f(3,2)－eq \f(1,2)＝eq \f(1,2).


首先确定式子eq \r(n,an)中n的奇偶，再看式子的正负，最后确定化简结果．


【答案】 (1)D (2)①－a ②π－3 ③eq \f(1,2)





方法归纳


根式化简或求值的策略


(1)解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值．


(2)开偶次方时，先用绝对值表示开方的结果，再去掉绝对值符号化简，化简时要结合条件或分类讨论．





跟踪训练1 求下列各式的值：


(1) eq \r(3,－23)； (2) eq \r(4,－32)；


(3) eq \r(8,3－π8)； (4) eq \r(x2－2xy＋y2)＋ eq \r(7,y－x7).


解析：(1) eq \r(3,－23)＝－2；


(2) eq \r(4,－32)＝ eq \r(4,32)＝ eq \r(3)；


(3) eq \r(8,3－π8)＝|3－π|＝π－3；


(4)原式＝ eq \r(x－y2)＋y－x＝|x－y|＋y－x.


当x≥y时，原式＝x－y＋y－x＝0；


当x

所以原式＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0，x≥y，,2y－x，x

由根式被开方数正负讨论x≥y，x

题型二 根式与分数指数幂的互化[经典例题]





例2 (1)将分数指数幂a (a>0)化为根式为________．


(2)化简：(a2·eq \r(5,a3))÷(eq \r(a)·eq \r(10,a9))＝________.(用分数指数幂表示)．


利用根式与分数指数幂的性质意义化为根式或分数指数幂．(3)将下列根式与分数指数幂进行互化．


①a3·eq \r(3,a2).


② eq \r(a－4b2\r(3,ab2))(a>0，b>0)．


【解析】 (1)a＝eq \f(1,a\f(3,4))＝eq \f(1,\r(4,a3))


(2)(a2·eq \r(5,a3))÷(eq \r(a)·eq \r(10,a9))＝(a2·a)÷(a·a)＝a÷a＝a＝a





【答案】 (1)eq \f(1,\r(4,a3)) (2)a (3)①a3·eq \r(3,a2)＝a3·a＝a＝a. ② eq \r(a－4b2\r(3,ab2))＝ eq \r(a－4b2·ab2\f(1,3))＝ eq \r(a－4b2a\f(1,3)b\f(2,3))＝ eq \r(a－\f(11,3)b\f(8,3))＝ab.











方法归纳


根式与分数指数幂互化的方法及思路


(1)方法：根指数分数指数的分母，被开方数(式)的指数分数指数的分子．


(2)思路：在具体计算中，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题．


提醒：如果根式中含有多重根号，要由里向外用分数指数幂写出．





跟踪训练2 下列根式与分数指数幂的互化正确的是( )


A.－eq \r(x)＝(－x) (x>0)





B.eq \r(6,y2)＝y (y<0)


C．x＝ eq \r(4,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))3)(x>0)


D．x＝－eq \r(3,x)(x≠0)


解析：－eq \r(x)＝－x (x>0)；eq \r(6,y2)＝(y2)＝－y (y<0)；


x＝(x－3) ＝eq \r(4,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))3)(x>0)；x＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝eq \r(3,\f(1,x))(x≠0)．


答案：C


A：－eq \r(x)先把 eq \r(x)＝x再加上－.


B：注意y<0.


C：负指数次幂运算．


题型三 分数指数幂的运算与化简[教材P106例4]


例3 计算下列各式(式中字母均是正数)：


(1)（2ab）（－6ab）÷（－3ab）；


(2)（mn）8；


(3)(eq \r(3,a2)－eq \r(a3))÷eq \r(4,a2).


【解析】 (1) （2ab）（－6ab）÷（－3ab）


＝[2×(－6)÷(－3)]ab


＝4ab0


＝4a；


(2) （mn）8＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m\f(1,4)))8eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n－\f(3,8)))8


＝m2n－3


＝eq \f(m2,n3)；


(3)(eq \r(3,a2)－eq \r(a3))÷eq \r(4,a2)＝（a－a）÷a


＝a÷a－a÷a


＝a－a


＝a－a


＝eq \r(6,a)－a.





eq \x(状元随笔) ①先进行指数运算，在进行指数运算时可将底数化成幂的形式，再利用幂的乘方进行运算；②对于零次幂，直接运用a0＝1(a≠0)得出结论；③底数为带分数的化成假分数，进而将底数化成幂的形式；④底数为小数的一般化成分数来运算；⑤先算乘方(开方)，再算乘除，最后算加减．








教材反思


利用指数幂的运算性质化简求值的方法


(1)进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序．


(2)在明确根指数的奇偶(或具体次数)时，若能明确被开方数的符号，则可以对根式进行化简运算．


(3)对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式表示．





跟踪训练3 计算：


(1)(－1.8)0＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))－2·eq \r(3,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3\f(3,8)))2)－eq \f(1,\r(0.01))＋eq \r(93)；


(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))·eq \f(\r(4ab－1)3,0.1－2·a3b－3\f(1,2))(a>0，b>0)．


解析：(1)原式＝1＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))2·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(27,8)))－10＋9＝1＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))2·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))2－10＋27＝29－10＝19.


(2)原式＝4eq \f(1,2)·0.12·eq \f(23·a\f(3,2)·b－\f(3,2),a\f(3,2)·b－\f(3,2))＝2×eq \f(1,100)×8＝eq \f(4,25).


eq \x(状元随笔) 先把根式化为分数指数幂再运用指数幂的运算法则计算．














一、选择题


1．将eq \r(3,－2\r(2))化为分数指数幂，其形式是( )

















A．2 B．－2


C．2 D．－2


解析： eq \r(3,－2\r(2))＝(－2eq \r(2))＝(－2×2)＝(－2eq \f(3,2))＝－2.


答案：B


2．若a (a－2)0有意义，则a的取值范围是( )


A．a≥0 B．a＝2


C．a≠2 D．a≥0且a≠2


解析：要使原式有意义，只需eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a≥0,a－2≠0))，


∴a≥0且a≠2.


答案：D


3．化简eq \f(\r(－x3),x)的结果是( )


A．－eq \r(－x) B.eq \r(x)


C．－eq \r(x) D.eq \r(－x)


解析：依题意知x<0，所以eq \f(\r(－x3),x)＝－eq \r(\f(－x3,x2))＝－eq \r(－x).


答案：A


4．化简(eq \r(3,\r(6,a9)))4·(eq \r(6,\r(3,a9)))4的结果是( )


A．a16 B．a8


C．a4 D．a2


解析：(eq \r(3,\r(6,a9)))4·(eq \r(6,\r(3,a9)))4


＝(eq \r(6,a9))·(eq \r(3,a9))


＝(a)·(a)＝a·a＝a4.


答案：C


二、填空题


5. eq \r(6\f(1,4))－eq \r(3,3\f(3,8))＋eq \r(3,0.125)的值为________．


解析：原式＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)))2)－ eq \r(3,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))3)＋ eq \r(3,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))3)


＝eq \f(5,2)－eq \f(3,2)＋eq \f(1,2)＝eq \f(3,2).


答案：eq \f(3,2)


6．设α，β为方程2x2＋3x＋1＝0的两个根，则eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))α＋β＝____________________.


解析：由根与系数关系得α＋β＝－eq \f(3,2)，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))α＋β＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))＝(2－2) ＝23＝8.


答案：8


7．若 eq \r(x2＋2x＋1)＋eq \r(y2＋6y＋9)＝0，则(x2019)y＝________.


解析：∵eq \r(x2＋2x＋1)＋eq \r(y2＋6y＋9)＝0，


∴eq \r(x＋12)＋eq \r(y＋32)＝|x＋1|＋|y＋3|＝0，


∴x＝－1，y＝－3.


∴(x2019)y＝[(－1)2019]－3＝(－1)－3＝－1.


答案：－1





三、解答题


8．用分数指数幂的形式表示下列各式(a>0，b>0)：


(1)a2eq \r(a)； (2)eq \r(3,a2)·eq \r(a3)；


(3)(eq \r(3,a))2·eq \r(ab3)； (4)eq \f(a2,\r(6,a5)) .


解析：(1)原式＝a2a＝a＝a.


(2)原式＝a·a＝a＝a.


(3)原式＝(a)2·(ab3) ＝a·ab＝ab＝ab.


(4)原式＝a2·a＝a＝a.


9．计算下列各式：


(1)0.064－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,7)))0＋[(－2)3]＋16－0.75；


(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,4))) －(－9.6)0－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(27,8)))＋(－1.5)－2；


(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－3\f(3,8))) ＋0.002－10(eq \r(5)－2)－1＋(eq \r(5)－eq \r(2))0.


解析：(1)原式＝0.4－1－1＋(－2)－4＋2－3＝eq \f(5,2)－1＋eq \f(1,16)＋eq \f(1,8)＝eq \f(27,16).


(2)原式＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))2))－1－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)))3))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)))－2＝eq \f(3,2)－1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)))－2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)))2＝eq \f(1,2).





(3)原式＝(－1) ·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3\f(3,8)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,500)))－eq \f(10,\r(5)－2)＋1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(27,8)))＋500－10(eq \r(5)＋2)＋1


＝eq \f(4,9)＋10eq \r(5)－10eq \r(5)－20＋1＝－eq \f(167,9).





[尖子生题库]


10．已知a＋a＝eq \r(5)，求下列各式的值：


(1)a＋a－1；(2)a2＋a－2；(3)a2－a－2.


解析：(1)将a＋a＝eq \r(5)两边平方，


得a＋a－1＋2＝5，


则a＋a－1＝3.


(2)由a＋a－1＝3两边平方，


得a2＋a－2＋2＝9，


则a2＋a－2＝7.


(3)设y＝a2－a－2，两边平方，


得y2＝a4＋a－4－2


＝(a2＋a－2)2－4


＝72－4


＝45，


所以y＝±3eq \r(5)，


即a2－a－2＝±3eq \r(5).


分数指数幂
正分数


指数幂
规定：a＝eq \r(n,am)(a>0，m，n∈N*，且n>1)
负分数


指数幂
规定：a＝eq \f(1,a\f(m,n))＝eq \f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N*，且n>1)
性质
0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义