初中数学人教版（2024）九年级上册（2024）30.1.2 圆的切线教学设计

这是一份初中数学人教版（2024）九年级上册（2024）30.1.2 圆的切线教学设计，共21页。教案主要包含了教学与建议等内容，欢迎下载使用。

●置疑导入 (1)用一根细线系一个小球，当你快速转动细线时，小球运动形成一个圆，突然，这个小球脱落，沿着圆的边缘飞出去，你知道小球顺着什么方向飞出去了吗？
(2)如图①，下雨天，快速转动雨伞时，雨伞上的水珠是顺着什么方向飞出去的？
(3)观察图②，过⊙O上一点A作直线l，则直线l与⊙O有哪几种位置关系？
(4)观察图③，当所作直线l与OA垂直时，直线l与⊙O有怎样的位置关系？
eq \(\s\up7(),\s\d5(图①)) eq \(\s\up7(),\s\d5(图②)) eq \(\s\up7(),\s\d5(图③))
【教学与建议】教学：通过常见实际问题引入直线和圆相切，并通过作图来观察、探究切线．建议：在探究切线的判定方法时，讲解“经过半径的外端”“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可．
●复习导入 (1)填写直线和圆的位置关系表：
(2)画出⊙O，在圆周上找一点A，经过半径OA的外端点A作直线l⊥OA，则圆心O到直线l的距离是多少？直线l和⊙O有什么位置关系？
(3)如果直线l是⊙O的切线，切点为A，那么半径OA与直线l是不是一定垂直呢？
【教学与建议】教学：通过对直线和圆的位置关系的回顾，探究问题，得出切线的判定定理和性质定理．建议：让学生通过画图体会定理的正确性．
命题角度1 切线的判定
证明直线与圆相切有如下三种途径：(1)定义法；(2)证明d＝r；(3)判定定理．
【例1】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AO是△ABC的角平分线，以O为圆心，OC为半径作⊙O.求证：AB是⊙O的切线．
证明：过点O作OF⊥AB于点F.∵AO平分∠CAB，OC⊥AC，OF⊥AB，∴OC＝OF.∴AB是⊙O的切线．
命题角度2 切线的综合运用
已知直线是圆的切线时，通常需要连接圆心和切点，构造出直角三角形．
【例2】(1)如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，过点P作⊙O的切线PC，切点为C.连接BC.若⊙O的半径为6，PC＝BC，则线段PC的长为(C)
A．3 eq \r(3) B．6 C．6 eq \r(3) D．12
(2)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，点O在AB上，OB＝2，以OB为半径的⊙O与AC相切于点D，交BC于点E，求弦BE的长．
解：连接OD.∵⊙O与AC相切于点D，∴OD⊥AC.∴∠ODC＝90°.作OF⊥BE于点F，∴∠OFC＝90°，BE＝2BF.∵∠C＝90°，∴∠ODC＝∠C＝∠OFC＝90°.∴四边形ODCF是矩形，∴FC＝OD＝OB＝2.∴BF＝BC－FC＝3－2＝1.∴BE＝2BF＝2.
命题角度3 切线长定理的运用
在运用切线长定理解决实际问题时，往往需要构建如图所示的基本图形．
【例3】(1)如图，PA，PB分别是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径．若∠BAC＝35°，则∠P的度数为(D)
A．35° B．45° C．60° D．70°
eq \(\s\up7(),\s\d5([第(1)题图])) eq \(\s\up7(),\s\d5([第(2)题图]))
(2)如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB＝10，CD＝12，则四边形ABCD的周长为__44__．
高效课堂 教学设计
1．掌握切线的性质定理．
2．掌握切线的判定定理，能判定一条直线是否为圆的切线．
3．能综合运用圆的切线的判定和性质解决问题．
4．掌握切线长定理．
▲重点
探索圆的切线的性质和判定，并能运用，切线长定理的运用．
▲难点
探索圆的切线的判定方法．

◆活动1 新课导入
在上面三个图中，直线l和圆的三种位置关系分别是__相交__、__相切__、__相离__.
◆活动2 探究新知
1．教材P150 第1个思考．
提出问题：
(1)尝试用反证法证明你的结论；
(2)用简洁的语言总结出你刚刚得到的结论．
学生完成并交流展示．
2．教材P150 第2个思考．
提出问题：
(1)已知一个圆和圆上的一点，如何过这个点画出圆的切线？能画几条？
(2)观察下面两个图形，直线l是圆的切线吗？判定直线是圆的切线的两个关键点是什么？

(3)请总结一下判定切线共有哪几种方法？
学生完成并交流展示．
3．教材P153 思考．
(1)判断△PBO与△PAO的形状，并说明理由；
(2)求证：△PAO≌△PBO；
(3)由△PAO≌△PBO，可以得出哪些结论？
学生完成并交流展示．
◆活动3 知识归纳
1．切线的性质：
(1)切线和圆只有__一__个公共点；
(2)切线到圆心的距离等于__半径__；
(3)圆的切线__垂直于__过切点的半径．
2．切线的判定定理：经过半径的__外端__并且__垂直于__这条半径的直线是圆的切线．
3．当已知一条直线是某圆的切线时，切点的位置是确定的，辅助线常是连接__圆心__和__切点__，得到半径，那么半径__垂直于__切线．
4．过圆外一点可以作出两条直线与这个圆相切，我们把经过圆外一点的圆的切线上，这点和__切点__之间的线段长，叫作这点到圆的切线长．
5．切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长__相等__，并且这一点和圆心的连线__平分__两条切线的夹角．
◆活动4 例题与练习
例1 教材P151 例2.
例2 如图，点O在∠APB的平分线上，⊙O与PA相切于点C.
求证：直线PB与⊙O相切．
证明：过点O作OD⊥PB于点D，连接OC.
∵⊙O与PA相切于点C，∴OC⊥PA.
又∵点O在∠APB的平分线上，
∴OC＝OD.∴直线PB与⊙O相切．
例3 如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D.求证：AC平分∠DAB.
证明：连接OC.
∵⊙O和直线CD相切，∴OC⊥CD.
∵AD⊥CD，∴AD∥OC.∴∠ACO＝∠CAD.
∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠OAC.
∴∠DAC＝∠CAO.
∴AC平分∠DAB.
练习
1．教材P152 练习第1，2，3题．
2．在正方形ABCD中，点P是对角线AC上的任意一点(不包含端点)，以P为圆心的圆与AB相切，则AD与⊙P的位置关系是( B )
A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定
3．如图，A，B是⊙O上的两点，AC是过点A的一条直线．如果∠AOB＝120°，那么当∠CAB的度数等于__60°__时，AC才能成为⊙O的切线．
eq \(\s\up7(),\s\d5(（第3题图）)) eq \(\s\up7(),\s\d5(（第4题图）))
4．如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙O于点C.若∠A＝25°，则∠D＝__40°__．
◆活动5 课堂小结
1．用圆的切线时，常常连接圆心和切点得切线垂直于半径．
2．“连半径证垂直”与“作垂直证半径”——判定直线与圆相切．
(1)当直线与圆有公共点时，只需“连半径、证垂直”即可；
(2)当已知条件中没有指出圆与直线有公共点时，常运用“d＝r”进行判断，辅助线的作法是过圆心作已知直线的垂线，证明垂线段的长等于半径．
1．作业布置
(1)教材P154 习题30.1第2，3题；
(2)对应课时练习．
2．教学反思
直线和圆的位置关系
相交
相切
相离
公共点的个数
__2__
__1__
__0__
公共点名称
__交点__
__切点__
直线名称
__割线__
__切线__
圆心到直线的距离d与r的关系
__dr__