第7讲 二次函数与一元二次方程-讲义 2021-2022学年九年级数学人教版上册学案

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第7讲  二次函数与一元二次方程 知识导航1．利用二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，观察一元ニ次方程ax2＋bx＋c＝0的根的情况．2．直线与抛物线的交点的坐标与方程组的解的对应关系．3．二次函数与根与系数的关系． 【板块一】二次函数与一元二次方程的关系方法技巧(1)二次函数的图象与x轴的交点横坐标，对应一元二次方程的根；(2)二次函数的图象与x轴的交点个数，对应一元二次方程根的情况． 题型一：二次函数的图象与a，b，c之间的联系 例1：如图是y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分图象，其顶点坐标为(1，n)，则下列结论：①a－b＋c＞0；②3a＋b＝0；③b2＝4a(c－n)；①一元ニ次方程ax2＋bx＋c＝n－1有两个不相等的实数根，其中正确结论的个数是(     )A．1    B．2     C．3      D．4  题型二：方程的解与交点横坐标的对应【例2】如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与直线y＝kx＋m交于A，B两点．(1)方程ax2＋bx＋c＝kx＋m的解为         ；(2)不等式ax2＋bx＋c≤kx＋m的解集为            ． 题型三：二次三项式的值恒为正(或负)的条件【例3】无论x为何值，二次三项式a2＋2(a＋1)x＋a＋的値恒为负数，则a的取值范固是(     )A．     B．     C．         D．    针对练习11．二次函数y＝a2＋2(a＋1)x＋a＋(a≠0)的图象如图所示，下列结论：①abc＜0；②b＜a＋c；③4a＋2b＋c＞0；④b2－4ac＞0．其中正确结论有(   B  ）A．①②③     B．①②①     C．①③①      D．②③④                                    第1题图                              第2题图2．抛物线y＝ax2＋bx＋c与直线y＝mx＋n的图象如图所示：(1)方程ax2＋bx＋c＝mx＋n的解为：           ．(2)不等式ax2＋(b－m)x＋c－n＜0的解集为：          ．    3．二次函数y＝(m－1)x2＋2mx－1的图象都在x轴的下方，求m的取值范围．    4．无论x为何值，二次根式恒有意义，求m的取值范围．      板块二：函数图象的交点与解方程方法技巧联立两函数的解析式，求图象交点的坐标；交点的个数与方程的判别式有关．少题型一二次函数的图象与x轴的交点【例1】已知函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是(    )A．k＜4      B．k≤4       C．k＜4且k≠3       D．k≤4且k≠3  题型二：二次函数的图象与直线y＝k(k≠0)的交点例2：已知一元二次方程1－(x－3)(x＋2)＝0有两个实数根x1，x2，(x1＜x2)，则下列判断正确的是(       )A．－2＜x1＜x2＜3           D．x1＜－2＜3＜x2          C．－2＜x1＜3＜x2        D．x1＜－2＜x2＜3     题型三：二次函数的图象与直线y＝kx＋b(k≠0)的交点【例3】直线AB:y＝x＋4与抛物线y＝x2－2mx＋m2＋m＋4交于A，B两点，试判断AB的长是否发生变化?若不变，求出其值;若变化，求出其取值范围．        题型四：分段函数与交点【例4】若函数y＝b的图象与函数y＝x2－3－4x－3的图象恰有三个交点，则b的值是6或 ．【解析】当x≥1时，y＝x2－7x，当x＜1时，y＝x2－x－6，结合图象知b＝一6或．题型五：抛物线与直线在定区间有唯一公共点【例5】已知抛物线y＝x2－mx－3与直线y＝2x＋3m在一2＜x＜2之间有且只有一个公共点，则m的取值范围是           ．           针对练习21．已知抛物线y＝(m－1)x2－2mx＋m＋1(m＞1)．(1)求抛物线与x轴的交点坐标；(2)若一次函数y＝kx－k的图象与抛物线始终只有一个公共点，求一次函数的解析式．         2．将二次函邮y＝2x2＋4x－6的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象其余部分保持不变，得到一个新的图象，当直线y＝x＋b与此图象有两个公共点时，求b的取值范围．              3．若直线y＝2x－5m与抛物线y＝x2－mx－3在0≤x≤4之间有且只有一个公共点，求m的取值范围．                  4．已知关于x的二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为（m，0），若2＜m＜3，则a的取值范围是____    ___．                      【板块三】二次函数与根与系数的关系方法技巧（1）若二次函数y＝ax2＋bx＋c交x轴于（x1，0），（x2，0），则．（2）．题型一    抛物线截水平线段的长【例1】若点P（，c），点Q（，c）在函数的图象上，且x1＜x2，PQ＝2a，则的值为（     ）A．－2                B．3               C．5                D．6  【例2】抛物线交x轴于两点A（，0）B（，0）两点（x1＜x2），直线经过点A，若函数y＝y1＋y2的图象与x轴有且只有一个公共点，则线段AB的长为（     ）A．4                 B．8               C．12               D．16   题型二   抛物线斜线段【例3】抛物线与x轴交于A，B两点，直线与抛物线交于C，D两点，求△BCD面积的最小值．                    题型三   动抛物线与动线段【例4】如图，抛物线交x轴于A，B两点，点P为第二象限抛物线上的一个动点，直线PA，PB分别交y轴于M，N两点，求OM－ON的值．        针对练习31．直线与抛物线交于A，B两点，与y轴交于点M，若MA＝MB，求k，b的值或范围．                2．如图，已知直线与抛物线交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴正半轴相交于点C，过点A作AD⊥x轴于点D，延长AD，BO相交于点E，求证：DE＝CO．