初中数学人教版（2024）八年级上册（2024）15.3 等腰三角形练习

这是一份初中数学人教版（2024）八年级上册（2024）15.3 等腰三角形练习，共34页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．如果等腰三角形一个底角是30°，那么顶角是（ ）
A．60°B．150°C．120°D．75°
2．“红砖古厝，雕梁画栋，闽南建筑瑰宝，蔡氏古民居传文脉”．如图，南安蔡氏古民居的红砖墙图案可看作等腰三角形ABC，AB=AC，点D是BC边上的一点．下列条件不能说明AD是△ABC的角平分线的是（ ）
A．∠ADB=∠ADCB．BD=CD
C．BC=2ADD．AD⊥BC
3．三角形两个角的度数如图所示，则该三角形是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等边三角形
4．如图，在△ABC中，BC=6，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，过点O作BC的平行线分别交AB、AC于点M、N，△AMN的周长是13，则△ABC的周长是（ ）

A．18B．19C．20D．21
5．如图，大盈江边一棵竹子在一次强风中于离地面4米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵竹子在折断前的高度为（ ）
A．4米B．8米C．12米D．15米
6．如图，在4×4的正方形网格中有两个格点A、B，连接AB，在网格中再找一个格点C，使得△ABC是等腰直角三角形，满足条件的格点C的个数是（ ）
A．2B．3C．5D．7
7．下列命题是假命题的是（）
A．等腰三角形的两腰相等B．全等三角形的周长相等
C．等腰三角形的对称轴是顶角平分线D．对顶角相等
8．如图，BD是△ABC的中线，E为边AB上一点，连接CE交BD于点F．若∠EBF=∠EFB，AE=6，BE=14AB，则CE的长度为（ ）
A．10B．11C．12D．13
9．如图，∠A=72°，∠B=36°，CD平分∠ACB，ED平分∠CDA，则图中的等腰三角形有（ ）
A．5个B．4个C．3个D．2个
10．在平面直角坐标系中，点A(−1,4)在第二象限，点P在坐标轴上．若以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P有（ ）
A．6个B．7个C．8个D．9个
二、填空题
11．如图，在△ABC中，AB>BC>AC，则∠A、∠B、∠C的大小关系为___________．（用“>”号连接）
12．如图，△ACD是等边三角形，若∠BCA=∠EAD,BC=AE,∠E=130°，则∠B=________ °．
13．如图，在△ABC中，AB=AC．若添加一个条件可判定△ABC为等边三角形，则添加的条件可以是___________．
14．如图，在△ABC中，∠BAC=∠B=75°，将△ABC折叠，折痕AD与BC交于点D，点B的对应点为E，过点E作EF⊥AC于点F，连接CE．若CE平分∠ACB，BD=4，则EF的长为______．
15．如图为某工厂厂区示意图，办公大楼A在工厂主干道MN上，车间B，C与办公大楼A的距离皆为akm，且∠BAN=42°，∠CAN=18°．在主干道MN上选址仓库D，从仓库D到车间B，C修建厂区支路BD，CD，使得支路总长最短，测得仓库D与办公大楼A距离为bkm．已修建的支路CD长为ckm c90°,40°=40°，
∴该三角形是钝角三角形，且是等腰三角形．
故选：C．
4．【答案】B
【知识点】根据等角对等边证明边相等、角平分线的有关计算、两直线平行内错角相等
【分析】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质、等角对等边，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理．根据角平分线的定义，得出∠MBO=∠CBO，∠NCO=∠BCO，再根据两直线平行，内错角相等，得出∠MOB=∠CBO，∠NOC=∠BCO，再根据等量代换，得出∠MBO=∠MOB，∠NCO=∠NOC，再根据等角对等边，得出MB=MO，NC=NO，再根据△AMN的周长是13，得出AB+AC=13，再根据三角形的周长，即可得出△ABC的周长．
【详解】解：∵∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，
∴∠MBO=∠CBO，∠NCO=∠BCO，
又∵MN∥BC，
∴∠MOB=∠CBO，∠NOC=∠BCO，
∴∠MBO=∠MOB，∠NCO=∠NOC，
∴MB=MO，NC=NO，
∵△AMN的周长是13，
∴AM+MO+NO+AN=13，
∴AM+MB+NC+AN=13，
即AB+AC=13，
又∵BC=6，
∴△ABC的周长为：AB+AC+BC=13+6=19．
故选：B
5．【答案】C
【知识点】含30度角的直角三角形
【分析】给图形标注上字母，由含30°角的直角三角形的性质得AB=2BC，即可解决问题．
【详解】解：如图，
根据题意得：∠ACB=90°，BC=4米，
∵∠BAC=30°，
∴AB=2BC=2×4=8（米），
∴AB+BC=8+4=12（米），
即这棵竹子在折断前的高度是12米．
6．【答案】B
【知识点】格点图中画等腰三角形
【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定，正确画出图形是解题的关键．分两种情况讨论：①AB为等腰直角△ABC底边；②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰；画出图形，即可解决问题．
【详解】解：如图，分两种情况讨论：
①AB为等腰直角△ABC底边时，符合条件的格点C有0个；
②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰时，符合条件的格点C有3个；
综上所述，满足条件的格点C的个数是3个．
故选：B．
7．【答案】C
【知识点】判断命题真假、全等三角形的性质、等腰三角形的定义、等腰三角形的性质和判定
【分析】本题考查几何命题的真假判断，等腰三角形的性质，全等三角形的性质，对顶角相等．选项A、B、D均为真命题；选项C中，等腰三角形的对称轴是顶角平分线所在的直线，而非顶角平分线本身（线段或射线），因此该命题错误．
【详解】解：∵等腰三角形的两腰相等（定义），∴A选项是真命题；
∵全等三角形的对应边相等，周长相等，∴B选项是真命题；
∵等腰三角形的对称轴是顶角平分线所在的直线，顶角平分线是线段，两者不同，∴C选项是假命题；
∵对顶角相等（定理），∴D选项是真命题．
综上，假命题是C．
故选：C．
8．【答案】A
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、根据等角对等边求边长
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等角对等边，延长BD到点H，使得DH=DB，连接CH，证明△ABD≌△CHDSAS得到∠ABD=∠CHD，CH=AB，再证明EB=EF，∠CFH=∠CHF，得到CF=CH，求出BE的长，进而求出AB的长即可得到答案．
【详解】解：如图所示，延长BD到点H，使得DH=DB，连接CH，
∵BD是△ABC的中线，
∴AD=CD，
又∵DB=DH，∠ADB=∠CDH，
∴△ABD≌△CHDSAS，
∴∠ABD=∠CHD，CH=AB，
∵∠EBF=∠EFB，∠CFH=∠EFB，
∴EB=EF，∠CFH=∠CHF，
∴CF=CH，
∵BE=14AB，
∴BE=13AE=2，
∴AB=AE+BE=8，
∴CE=CF+EF=AB+BE=10，
故选：A．
9．【答案】A
【知识点】找出图中的等腰三角形、根据等角对等边证明等腰三角形、与角平分线有关的三角形内角和问题
【分析】此题主要考查学生对等腰三角形判定和三角形内角和定理的理解和掌握，属于中档题．
根据已知条件和等腰三角形的判定定理，结合三角形的内角和定理对图中的三角形进行分析，即可得出答案．
【详解】解：∵在△ABC中，∠A=72°，∠B=36°，
∴∠ACB=180°−∠A−∠B=72°，
∴∠ACB=∠A，
∴△ABC是等腰三角形；
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD=12∠ACB=36°，
∴∠B=∠BCD，则△BCD是等腰三角形；
∵∠CDA=180°−∠A−∠ACD=72°，
∴∠CDA=∠A，则△ADC是等腰三角形；
∵ED平分∠CDA，
∴∠ADE=∠CDE=12∠CDA=36°，
∴∠CDE=∠ACD=36°，则△CDE是等腰三角形；
∵∠AED=180°−∠A−∠ADE=72°，
∴∠A=∠AED，则△ADE是等腰三角形，
综上，图中共有5个等腰三角形，
故选：A．
10．【答案】C
【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、求与图形中任意两点构成等腰三角形的点
【分析】本题考查了等腰三角形的判定．分别以点O、A为圆心，以OA的长度为半径画弧，与坐标轴的交点以及OA的垂直平分线与坐标轴的交点即为所求的点P的位置．
【详解】解：如图，以点O、A为圆心，以OA的长度为半径画弧与坐标轴有6个交点，OA的垂直平分线与坐标轴的交点有2个，
综上所述，满足条件的点P有8个．
故选：C．
11．【答案】∠C>∠A>∠B
【知识点】大（小）边对大（小）角定理
【分析】本题考查三角形边角关系定理，掌握知识点是解题的关键．
根据三角形边角关系定理，大边对大角，小边对小角，由已知边的大小关系推导对应角的大小关系，即可解答．
【详解】解：∵AB>BC>AC，
∴∠C>∠A>∠B．
故答案为：∠C>∠A>∠B．
12．【答案】130
【知识点】等边三角形的性质、全等的性质和SAS综合（SAS）
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．由等边三角形的性质得AC=AD，再证明△ABC≌△DEASAS，即可得出结论．
【详解】解：∵△ACD是等边三角形，
∴AC=AD，
在△ABC和△DEA中，
AC=DA∠BCA=∠EADBC=EA，
∴△ABC≌△DEASAS，
∴∠B=∠E=130°，
故答案为：130．
13．【答案】AC=BC（答案不唯一）
【知识点】等边三角形的判定
【分析】本题考查了等边三角形的判定；三条边相等的三角形是等边三角形；有一个角等于60度的等腰三角形是等边三角形．根据AB=AC，结合等边三角形的判定定理即可解答．
【详解】解：①当AC=BC或AB=BC时，
∵AB=AC，
∴AC=AB=BC，即△ABC是等边三角形；
②当∠A=60°或∠B=60°或∠C=60°时，
∵AB=AC，
∴△ABC是等边三角形；
故答案为：AC=BC（答案不唯一）
14．【答案】2
【知识点】含30度角的直角三角形、角平分线的性质定理、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质，含30°角的直角三角形的性质等知识点，解题的关键是掌握并灵活运用这些知识点．根据等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，角平分线的性质，含30°角的直角三角形的性质，作出适当的辅助线即可求解．
【详解】解：∵∠BAC=∠ABC=75°，
∴AC=BC，
如图，
过点E作EH⊥BC于点H，延长CE与AB交于点M，连接BE，
又∵ EF⊥AC，CE平分∠ACB，
∴ EF=EH，
∵AC=BC，CE平分∠ACB，
∴AM=BM，CM⊥AB，
∴CM垂直平分AB，
∴AE=BE，
由折叠得，AB=AE，BD=ED=4，
∴AB=AE=BE，∠DBE=∠DEB，
∴△ABE为等边三角形，
∴∠ABE=60°．
∵∠ABC=∠BAC=75°，
∴ ∠DBE=∠DEB=∠ABC−∠ABE=75°−60°=15°，
∴∠EDH=∠DBE+∠DEB=15°+15°=30°．
∵ EH⊥BC，
∴∠EHD=90°．
在Rt△EHD中，∠EDH=30°，
∴ EH=12ED=2，
∴ EF=EH=2．
故答案为：2．
15．【答案】a−c
【知识点】最短路径问题、线段问题(轴对称综合题)、列代数式
【分析】本题考查轴对称的性质与最短路径问题，解题关键是利用轴对称将线段和转化为两点之间线段，结合等边三角形判定求总长，再作差得BD长度．
作点C关于MN的对称点C′，连接BC′，则BD+CD=BC′（最短路径），由角度计算得∠BAC′=60°，结合AB=AC'=a，判定△BAC′为等边三角形，得BC′=a．由CD=c，得BD=BC′−CD=a−c．
【详解】解：作点C关于直线MN的对称点C′连接BC′，交MN于点D，
此时，BD+CD=BD+C′D=BC′，根据两点之间线段最短，D即为所求的仓库位置．
由对称性，AC=C'A,∠C'AN=∠CAN=18°，
∵∠BAN=42°，
∴∠BAC′=∠BAN+∠C′AN=42°+18°=60°，
∵AB=AC=AC'=a，
∴△BAC′是等边三角形，
∴BC′=AB=a．
∵BC′=BD+C′D=BD+CD，且CD=c，
∴BD=BC′−CD=a−c，
故答案为：a−c．
16．【答案】
证明：∵△ABC是等腰三角形，AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵DF⊥BC，
∴∠B+∠F=90°,∠C+∠CED=90°，
∴∠F=∠CED，
又∵∠AEF=∠CED，
∴∠F=∠AEF，
∴AF=AE．
【知识点】等边对等角、对顶角相等、根据等角对等边证明边相等
【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，根据等边对等角，得到∠B=∠C，等角的余角相等，结合对顶角相等，得到∠F=∠AEF，即可得证．
【详解】略
17．【答案】(1)40海里
(2)没有危险，理由见解析
【知识点】含30度角的直角三角形、三角形内角和定理的应用、根据等角对等边求边长
【分析】本题考查方位角的概念，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，三角形的内角和定理与外角的性质，掌握好方位角的概念和三角形中角度的关系是解题关键．
（1）由题意可知，∠PAB=15°，∠PBA=150°，则∠APB=15°，可得AB=BP；
（2）过点P作射线AB的垂线，交射线AB于点C，根据题意可得∠PBC=30°．由含30°角的直角三角形的性质可得，PC=12BP．求出PC的值后，与18进行比较，并得出结论．
【详解】（1）解：由题意可知，AB=20×2=40（海里），∠PAB=90°−75°=15°，∠PBA=60°+90°=150°，
∴∠APB=180°−∠PAB−∠PBA=180°−15°−150°=15°，
∴∠PAB=∠APB，
∴AB=BP=40海里；
（2）解：如图，过点P作射线AB的垂线，交射线AB于点C，
∵∠PBA=150°，
∴∠PBC=180°−∠PBA=180°−150°=30°，
∵PC⊥AB，
∴∠PCB=90°，
在直角△PBC中，∠PCB=90°，∠PBC=30°，
∴PC=12BP=12×40=20（海里），
∵20>18，
∴若轮船仍向东航行，则没有触礁危险．
18．【答案】(1)证明见解析
(2)等边三角形，理由见解析
【知识点】等边三角形的性质、等边三角形的判定和性质、全等的性质和SAS综合（SAS）、三角形的外角的定义及性质
【分析】（1）通过等边三角形性质、角平分线性质得到相等的边和角，证明△ABD≌△ACE，从而得对应角相等；
（2）利用全等三角形性质得到AD=AE及角关系，计算∠DAE=60°，判定△ADE为等边三角形．
【详解】（1）证明：∵△ABC为等边三角形，
∴∠B=∠ACB=∠CAB=60°,AB=AC=BC，
∴∠ACD=120°，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE=∠DCE=60°，
∴∠B=∠ACE，
在△ABD和△ACE中，
AB=AC∠B=∠ACEBD=CE，
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴∠BAD=∠CAE．
（2）解：△ADE为等边三角形，
∵△ABD≌△ACE，
∴AD=AE,∠BAD=∠CAE，
即∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，
∴∠DAE=∠BAC=60°，
∴△ADE为等边三角形．
19．【答案】(1)图中共有5个等腰三角形
(2)DE=BD+CE，理由如下：
∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠DBO=∠CBO，∠ECO=∠BCO，
∵DE∥BC，
∴∠DOB=∠OBC，∠EOC=∠OCB，
∴∠DOB=∠DBO，∠EOC=∠ECO，
∴DB=DO，EC=EO，
∴DE=DO+EO=BD+CE．
【知识点】两直线平行内错角相等、角平分线的有关计算、找出图中的等腰三角形、根据等角对等边证明等腰三角形
【分析】（1）根据∠ABC=∠ACB得到△ABC是等腰三角形，根据平行线的性质得出∠ADE=∠AED，因此△ADE是等腰三角形．根据角平分线的定义得出∠OBC=∠OCB，因此△OBC是等腰三角形．根据平行线的性质结合角平分线的定义得出∠DOB=∠OBC=∠DBO，∠EOC=∠BCO=∠ECO，因此△DBO，△ECO都是等腰三角形，即可解答；
（2）根据平行线的性质结合角平分线的定义得出∠DOB=∠OBC=∠DBO，∠EOC=∠BCO=∠ECO，得出DB=DO，EC=EO，因此根据线段的和差得到DE=DO+EO=BD+CE．
【详解】（1）解：∵∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC，即△ABC是等腰三角形．
∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，
∴∠ADE=∠AED，
∴AD=AE，即△ADE是等腰三角形．
∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠DBO=∠CBO=12∠ABC，∠ECO=∠BCO=12∠ACB，
∴∠OBC=∠OCB，
∴OB=OC，即△OBC是等腰三角形．
∵DE∥BC，
∴∠DOB=∠OBC，∠EOC=∠OCB，
∴∠DOB=∠DBO，∠EOC=∠ECO，
∴DB=DO，EC=EO，即△DBO，△ECO都是等腰三角形．
综上所述，图中共有5个等腰三角形．
（2）略
20．【答案】(1)1,5；5,5
(2)①y=x−1；②32
(3)0≤a≤12
【知识点】最短路径问题、等腰三角形的性质和判定、求不等式组的解集、坐标与图形变化——轴对称
【分析】（1）根据轴对称的性质即可求解；
（2）①根据一次对称和二次对称的定义得到B1x,4−y，B26−x,4−y，推出BB1⊥B1B2，再根据△BB1B2为等腰直角三角形得到BB1=B1B2，整理即可得出答案；②过点M作垂直于x轴的直线l，过点B作BH⊥l于点H，易证△BMH是等腰直角三角形，则有BH=BM2，得出2BN+BM=2BN+BM2=2BN+BH≥2NH，再计算出当N,B,H三点共线时NH的长度，即可得出答案；
（3）求出正方形CDPQ的二次对称图形C2D2P2Q2的各顶点坐标，再根据二次对称图形与过0,a+3且垂直于y轴的直线有公共点，列出关于a的不等式，即可求出a的取值范围．
【详解】（1）解：由题意得，直线m为直线y=2，直线n为直线x=3，
点A1,−1关于直线m对称的点为1,5，点1,5关于直线n对称的点为5,5，
∴点A1,−1的一次对称点的坐标为1,5，二次对称点的坐标为5,5；
故答案为：1,5；5,5；
（2）解：①∵点Bx,y在第三象限，
∴x≤0，y