初中数学15.3 等腰三角形课时练习

这是一份初中数学15.3 等腰三角形课时练习，共9页。
2．在△ABC中，AB＝AC，∠C＝70°，则∠B＝ ．
3．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为20°，则这个等腰三角形底角是 ．
4．如果等腰三角形的一边长是4cm，另一边长是9cm，那么这个等腰三角形的周长是 cm．
5．已知△ABC是等腰三角形，它的底边长为6cm，则它的腰长x的取值范围是 ．
6．如图，BD是∠ABC的角平分线，AD⊥BD，垂足为D，∠DAC＝20°，∠C＝38°，则∠BAD＝ ．
7．如图，△ABC中，AB＝AC＝4，P是BC上任意一点，过P作PD⊥AC于D，PE⊥AB于E，若S△ABC＝12，则PE+PD＝ ．
8．在△ABC中，AB＝AC，D是AB上的一点，且CD＝AD＝BC，则∠ACB＝ ．
9．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，则∠ABC的度数为 °．
10．如图，在以点A为直角顶点的Rt△ABC中，AC＝2，BC＝8，点D是边BC的中点，以AD为底边向上作等腰△ADH，使得∠ADH＝∠C，DH交AB于点K，则HK＝ ．
11．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠B＝50°，D为BC的中点，点E在AB上，∠AED＝69°，若点P是等腰三角形ABC的腰AC上的一点，则当△EDP为等腰三角形时，∠EDP的度数是 ．
12．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（4，0），在y轴上取一点C使△ABC为等腰三角形，符合条件的C点有 个．
13．如图，在等边△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，点F在BC延长线上，且EB＝EF，若BD＝4，BF＝8，则线段DE的长为 ．
14．如图，已知等边△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，把△BDE沿直线DE翻折，使点B落在点B′处，DB′、EB′分别交边AC于点F、G，若∠ADF＝80°，则∠GEC的度数为 ．
15．如图，在△ABC中，AC＝BC，AF，BF，CF分别平分△ABC的内角∠BAC，外角∠CBD，外角∠BCE，以下结论：①AB∥CF；②∠ABC＝2∠AFC；③∠AFB+∠FAC＝90°；④，其中正确的结论有 （填写所有正确结论的序号）．
16．如图，在由边长为1的小正方形组成的5×5的网格中，点A，B在小方格的顶点上，要在小方格的顶点确定一点C，连接AC和BC，使△ABC是等腰三角形．则方格图中满足条件的点C的个数有 个．
17．如图，等边三角形ABC的三个顶点都在坐标轴上，A（﹣1，0），过点B作BD⊥AB，垂线BD交x轴于点D，则点D的坐标为 ．
18．如图，在△ABC中，AB＝CB，∠B＝100°．延长线段BC至点D，使CD＝BC，过点D作射线DP∥AB，点E为射线DP上的动点，分别过点A，D作直线EC的垂线AM，DN．当|AM﹣DN|的值最大时，∠ACE的度数为 ．
19．如图，在△ABC中，AB＝AC，DE⊥AC于点E，交AB于点M，且AE＝CE，以点C为圆心，CA长为半径作弧，交DE于点F，连接CF交AB于点G．若CG＝FG，则∠BCG的度数为 ．
20．如图，∠BOC＝9°，点A在OB上，且OA＝1，按以下要求画图：以点A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A1，得第一条线段AA1；再以A1为圆心、1为半径向右画弧交OB于点A2，得第二条线段A1A2；再以A2为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A3，得第三条线段A2A3……这样一直画下去，最多能画 条线段．
参考答案
1．解：设等腰三角形的顶角度数为x，
∵等腰三角形的底角是顶角的2倍，
∴底角度数为2x，
根据三角形内角和定理得：x+2x+2x＝180°，
解得x＝36°，
则顶角的度数为36°．
故答案为：36．
2．解：∵AB＝AC，∠C＝70°，
∴∠B＝∠C＝70°，
故答案为：70°．
3．解：①∵AB＝AC，∠ABD＝20°，BD⊥AC，
∴∠A＝70°，
∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣70°）÷2＝55°．
②∵AB＝AC，∠ABD＝20°，BD⊥AC，
∴∠BAC＝20°+90°＝110°
∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣110°）÷2＝35°．
故答案为：55°或35°．
4．解：当4cm为底时，其它两边都为9cm，4cm、9cm、9cm可以构成三角形，
周长为4+9+9＝22（cm）；
当4cm为腰时，其它两边为4cm和9cm，
∵4+4＜9，
∴不能构成三角形，故舍去．
∴这个等腰三角形的周长是22cm．
故答案为：22．
5．解：∵△ABC是等腰三角形，它的底边长为6cm，
∴，
解得：x＞3，
故答案为：x＞3．
6．解：设∠ABD＝α，∠BAD＝β
∵AD⊥BD
∴∠ABD+∠BAD＝90°，
即α+β＝90°
∵BD是∠ABC得角平分线，
∴∠ABC＝2∠ABD＝2α，
∵∠ABC+∠BAC+∠C＝180
∴2α+β+38°+20°＝180°，
∴联立可得解得：
∴∠BAD＝58°
法二，延长AD交BC于E，
∵∠DAC＝20°，∠C＝38°，
∴∠AEC＝20°+38°＝58°，
∵BD⊥AD，
∴∠BDA＝90°，
∵BD是∠ABC的角平分线，
∴∠ABD＝∠DBE，
∴∠BEA＝∠BAD＝58°，
故答案为：58°
7．解：连接AP，
由图可得，S△ABC＝S△ABP+S△ACP，
∵PD⊥AC于D，PE⊥AB于E，S△ABC＝12，
∴，
∴PE+PD＝6．
故答案为：6．
8．解：如图所示，
∵CD＝AD＝BC，
设∠A＝∠ACD＝x，
∴∠B＝∠CDB＝∠A+∠ACD＝2x，
∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠B＝2x，
在△ABC中，∠A+∠B+∠ACB＝180°，
∴x+2x+2x＝180°，
∴x＝36°，
∴∠ACB＝2x＝72°．
故答案为：72°．
9．解：设∠ABD＝x，
∵BD＝AD，
∴∠A＝∠ABD＝x，
∵BD＝BC，
∴∠C＝∠BDC，
根据三角形的外角性质，∠BDC＝∠A+∠ABD＝2x，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝2x，
在△ABC中，∠A+∠ABC+∠＝180°，
即x+2x+2x＝180°，
解得x＝36°，
∴∠ABC＝72°，
故答案为：72．
10．解：过点H作HM⊥AD于M，则∠HMD＝∠HMA＝90°，
∵∠BAC＝90°，AC＝2，BC＝8，
∴∠HMD＝∠BAC，，
在Rt△ABC，点D是边BC的中点，BC＝8，
∴，
∴∠DAB＝∠B，
∵以AD为底边向上作等腰△ADH，HM⊥AD，
∴，
∴DM＝AC＝2，
∵∠ADH＝∠C，
∴△DHM≅△CBA，
∴DH＝BC＝8，∠MHD＝∠B，
∴∠DAB＝∠MHD，
∵∠ANM＝∠HNK，
∴∠HKN＝∠HMA＝90°，
∴DH⊥AB，
∵AD＝BD，
∴，
∴DK，
∴HK＝DH﹣DK＝7．
故答案为：7．
11．解：连接AD，
∵AB＝AC，∠B＝50°，
∴∠BAC＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
∵点P是等腰△ABC的腰AC上的一点，AB＝AC，D为BC的中点，
∴∠BAD＝∠CAD，
过D作DH⊥AC，DG⊥AB，
∴DG＝DH，
在Rt△DEG与Rt△DP2H中，
，
∴Rt△DEG≌Rt△DP2H（HL），
∴∠AP2D＝∠AED＝69°，
∵∠BAC＝80°，
∴∠EDP2＝142°，
同理可得Rt△DEG≌Rt△DP1H，
∴∠EDG＝∠P1DH，
∴∠EDP1＝∠GDH＝100°，
故答案为：100°或142°，
12．解：观察图形可知，若以点A为圆心，以AB为半径画弧，与y轴有2个交点，故此时符合条件的点由2个；
若以点B为圆心，以AB为半径画弧，与y轴有2个交点；这两个交点中有一个是与A重合的，应舍掉，故只有1个；
线段AB的垂直平分线与y轴有1个交点；
∴符合条件的C点有：2+1+1＝4（个），
故答案为：4．
13．解：过E点作EH⊥BF，
设DE＝x，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠ABC＝60°，∠AED＝∠ACB＝60°，
∴△ADE是等边三角形，
∵BD＝4，
∴EC＝BD＝4，AB＝BC＝AC＝4+x，∠ACB＝60°，
在Rt△CHE中，
∵∠ACB＝60°，EC＝BD＝4，
∴∠HEC＝180°﹣∠ACB﹣∠EHC＝180°﹣60°﹣90°＝30°，
∴，
∴BH＝BC﹣CH＝4+x﹣2＝2+x，
∵EB＝EF，
∴△EBF是等腰三角形，
∵EH⊥BF，BF＝8，
∴BH＝FH＝4，
∴2+x＝4，
∴x＝2，
∴DE＝2．
故答案为：2．
14．解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，
由翻折可得∠B′＝∠B＝60°，
∴∠A＝∠B′＝60°，
∵∠AFD＝∠GFB′，
∴△ADF∽△B′GF，
∴∠ADF＝∠B′GF，
∵∠EGC＝∠FGB′，
∴∠EGC＝∠ADF＝80°，
∴∠CEG＝180°﹣∠C﹣∠CGE＝180°﹣60°﹣80°＝40°．
故答案为：40°
15．解：∵AF平分∠BAC，CF平分∠BCE，
∴，，
又∵AC＝BC，
∴∠ABC＝∠BAC，
又∵∠ABC+∠BAC＝2∠BAC＝∠BCE，
∴，
∴AB∥CF，故①正确；
∴∠AFC＝∠BAF＝∠FAC，
∴∠ABC＝2∠AFC，故②正确，
∵∠ABC+∠CBD＝180°，即：∠CBD＝180°﹣∠ABC，
又∵BF平分∠CBD，
∴，
∵AB∥CF，
∴∠DBF＝∠CFB＝∠AFB+∠AFC，
即：∠AFB+∠AFC＝90°﹣∠AFC，
∴2∠AFC＝90°﹣∠AFB，
∴，故④正确，
∵∠AFC＝∠BAF＝∠FAC，
∴2∠FAC＝90°﹣∠AFB，则∠AFB+2∠FAC＝90°，故③错误，
综上，正确的结论有①②④．
故答案为：①②④．
16．解：如图所示：
分两种种情况：
当C在C1，C2，C3，C4位置上时，AC＝BC；
当C在C5，C6位置上时，AB＝BC；
即满足点C的个数是6，
故答案为：6．
17．解：∵A（﹣1，0），
∴OA＝1，
∵△ABC是等边三角形，OB⊥AC，
∴OC＝OA＝1，
∴AC＝BC＝2，∠ACB＝∠ABC＝60°，
∵BD⊥AB，
∴∠CBD＝∠ABD﹣∠ABC＝30°，
∴∠BDC＝∠ACB﹣∠DBC＝30°，
∴∠BDC＝∠CBD，
∴CD＝BC＝2，
∴OD＝OC+CD＝3，
∴点D的坐标（3，0）．
故答案为：（3，0）．
18．解：如图，过点B作BH直线l于点H．
∵DN⊥直线l，BH⊥直线l，
∴∠DNC＝∠BHC，
∵∠DCN＝∠BCH，BC＝CD，
∴△CDN≌△CBH（ASA），
∴BH＝DN，
∴|AM﹣DN|＝|AM﹣BH|，
∵AM与AB重合时，|AM﹣BM|的值最大，
∴当DN与DP重合，AM与AB重合时，|AM﹣DN|＝|AM﹣BM|的值最大，此时|AM﹣DN|＝AB，
∵∠ABC＝100°，
∴∠CBM＝180°﹣100°＝80°，
∵AM⊥CE，
∴∠AMC＝90°，
∴∠BCM＝90°﹣80°＝10°，
又∵AB＝BC，
∴∠ACB＝（180°﹣100°）÷2＝40°，
∴∠ACE＝180°﹣∠ACB﹣∠BCM＝180°﹣40°﹣10°＝130°，
故答案为：130°．
19．解：连接AF，如图．
∵DE⊥AC，AE＝CE，
∴AF＝CF，
由题意可知CF＝CA，
∴AF＝CF＝CA，
∴△AFC是等边三角形，
∴∠ACF＝∠CAF＝60°．
∵CG＝FG，
∴∠CAB＝∠CAF＝30°，
∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠B＝（180°﹣∠CAB）＝75°，
∴∠BCG＝∠ACB﹣∠ACF＝75°﹣60°＝15°．
故答案为：15°．
20．解：∵AO＝A1A，A1A＝A2A1，…，
∴∠AOA1＝∠OA1A，∠A1AA2＝∠A1A2A，…，
∵∠BOC＝9°，
∴∠A1AB＝18°，∠A2A1C＝27°，∠A3A2B＝36°的度数，∠A4A3C＝45°，…，
∴9°n＜90°．
∴n＜10．
∵n为整数，
∴n＝9．
故答案为：9．