初中数学人教版（2024）八年级上册（2024）第十五章 轴对称15.3 等腰三角形同步练习题

这是一份初中数学人教版（2024）八年级上册（2024）第十五章 轴对称15.3 等腰三角形同步练习题，共9页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知等腰三角形ABC的两条边分别为4和8，该等腰三角形的周长是（ ）
A．20B．16C．16和20D．12
2．若等腰三角形有一个内角为110°，则这个等腰三角形的底角是（ ）
A．70°B．45°C．35°D．50°
3．如图，AD=BC，AB=AC=BD，∠D=∠DEA=∠C，则图中一共有（ ）个等腰三角形

A．3B．4C．5D．6
4．如图，AD是等边△ABC的中线，AE=AD，则∠EDC的度数为（ ）
A．30°B．20°C．25°D．15°
5．如图，已知△ABC是等边三角形，中线BE，CD交于点F，则∠BFD的度数为（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
6．如图，在△PAB中，PA=PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM=BK，BN=AK，若∠MKN=44°，则∠P的大小为（ ）

A．44°B．66°C．92°D．98°
7．如图中的大长方形都是由边长为1的小正方形组成，其中每个正方形的顶点称之为格点，若A、B、C三点均在格点上，且△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数有（ ）

A．4个B．5个C．6个D．7个
8．如图所示，AOB是一钢架，且∠AOB=15°，为了使钢架更加坚固，需在其内部添加一些钢管EF、FG、GH,⋅⋅⋅⋅⋅⋅，添加的钢管长度都与OE相等，则最多能添加这样的钢管多少根．（ ）

A．2根B．4根C．5根D．无法确定
二、填空题
9．已知△ABC是等腰三角形，它的底边长为6cm，则它的腰长x的取值范围是 ．
10．如图，AB=AC=CD,∠BAC=56°，则∠B= ，∠D= ．
11．如图，在△ABC中，∠C=90°，CA=CB，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E,AB=8，则△AED的周长为 ．

12．如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点F，过点F作DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E．若△ADE的周长比△ABC的周长小12，且点F到AB的距离为3，则△BCF的面积为 ．

13．如图，△ABC中∠ABC=40°，动点D在直线BC上，当△ABD为等腰三角形，∠ADB= ．

14．如图，点D，E分别在等边△ABC的边AB、BC上，将△BDE沿直线DE翻折，使点B落在B1处，DB1，EB1分别交边AC于点F，G，若∠ADF=84°，则∠CEG的度数为 ．

15．如图，已知等边△ABC边长为3，D是△ABC外一点且∠BDC=120°，BD=CD，∠MDN=60°．则△AMN的周长等于 ．

16．如图，△ABC中，AB=AC，点D为CA延长线上一点，DH⊥BC于点H点F为AB延长线上一点，连接DF交CB的延长线于点E，点E是DF的中点，若BH=2，BE=2BH，则BC= ．

三、解答题
17．如图所示，△ABD和△ACE都是等腰直角三角形，∠BAD=∠CAE=90°，猜想线段CD和BE的数量关系和位置关系，并证明你的猜想．

18．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BD交AC边于点D，AE⊥BC于点E．已知∠ABC=60°，∠C=45°．

(1)求证：AB=BD；
(2)设BD与AE交于点F，求证：CE=BF+EF．
19．如图，在△ABC中，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，AD⊥BC，且BD=DE，连接AE．
(1)若∠BAE=44°，求∠C的度数．
(2)若AC=7cm，DC=5cm，求△ABC的周长．
20．BD是△ABC的角平分线，E在BC边上，连接DE，且DE=AD．

(1)求证∠A与∠BED互补；
(2)点F在AB边上，连接DF，若∠A+2∠DFB=180°，探究线段BF、BE、DE之间满足的等量关系，并加以证明．
21．已知，△ABC为等边三角形，点D在边BC上．
【基本图形】如图1，以AD为一边作等边三角形△ADE，连接CE．请直接写出AC、CE、CD之间的关系．
【迁移运用】如图2，点F是AC边上一点，以DF为一边作等边三角△DEF．求证：CE+CD=CF．
【类比探究】如图3，点F是AC边的延长线上一点，以DF为一边作等边三角形△DEF．试探究线段CE，CD，CF三条线段之间存在怎样的数量关系，请写出你的结论并说明理由．
参考答案
1．解：当4为底时，其它两边都为8，
4、8、8可以构成三角形，
周长为4+8+8=20；
当4为腰时，则底为8，
∵4+4=8，所以不能构成三角形，故舍去，
∴该等腰三角形的周长只有20．
故选：A．
2．解：∵等腰三角形有一个内角为110°，
∴这个等腰三角形的底角是180°−110°2=35°，
故选：C．
3．解：∵AB=AC=BD，∠D=∠DEA=∠C，
∴∠D=∠DAB=∠ABC=∠C，△ABD，△ABC为等腰三角形；
在△ABD与△BAC中，
AD=BCAB=BAAC=BD，
∴△ABD≌△BAC，
∴∠DBA=∠CAB，
∴AE=BE，
∴△ABE为等腰三角形，
∵∠D=∠DEA=∠C，∠DEA=∠CEB，
∴∠D=∠DEA=∠C=∠CEB，
∴AD=AE，BE=BC，
∴△ADE，△BCE为等腰三角形；
∴一共有5个等腰三角形．
故选C
4．解：∵ AD是等边△ABC的中线，
∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD=12∠BAC=12×60°=30°，
∴∠ADC=90°，
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED=180°−∠CAD2=75°，
∴∠EDC=∠ADC−∠ADE=90°−75°=15°，
故选：D．
5．解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∵中线BE，CD交于点F，
∴∠EBC=∠DCB=12×60°=30°，
∴∠BFD=∠EBC+∠DCB=60°，故B正确．
故选：B．
6．解：∵PA=PB，
∴∠A=∠B，
∵AM=BK，BN=AK，
∴△AMK≌△BKN，
∴∠AMK=∠BKN，
∵∠MKB=∠A+∠AMK =∠MKN+∠BKN，
∴∠A=∠B=∠MKN=44°，
∴∠P=180°−2×44°=92°．
故选：C．
7．解：当∠A为顶角时，符合的点有一个C6；
当∠B为顶角时，符合的点有五个C1,C2,C3,C4,C5,；
一共有6个．

故选C．
8．解：如图所示，

∵∠AOB=15°，OE=EF，
∴∠EOF=∠EFO=15°，
∴∠FEG=∠EOF+∠EFO=15°+15°=30°。
∵FE=FG，
∴∠FGE=∠FEG=30°，
∴∠GFH=∠EOF+∠FGE=15°+30°=45°，
∵GH=GF，
∴∠GHF=∠GFH=45°，
∴∠HGI=∠EOF+∠GHF=15°+45°=60°
∵GH=HQ，
∴∠GIH=∠GHI=60°，
∴∠IHJ=∠EOF+∠GIH=15°+60°=75°，
∵IH=IJ，
∴∠IJH=∠IH∠=75°，
∴∠JIB=∠EOF+∠IJH=15°+75°=90°，
此时无法再添加了，所以总共添加EF，FG，GH，HI，IJ共5根。
故选：C
9．解：根据题意，△ABC是等腰三角形，它的底边长为6cm，腰长为x，
∴x+x>6cm，
解得：x>3cm，
故答案为：x>3cm．
10．解：∵AB=AC,∠BAC=56°，
∴∠ACB=∠B=12180°−∠BAC=62°，
∵AC=CD，
∴∠D=∠CAD，
∵∠ACB=∠D+∠CAD=2∠D，
∴∠D=12∠ACB=31°，
故答案为：62°，31°．
11．解：∵∠C=90°，AC=BC，
∴∠A=∠ABC=45°，
∵BD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB，DC⊥BC，
∴DE=DC，
∵DE⊥AB，∠A=45°，
∴AE=DE=DC，
∵∠BED=∠C=90°，BD=BD，∠DBE=∠DBC，
∴△BDE≌△BDCAAS，
∴BE=BC，
∴C△AED=AE+DE+AD
=AE+DC+AD
=AC+AE
=BE+AE
=AB
=8．
故答案为：8．
12．解：如图所示，过点F作直线BC的垂线段，交BC于点N，过点F作直线AB的垂线段，交AB于点M，则FM=3．

∵∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，
∴∠DBF=∠CBF，∠BCF=∠ECF，FM=FN=3．
∵DE∥BC，
∴∠DFB=∠CBF，∠EFC=∠BCF．
∴∠DBF=∠DFB，∠EFC=∠ECF．
∴DB=DF，EF=EC．
∵△ADE的周长=AD+DE+AE=AD+DF+EF+AE=AD+DB+CE+AE=AB+AC，
△ABC的周长＝AB+AC+BC，
△ADE的周长比△ABC的周长小12，
∴BC＝12．
∴S△BCF=12BC·FN=12×12×3=18．
故答案为：18．
13．解：若AB=AD，
则∠ADB=∠ABC=40°；

若AD=BD，
则∠DAB=∠DBA=40°，
∴∠ADB=180°−2×40°=100°；

若AB=BD，且三角形是锐角三角形，
则∠ADB=∠BAD=12180°−∠ABC=70°；

若AB=BD，且三角形是钝角三角形，
则∠BAD=∠BDA=12∠ABC=20°．

综上：∠ADB的度数为20°或40°或70°或100°，
故答案为：20°或40°或70°或100°．
14．解：∵将△BDE沿直线DE翻折，使点B落在B1处，DB1，EB1分别交边AC于点F，G，
∴∠FDE=∠BDE,∠BED=∠GED，
∵∠ADF=84°，
∴∠BDE=∠FDE=12180°−∠ADF=48°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°，
∴∠BED=∠GED=180°−∠B+∠BDE=180°−60°+48°=72°
∴∠CEG=180°−2∠BED=36°，
故答案为：36°．
15．解：延长AC到E，使CE=BM，连接DE，如图

∵BD=DC，∠BDC=120°，
∴∠CBD=∠BCD=30°，
∵∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠ABD=∠ACD=∠DCE=90°，
∴△BMD≅△CED，
∴∠BDM=∠CDE，DM=DE，
又∵∠MDN=60°，
∴∠BDM+∠NDC=60°，
∴∠EDC+∠NDC=∠NDE=60°=∠NDM，
又∵DN=DN，
∴△MDN≅△EDN，
∴MN=NE=NC+CE=NC+BM，
所以△AMN周长=AM+AN+MN=AM+AN+NC+BM=AB+AC=6．
故答案为：6．
16．解：如图，过点D作DN∥AF交CE的延长线于点N，

∴∠EBF=∠N，∠BFE=∠BDN，
∵点E是DF的中点，
∴DE=FE，
∴△BEF≌△NED，
∴BE=EN=2BH=4，
∴BN=BE+EN=8，
∴NH=BH+BN=10，
∵AB=AC，
∴∠C=∠ABC，
∵DN∥AF，
∴∠N=∠ABC，
∴∠N=∠C，
∴DN=DC，
∵DH⊥CN，
∴CH=HN=10，
∴BC=CH+BH=12，
故答案为：12．
17．解：CD=BE，CD⊥BE，理由是：
∵△ABD和△ACE都是等腰直角三角形，
∴AD=AB，AC=AE，
∵∠BAD=∠CAE=90°，
∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，即∠DAC=∠BAE，
在△ADC和△ABE中，
AD=AB∠DAC=∠BAEAC=AE，
∴△ADC≌△ABESAS，
∴CD=BE，∠ADC=∠ABE，
在△ADG和△FBG中，
∠ADC=∠ABE，∠AGD=∠FGB，
∴∠DAG=∠BFG=90°，
∴CD⊥BE．
18．（1）证明：∵BD平分∠ABC，∠ABC=60°，
∴∠DBC=12∠ABC=30°，
∵∠ADB=∠DBC+∠C=75°，
∠BAC=180°−∠ABC−∠C=75°，
∴∠BAC=∠ADB，
∴AB=BD；
（2）证明：∵AE⊥BC
∴∠AEC=90°
∵∠C=45°
∴∠EAC=45°
∴AE=EC
∵∠BAC=75°
∴∠EAB=30°
∴∠ABD=∠EAB=30°，
∴AF=BF，
∵AE=AF+EF
∴CE=BF+EF．
19．（1）解：∵AD⊥BC，EF垂直平分AC，BD=DE，
∴AE=AB=EC，
∴∠CAE=∠C，∠ABE=∠AED，
∵∠BAE=44°，
∴∠AED=12180°−44°=68°，
∴∠C=12∠AED=34°．
（2）解；由（1）知：EC=AE=AB，
∵DE=BD．
∴AB+BD=EC+DE=DC，
∴△ABC的周长为AB+BC+AC=AB+BD+DC+AC=2DC+AC=2×5+7=17cm．
答：△ABC的周长为17cm．
20．（1）证明：如图所示，在AB上取一点M，使得BM=BE，连接DM，
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠DBM=∠DBE，
又∵BM=BE，BD=BD，
∴△DBM≌△DBESAS，
∴DE=DM，∠BED=∠BMD，
∵DE=AD，
∴DA=DM，
∴∠A=∠DMA，
∵∠DMA+∠BMD=180°，
∴∠A+∠BED=180°，
∴∠A与∠BED互补；

（2）解：BF=BE+DE，证明如下：
如图所示，在AB上取一点M，使得BM=BE，连接DM，
同理可证DA=DM=DE，
∴∠A=∠DMA，
∵∠DMA+∠DFB+∠FDM=180°，∠A+2∠DFB=180°，
∴∠DFB=∠FDM，
∴FM=DM，
∴FM=DE，
∵BF=FM+BM，
∴BF=BE+DE．

21．解：基本图形：
∵△ACB是等边三角形，等边三角形△ADE，
∴AB=AC=BC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，
∴∠BAD=∠CAE，
在△BAD与△CAE中
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△BAD≌△CAE，
∴CE=BD
∴AC=BC=BD+CD=CE+CD，即CE+CD=AC；
迁移运用：
证明：过点D作DG∥AB，交AC于点G，
∵△ACB是等边三角形，
∴∠ACB=∠A=∠B=60°，
∵DG∥AB，
∴∠CGD=∠A=60°，∠CDG=∠B=60°，
又∵∠ACB=60°，
∴△CDG为等边三角形，
∴CD=DG=CG，
∵△DEF为等边三角形，
∴DE=DF，∠EDF=60°，
∵∠CDE=∠CDG−∠EDG=60°−∠EDG，∠FDG=∠EDF−∠EDG=60°−∠EDG，
∴∠CDE=∠FDG，
在△CDE与△GDF中
CD=DG∠CDE=∠GDFDE=DF，
∴△CDE≌△GDF，
∴CE=GF，
∴CE+CD=GF+CG=CF；
类比探究：
解：CD+CF=CE，理由如下：
过点D作DG∥AB，交AC于点G，
∵△ACB是等边三角形，
∴∠ACB=∠A=∠B=60°，
∵DG∥AB，
∴∠CGD=∠A=60°，∠CDG=∠B=60°，
又∵∠ACB=60°，
∴△CDG为等边三角形，
∴CD=DG=CG，
∵△DEF为等边三角形，
∴DE=DF，∠FDE=60°，
∵∠GDF=∠GDC+∠CDF=60°+∠CDF，∠CDE=∠EDF+∠CDF=60°+∠CDF，
∴∠GDF=∠CDE，
在△CDE与△GDF中
CD=DG∠CDE=∠GDFDE=DF，
∴△CDE≌△GDF，
∴CE=GF，
∵GF=CF+CG=CF+CD，
∴CD+CF=CE．