29.1 圆的有关概念（讲义）（原卷版）

这是一份初中数学人教版（2024）九年级上册（2024）29.1.1 圆的有关概念一课一练，共13页。试卷主要包含了1 圆的有关概念，8米，小丽投掷的铅球落地点是，5cmC．4cmD．4等内容，欢迎下载使用。

知识点一 圆的有关概念
圆的定义[动态]：如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转_______，另一个端点A所形成的图形叫做圆，其中，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径.
圆的定义[静态]：将圆心O，半径r的圆看成是同一平面内，所有到定点O的距离_______定长r的点的集合.
圆的表示方法：以点O为圆心的圆，记作“O”，读作“圆O”.
确定圆的条件有两个：①圆心，它确定圆的_______；②半径，它确定圆的_______，两者缺一不可.
【易错点】“圆”指的是“圆周”，即一条封闭的曲线，而不是圆面.
即学即练
1．（25-26八年级上·广东深圳·阶段检测）下列说法正确的是（ ）
A．任意两点之间的部分叫做弦
B．长度相等的两条弧是等弧
C．圆的两条弦所对的两条弧一定是等弧
D．圆上任意两点之间的部分叫做弧
2．（2026九年级上·四川南充·专题练习）下列说法中，正确的是（ ）
A．圆是由到圆心的距离大于半径的所有点组成的图形
B．圆心相同，半径不相等的两个圆叫等圆
C．弦是直径
D．圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小
3．（25-26九年级上·辽宁盘锦·期末）下列说法：①三点确定一个圆；②三角形的外心是各边垂直平分线的交点；③圆的对称轴是直径；④平分弦的直径，平分这条弦所对的弧．其中正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
4．（25-26九年级上·河北沧州·期末）在图中没有出现的几何图形是（ ）
A．弦B．弧C．弓形D．扇形
知识点二 点与圆的位置关系
点和圆共有三种位置关系，分别是点在圆内，点在圆上，点在圆外，如下表所示：
已知⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，
【注意】
1）符号“”读作“等价于”，它表示从符号“”的左端可以推出右端，从右端也可以推出左端.
2）点在圆上，指的是点在圆周上，而不是点在圆面上.
3）掌握已知点的位置，可以确定该点到圆心的距离与半径的关系，反过来已知点到圆心的距离与半径的关系，可以确定该点与圆的位置关系．
即学即练
1．（25-26九年级上·湖北襄阳·期末）点P在半径为的内，的长度不可能是（ ）
A．B．C．D．
2．（25-26九年级上·江西九江·期末）点P到圆心O的距离为6，若点P在圆O外，则圆O的半径r满足（ ）
A．B．C．D．
3．（25-26九年级上·江苏扬州·期末）点O为坐标原点，若的半径为10，则点与的位置关系是（ ）
A．点A在圆内B．点A在圆上C．点A在圆外D．不能确定
4．（25-26九年级上·云南昭通·期末）已知的半径为，若点在上，则点到圆心的距离为___________．
知识点三 圆的相关概念
弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦，如右图中的弦AB.
直径：经过圆心的弦叫做______________，如右图中的直径AC.
弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作AB，读作：“圆弧AB”或“弧AB”.
半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆.
优弧：_______半圆的弧叫做优弧，用三个字母表示，如右图中的
劣弧：_______半圆的弧叫做劣弧，如右图中的.
等弧：在_____________________中，能够互相_______的弧叫做等弧.
等圆：能够______________的两个圆叫做等圆.
知识点四 确定圆的条件
1）过一点作圆（如点A）：如图1，以点A以外的任意一点为圆心，以这一点与点A的距离为半径作圆即可，这样的圆可以作无数个.
2）过两点作圆（如点A，B）：如图2，以线段AB垂直平分线上任意一点为圆心，以这一点与点A（或点B）的距离为半径作圆即可，这样的圆也可以作无数个.
3）过不在同一条直线上的三个点作圆（如点A，B，C）：如图3，圆心在线段AB、线段BC的垂直平分线的交点O处，以OA（或OB或OC）为半径作圆即可，这样的圆有且只有一个

图1 图2 图3
重要结论：不在同一条直线上的三个点可以______________（有且只有）一个圆.
三角形外接圆：经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，这个三角形叫做这个圆的内接三角形.
三角形的外心：三角形的外接圆的圆心叫做三角形的外心，三角形的外心是_____________________的交点.
即学即练
1．（25-26九年级上·宁夏固原·期中）如图是一块被打碎的圆形玻璃，若想要去店里配到一块与原来大小一样的圆形玻璃，应该带去店里的碎片是_____ ．
2．（25-26九年级上·浙江绍兴·阶段检测）如图，点，，均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为___________个．
3．（25-26九年级上·山东烟台·期末）已知下列函数：；；；，则图象上的任意三点均可以确定一个圆的是（ ）．
A．B．C．D．
4．（25-26九年级上·江苏镇江·期末）已知线段，经过、两点且半径为5的圆有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．无数个
知识点五 反证法
定义：先假设原命题的结论不正确，然后从这个假设出发，经过逐步推理论证，最后得出与学过的概念、基本事实、已证明的定理、性质或题设条件相矛盾的结果，这种证明的方法叫做反证法.
反证法的步骤：①假设命题结论的反面正确；②从假设出发，经过逻辑推理，推出与公理、定理、定义或已知条件相矛盾的结论；③说明假设不成立，从而得出原命题正确．
即学即练
1．（25-26九年级上·湖北宜昌·期末）用反证法证明命题“三角形的内角中最多有一个内角是钝角”时应先假设（ ）
A．没有一个内角是钝角B．至少有一个内角是钝角
C．至少有两个内角是锐角D．至少有两个内角是钝角
2．（23-24八年级下·山西太原·期中）用反证法证明命题“三角形的三个内角中，不能有两个直角”时，应假设这个三角形的三个内角中（ ）
A．可以有一个角是直角B．可以有两个角是直角
C．三个角都是直角D．三个角都不是直角
3．（25-26八年级上·河南驻马店·期末）如图，在中，若，是的平分线，是边上的中线，则点与点不重合．若用反证法证明，则第一步应假设________．

题型01 理解圆的相关概念
典｜例｜精｜析
例1．（25-26九年级上·宁夏固原·期中）下列命题中，正确的是（ ）
①半圆是弧；②弦是圆上两点之间的部分；③平面上三个点确定一个圆；④在同圆或等圆中，直径是最长的弦；⑤在同一平面内，到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上．
A．①②③B．①③④C．①④⑤D．②④⑤
变｜式｜巩｜固
1．（25-26九年级上·湖北宜昌·期末）在平面直角坐标系中到原点的距离等于2的所有的点构成的图形是（ ）
A．直线B．正方形C．圆D．菱形
2．（25-26九年级上·辽宁鞍山·期末）如图，体育课上，小丽的铅球成绩是5.8米，小丽投掷的铅球落地点是（ ）
A．A 点B．B点C．C点D．D 点
3．（2025九年级上·浙江·专题练习）下列说法：①相等的圆心角所对的弧相等；②相等的弧所对的弦相等；③相等的弦所对的弧相等；④半径相等的两个半圆是等弧，其中正确的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
题型02 确定圆的条件
典｜例｜精｜析
例2．（25-26九年级上·宁夏固原·期中）下列条件中，能确定唯一一个圆的是（ ）
A．以点为圆心B．以长为半径
C．以点为圆心，长为半径D．以上都不对
变｜式｜巩｜固
1．（25-26九年级上·浙江嘉兴·期末）如图，已知点，和线段，．用直尺和圆规作，使过点，，且半径为，则这样的圆可以作（ ）
A．1个B．2个C．4个D．无数个
2．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）已知：A点坐标为，B点坐标为，若过A、B、C三点不能确定一个圆，写出一个满足要求的C点坐标_________．（写出一个就行）
3．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图所示的两段弧中，位于上方的弧半径为，下方的弧半径为，则___________．（填“”， “”，“”）
题型03 反证法证明中的假设
典｜例｜精｜析
例3．（24-25八年级下·山东青岛·阶段检测）用反证法证明命题“在三角形中，至少有一个内角大于或等于”时，第一步应先假设（ ）
A．三角形中有一个内角小于B．三角形中有一个内角大于
C．三角形的三个内角都小于D．三角形的三个内角都大于
变｜式｜巩｜固
1．（2024九年级上·全国·专题练习）用反证法证明“等腰三角形的底角小于”时，第一步应假设（ ）
A．底角大于B．底角等于C．底角小于D．底角大于等于
2．（24-25七年级下·江苏南京·期末）用反证法证明“在中，如果，那么”时，第一步应假设______．
题型04 用反证法证明命题
典｜例｜精｜析
例1．（24-25七年级下·上海普陀·期末）用反证法证明：在三角形中，大角对大边．
如图，已知：在中，．
求证：．
证明：假设，
________（___________）．
假设________，
________（___________）．
（完成以上说理过程）
变｜式｜巩｜固
1．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段检测）用反证法证明“同旁内角不互补的两条直线不平行”（填空）
已知：如图，直线被直线所截，__________．
求证：直线与__________．
证明：假设所求证的结论不成立，即a__________，
则__________（__________）
这与__________矛盾，故__________不成立．
所以__________．
2．（2023八年级下·江苏·专题练习）如图，在中，点D、E分别在上，相交于点O．求证：和不可能互相平分．
题型05 三角形外接圆与网格问题
典｜例｜精｜析
例5．（25-26九年级上·河北张家口·期末）如图，外接圆的圆心坐标为______．
变｜式｜巩｜固
1．（25-26九年级上·河北邯郸·期末）如图，由边长相同的小正方形组成的网格，点都在小正方形的顶点上，则点是的（ ）
A．内心B．外心C．重心D．无法确定
2．（25-26九年级上·吉林长春·阶段检测）如图，正方形网格中，三点均在格点上，那么的外接圆圆心是点__________．
3．（2024·江苏镇江·一模）如图，A、O在网格中小正方形的顶点处，每个小方格的边长为1，在此网格中找两个格点（即小正方形的顶点）B、C，使O为的外心，则的长度是（ ）

A．B．C．4D．
题型06 求特殊三角形外接圆的半径
典｜例｜精｜析
例6．（25-26九年级上·浙江金华·期中）在中，，，，则外接圆的半径为（ ）
A．10B．5C．6D．4
变｜式｜巩｜固
1．（25-26九年级上·江西上饶·阶段检测）在中，，，，则它的外心与顶点的距离为（ ）．
A．B．C．D．
2．（25-26九年级上·江苏南京·期中）在中，，当的内切圆的半径确定时，随着的度数增大，的外接圆的半径（ ）
A．一直增大B．一直减小C．先增大再减小D．先减小再增大
3．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，A，B，C是上的三点，是等边三角形．若，则的半径是（ ）
A．B．C．D．
4．（24-25九年级上·江西宜春·阶段检测）在中，，，，则这个三角形的外接圆的直径是（ ）
A．8B．C．D．4
题型07 判断点和圆的位置关系
典｜例｜精｜析
例7．（24-25九年级上·云南德宏·期末）若的直径为，则点P与的位置关系是（ ）
A．点P在外B．点P在上C．点P在内D．不能确定
变｜式｜巩｜固
1．（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）已知在同一平面内，的半径为，点到圆心的距离，则点在（ ）
A．外B．上C．内D．无法确定
2．（25-26九年级上·北京·期末）已知半径为，其中点O为原点，则点在_______．（填“圆内”，“圆外”，“圆上”）
3．（25-26九年级上·山东东营·期中）点P是所在平面内的一点，的面积是，若，则点P与的位置关系是：点P在_______．
题型08 利用点和圆的位置关系求半径
典｜例｜精｜析
例8．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，在矩形中，，，若以顶点A为圆心、r为半径作圆，若点B、C、D只有一点在圆内，则r的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
变｜式｜巩｜固
1．（24-25九年级上·浙江台州·期末）在中，，，，以点C为圆心，r为半径作．若点A在内，且点B在外，则r可能为（ ）
A．3cmB．3.5cmC．4cmD．4.5cm
2．（25-26九年级上·上海静安·阶段检测）在中，，，，以点为圆心作，要使、两点中的一点在圆外，另一点在圆内，那么的半径长的取值范围为______．
3．如图，在矩形中，，，以顶点为圆心作半径为的圆，若要求另外三个顶点、、中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则的取值范围是______．
题型09 已知点与圆的距离求半径
典｜例｜精｜析
例9．（山东省济宁市附属中学2025-2026学年上学期九年级数学期中试卷）已知一个点到圆上的点的最大距离是，最小距离是，则这个圆的半径是（ ）．
A．B．C．或D．不能确定
变｜式｜巩｜固
1．（2022九年级上·全国·专题练习）已知圆外一点和圆周的最短距离为2，最长距离为8，则该圆的半径是（ ）
A．2B．3C．4D．5
2．（20-21九年级上·辽宁鞍山·期中）平面上一点Ｍ到上的最长距离为，最短距离为，那么的半径长为___________．
题型10 点与圆上一点的最值问题
典｜例｜精｜析
例10．（20-21九年级上·甘肃张掖·期末）已知的半径是．
（1）若，则点P到圆上各点的距离中，最短距离为___，最长距离为___．
（2）若，则点P到圆上各点的距离中，最短距离为___，最长距离为___．
（3）若P到圆上各点的距离中，最短距离为，则最长距离为___．
变｜式｜巩｜固
1．（2025·江苏淮安·一模）如图，矩形中，，以A为圆心，1为半径作．若动点在上，动点在上，则的最小值是（ ）
A．4B．5C．6D．7
2．（25-26九年级上·黑龙江牡丹江·期中）如图，已知点，半径为10，，，点是上的动点，点是的中点，连接，则的最小值是（ ）
A．15B．C．35D．
3．（25-26九年级上·江苏镇江·阶段检测）如图， 在平面直角坐标系中，，，半径为，为上任意一点，是 的中点，则 的最小值是（ ）
如
A．B．C．D．
4．（25-26九年级上·天津河西·阶段检测）如图，的圆心与正方形的中心重合，已知的半径和正方形的边长都为2，则圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值为______________．
点和圆的位置关系
点到圆心的距离与半径的关系
图示
文字语言
符号语音
点在圆内
圆内各点到圆心的距离都_______半径，到圆心的距离小于半径的点都在圆内
点P在圆内d_______r
点在圆上
圆上各点到圆心的距离都_______半径，到圆心的距离等于半径的点都在圆上
点P在圆上d_______r
点在圆外
圆外各点到圆心的距离都_______半径，到圆心的距离大于半径的点都在圆外
点P在圆外d_______r
点在圆内，；点在圆外，.