人教版（2024）八年级上册（2024）15.3 等腰三角形习题

这是一份人教版（2024）八年级上册（2024）15.3 等腰三角形习题，共34页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．如图，等腰△ABC的顶角∠A为40度，则它的底角∠B为（ ）度．
A．70B．60C．50D．40
2．如图，在三角测平架中，AB=AC，在BC的中点D处挂一重锤，让它自然下垂．如果调整架身，使重锤线正好经过点A，那么就能确认BC处于水平位置．这种做法依据的数学原理是（ ）
A．等角对等边
B．垂线段最短
C．等腰三角形“三线合一”
D．三角形两边之和大于第三边
3．下列能判定△ABC为等腰三角形的是（ ）
A．∠A=40°，∠B=60°B．∠A=50°，∠B=80°
C． AB=AC=2，BC=4 D． AB=3，BC=7，周长为13
4．在平面直角坐标系中，点A2,−2，在y轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P共有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
5．下列命题是假命题的是（）
A．等腰三角形的两腰相等B．全等三角形的周长相等
C．等腰三角形的对称轴是顶角平分线D．对顶角相等
6．如图，在△ABC中，已知∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F．过点F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E．若AB=4，AC=5，则△ADE的周长为（ ）
A．8B．9C．10D．13
7．如图，BD是△ABC的中线，E为边AB上一点，连接CE交BD于点F．若∠EBF=∠EFB，AE=6，BE=14AB，则CE的长度为（ ）
A．10B．11C．12D．13
8．如图，∠AOB=30°，点E在∠AOB的平分线上，EC⊥OB，垂足为C，点F在OA上，若∠AFE=30°,EC=4，则△OFE的面积是（ ）
A．4B．8C．16D．18
9．如图，∠A=72°，∠B=36°，CD平分∠ACB，ED平分∠CDA，则图中的等腰三角形有（ ）
A．5个B．4个C．3个D．2个
10．在平面直角坐标系中，点A(−1,4)在第二象限，点P在坐标轴上．若以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P有（ ）
A．6个B．7个C．8个D．9个
二、填空题
11．将含30°角的直角三角板和直尺按如图所示的方式摆放，若∠1=60°，则△ABC是________三角形．
12．在△ABC中，已知AB=5,BC=6，那么∠A _______∠C（填“＞”、“＜”或“=”）．
13．如图，△ABC是等边三角形，点D在AC边上，∠DBC=35°，则∠ADB的度数为______°．
14．如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至点E，使CE=CD，连接DE．有下列结论：①BD⊥AC；②BD平分∠ABC；③BD=DE；④∠BDE=120°．其中正确的是___________．（填序号）
15．小月学习三角形相关知识后，对其进行深入学习，并得到如下结论：如图，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，点D是OB的中点，如果CD∥OA，则CD=12OA．她把这个结论用于解决实际问题：将Rt△AOB以点O为原点建立平面直角坐标系，OB=4，OA=6，则CD的长为________；若在OA上有一点P，使得PC+PD最小，则点P的坐标为________．
三、解答题
16．已知：如图，CB=DA，CA=DB，CB、DA相交于点O，求证：OA=OB．
17．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D,E是BC上一点，AB=AE．
(1)图中有几个三角形？用符号表示出这些三角形．
(2)找出图中所有的直角三角形和等腰三角形．
18．如图，一轮船由西向东以20海里/时的速度航行，在A处测得小岛P在北偏东75°方向，航行1.5小时后，轮船在B处测得小岛P在北偏东60°方向，已知小岛P周围12海里范围内有暗礁，若轮船继续向前航行，有没有触礁的危险？为什么？
19．如图，△ABC是等边三角形，D为BC边延长线上一点，CE平分∠ACD，CE=BD．
(1)求证：∠BAD=∠CAE；
(2)判别△ADE是什么特殊三角形？并说明理由．
20．如图，边长为1的正方形网格中，△ABC的三个顶点A、B、C都在格点上．
(1)画出△ABC关于x轴的对称图形△DEF（其中点A、B、C的对称点分别是D、E、F）；
(2)在y轴上找一点P，使得△PAC周长最短，请画出点P所在的位置，并写出点P的坐标．参考答案
1．【答案】A
【知识点】等边对等角、三角形内角和定理的应用
【分析】利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理进行计算，即可得答案．
【详解】解：∵等腰△ABC的顶角∠A为40度，
∴∠B=∠C=180°−∠A2=70度．
2．【答案】C
【知识点】三线合一
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形的性质即可求解，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
【详解】解：∵AB=AC，D为BC的中点，
∴AD⊥BC，
故这种做法依据的数学原理是等腰三角形的三线合一，
故选：C．
3．【答案】B
【知识点】根据等角对等边证明等腰三角形、等腰三角形的定义
【分析】本题考查等腰三角形的判定，根据等腰三角形的判定定理，有两个角相等或两条边相等的三角形是等腰三角形，同时需满足三角形三边关系．
【详解】解：选项A：∵∠A=40°，∠B=60°,
∴∠C=180°−40°−60°=80°, 三个角均不相等,
∴不能判定为等腰三角形；
选项B：∵∠A=50°，∠B=80°,
∴∠C=180°−50°−80°=50°,
∴∠A=∠C,
∴AB=BC,
∴△ABC为等腰三角形；
选项C：∵AB=AC=2，BC=4,
∴AB+AC=4=BC, 不满足三角形三边关系,
∴不能构成三角形, 故不能判定；
选项D：∵AB=3，BC=7, 周长为13,
∴AC=13−3−7=3,
∴AB=AC=3，但AB+AC=6
【知识点】大（小）边对大（小）角定理
【分析】本题考查了大（小）边对大（小）角定理．根据三角形中“大边对大角”的性质，通过比较对应边的大小关系判断角的大小关系，即可作答．
【详解】解：在△ABC中，BC是∠A的对边，AB是∠C的对边，
∵BC=6，AB=5，
∴BC>AB，
∴∠A>∠C，
故答案为：>．
13．【答案】95
【知识点】等边三角形的性质、三角形的外角的定义及性质
【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形外角定理，熟练掌握等边三角形性质及外角定理是解题的关键．
利用等边三角形的性质及三角形外角的性质计算即可．
【详解】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠C=60°，
∵∠DBC=35°，
∴∠ADB=∠C+∠DBC=60°+35°=95°．
故答案为：95．
14．【答案】①②③④
【知识点】等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质
【分析】根据等边三角形的性质及等边对等角依次判断即可．
【详解】∵△ABC是等边三角形，BD是中线，
∴BD平分∠ABC；BD⊥AC；故①②正确；
∵∠ACB=∠CDE+∠DEC=60°，
又CD=CE，
∴∠CDE=∠DEC=30°，
∴∠CBD=∠DEC=30°，
∴DB=DE
∴∠BDE=∠CDB+∠CDE=120°，故③④正确，
综上其中正确的是①②③④．
15．【答案】 3 (−32,0)
【知识点】最短路径问题、根据成轴对称图形的特征进行求解
【分析】本题考查最短路径问题，轴对称性质等．根据题意利用中位线性质即可得到CD的值，再过点C作CC′⊥x轴，使CH=C'H，连接C′D交x轴于点P，则此时PC+PD有最小值，继而利用题干中的性质即可得到点P的坐标．
【详解】解：∵CD∥OA，点D是OB的中点，OA=6，
∴CD=12OA=3，
过点C作CC′⊥x轴交x轴于H，使CH=C'H，连接C′D交x轴于点P，则此时PC+PD有最小值，
，
∵CH=C′H，HP∥CD，
∴HP=12CD=32，
∵OB=4，OA=6，
∴A(−6,0)，B(0,4)，
∴C(−3,2)，
∴H(−3,0)，
∴P(−32,0)，
故答案为：3；(−32,0)．
16．【答案】
证明：在△ABC和△BAD中，CB=DA,CA=DB,AB=BA,
∴△ABC≌△BADSSS，
∴∠CBA=∠DAB，
∴OA=OB．
【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS）、根据等角对等边证明边相等
【分析】找到隐含的公共边AB这一条件，通过SSS先证明△ABC≌△BAD，从而得到∠CBA=∠DAB，最后利用等角对等边即可证明结论．
【详解】略
17．【答案】(1)图中有6个三角形，分别是△ABD,△ABE,△ABC,△ADE,△ADC和△AEC
(2)直角三角形有△ABD,△ADE和△ADC；等腰三角形有△ABE
【知识点】三角形的分类、找出图中的等腰三角形、三角形的个数问题
【分析】本题考查三角形的个数，三角形的分类，熟练掌握三角形的基本概念，分类是解题的关键：
（1）写出图中三角形，即可得出结果；
（2）根据等腰三角形和直角三角形的定义，进行判断即可．
【详解】（1）解：图中有6个三角形，分别是△ABD,△ABE,△ABC,△ADE,△ADC和△AEC；
（2）∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°,∠ADE=90°,∠ADC=90°，
∴直角三角形有△ABD,△ADE和△ADC，
∵AB=AE，
∴△ABE是等腰三角形．
18．【答案】若轮船继续向前航行，没有触礁的危险，理由见解析．
【知识点】含30度角的直角三角形、根据等角对等边求边长
【分析】本题主要考查了含30度角直角三角形的性质，等角对等边，关键找出题中的等腰三角形，然后再根据直角三角形性质求解．作PD⊥AB，利用直角三角形性质求出PD长，再和12海里比较即可看出船不改变航向是否会触礁．
【详解】解：作PD⊥AB于D，
∵在A处测得小岛P在北偏东75°方向，
∴∠PAB=15°，
∵在B处测得小岛P在北偏东60°方向，
∴∠PBD=30°，
∴∠APB=∠PBD−∠PAB=15°=∠PAB，
∴AB=PB，
∵AB=20×1.5=30海里，
∴PB=30海里，
∴PD=12PB=15海里，
∵PD=15>12，
∴若轮船继续向前航行，没有触礁的危险．
19．【答案】(1)证明见解析
(2)等边三角形，理由见解析
【知识点】等边三角形的性质、等边三角形的判定和性质、全等的性质和SAS综合（SAS）、三角形的外角的定义及性质
【分析】（1）通过等边三角形性质、角平分线性质得到相等的边和角，证明△ABD≌△ACE，从而得对应角相等；
（2）利用全等三角形性质得到AD=AE及角关系，计算∠DAE=60°，判定△ADE为等边三角形．
【详解】（1）证明：∵△ABC为等边三角形，
∴∠B=∠ACB=∠CAB=60°,AB=AC=BC，
∴∠ACD=120°，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE=∠DCE=60°，
∴∠B=∠ACE，
在△ABD和△ACE中，
AB=AC∠B=∠ACEBD=CE，
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴∠BAD=∠CAE．
（2）解：△ADE为等边三角形，
∵△ABD≌△ACE，
∴AD=AE,∠BAD=∠CAE，
即∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，
∴∠DAE=∠BAC=60°，
∴△ADE为等边三角形．
20．【答案】(1)见解析
(2)0,2
【知识点】最短路径问题、画轴对称图形、坐标与图形变化——轴对称
【分析】本题考查了轴对称变换，“两点之间，线段最短”，掌握轴对称的坐标点特点是解题关键．
（1）先分别作出A、B、C关于x轴的对称点D、E、F，再连接D、E、F三点即可；
（2）由上问已知，C点关于y轴的对称点是C′点，连接A、C′两点，与y轴的交点即为P点，这时PA+PC最短，则△PAC周长最短，即可求出答案．
【详解】（1）解：如图所示，△ABC关于x轴的对称图形△DEF．
（2）如图所示：C点关于y轴的对称点是C′点，连接A、C′两点，与y轴的交点即为P点，
有PC=PC′，
则PA+PC=PA+PC′=AC′，此时PA+PC最短，
∵ C△PAC=AC+AP+PC，
∴此时△PAC周长最短．
由图形可知，点P的坐标为0,2．题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
C
B
C
C
B
A
C
A
C