专题19. 等腰三角形-2021-2022学年八年级数学上册专题考点专练（人教版）

13.3  等腰三角形

知识点1  等边对等角

例1如图，直线L1∥L2，点A、B在L1上，点C在L2上，若AB＝AC、∠ABC＝70°，则∠1的大小为（　　）

A．20° B．40° C．35° D．70°

解题分析：根据等边对等角的性质，可求得∠ACB的度数，又由直线l1∥l2，根据两直线平行，同旁内角互补即可求得∠1的度数．

B【解析】∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC＝70°，∵直线l1∥l2，∴∠1+∠ACB+∠ABC＝180°，∴∠1＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣70°﹣70°＝40°．故选：B．

【点评】此题考查了平行线的性质，等腰三角形的性质．解题的关键是注意掌握两直线平行，同旁内角互补与等边对等角定理的应用．

练1  若x，y满足|x－3|+=0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长为()

A．12  B．14  C．15 D．12或15

练2 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，直线a∥b，顶点C在直线b上，直线a交AB于点D，交AC于点E，若∠1＝145°，则∠2的度数是（　　）

A．40° B．45° C．50° D．35°

知识点2  三线合一

例2 △ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，∠BAD＝35°，则∠C的度数为（　　）

A．70° B．55° C．65° D．35°

解题分析：由已知条件，利用等腰三角形三线合一的性质进行求解．

B【解析】∵AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形，∵D是BC边上的中点，

∴AD⊥BC，∵∠BAD＝35°．∴∠C＝90°﹣35°＝55°．故选：B．

【点评】本题考查了等腰三角形的性质；利用三线合一是正确解答本题的关键．

练3 如图所示，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，P是AD上任意一点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F.

求证：PE＝PF.

知识点3等腰三角形的判定

例3 三角形三个内角的比是∠A：∠B：∠C＝1：1：2，则△ABC是（　　）

A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 

C．等边三角形 D．不能确定

解题分析：根据三角形的内角和定理和∠A：∠B：∠C＝1：1：2，可以分别求得三个角的度数，再进一步判断三角形的形状．

B【解析】∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A：∠B：∠C＝1：1：2，∴∠A＝∠B＝45°，∠C＝90°．则该三角形的等腰直角三角形．故选：B．

【点评】考查了等腰三角形的判定，三角形内角和定理，能够熟练运用三角形的内角和定理求得三角形各个角的度数，再根据角的度数进一步判断三角形的形状．

练4 如图，DE∥BC，CG＝GB，∠1＝∠2，求证：△DGE是等腰三角形．

知识点4 腰三角形的性质与判定的综合运用

例4 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABC的平分线交CD的延长线于点E，F是BE的中点，连接CF并延长交AD于点G．

（1）求证：CG平分∠BCD．

（2）若∠ADE＝110°，∠ABC＝52°，求∠CGD的度数．

解题分析：（1）根据角平分线的定义得到．根据平行线的性质得到∠ABF＝∠E，推出△BCE是等腰三角形．根据等腰三角形的性质即可得到结论．

（2）根据平行线的性质待定的∠ABC+∠BCD＝180°．根据角平分线的定义即可得到结论．

（1）证明：∵BE平分∠ABC，∴．∵AB∥CD，∴∠ABF＝∠E，

∴∠CBF＝∠E，∴BC＝CE，∴△BCE是等腰三角形．∵F为BE的中点，∴CF平分∠BCD，

即CG平分∠BCD．

（2）解：∵AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD＝180°．∵∠ABC＝52°，∴∠BCD＝128°．

∵CG平分∠BCD，∴．∵∠ADE＝110°，∠ADE＝∠CGD+∠GCD，

∴∠CGD＝46°．

【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，判断出△BCE是等腰三角形是解题的关键．

练5如图，在△ABC中，AB＝AC，D在边AC上，且BD＝DA＝BC．

（1）如图1，填空∠A＝　　°，∠C＝　　°．

（2）如图2，若M为线段AC上的点，过M作直线MH⊥BD于H，分别交直线AB、BC与点N、E．

①求证：△BNE是等腰三角形；

②试写出线段AN、CE、CD之间的数量关系，并加以证明．

知识点5  等边三角形的性质

例5 如图所示，△ABC是等边三角形，且BD＝CE，∠1＝15°，则∠2的度数为（　　）

A．15° B．30° C．45° D．60°

解题分析：易证△ABD≌△BCE，可得∠1＝∠CBE，根据∠2＝∠1+∠ABE可以求得∠2的度数，即可解题．

D【解析】在△ABD和△BCE中，，∴△ABD≌△BCE，∴∠1＝∠CBE，

∵∠2＝∠1+∠ABE，∴∠2＝∠CBE+∠ABE＝∠ABC＝60°．故选：D．

【点评】本题考查了全等三角形的证明，全等三角形对应角相等的性质，等边三角形内角为60°的性质，本题中求证△ABD≌△BCE是解题的关键．

练6 由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作．小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．如图①，衣架杆OA＝OB＝18 cm，若衣架收拢时，∠AOB＝60°，如图②，则此时A，B两点之间的距离是________ cm.

练7 如图，在等边△ABC中，D是AC边的中点，延长BC到点E，使CE=CD，连接DE，试判断△BDE的形状，并说明理由．

知识点6 等边三角形的判定

例6P为∠AOB内一点，∠AOB＝30°，P关于OA、OB的对称点分别为M、N，则△MON定是（　　）

A．等边三角形 B．等腰三角形 

C．直角三角形 D．等腰直角三角形

解题分析：根据题意画出草图，根据轴对称的性质求得OM＝PO＝ON，∠MON＝60°，即可判断△MON为等边三角形．

A【解析】根据题意画出草图：∵P关于OA、OB的对称点分别为M、N∴AO⊥MP，PO＝OM，BO⊥PN，OP＝ON∴△POM为等腰三角形△PON为等腰三角形∴∠MOE＝∠POE，∠POF＝∠FON，OM＝OP＝ON，又∵∠AOB＝30°∴∠POE+∠POF＝30°∴∠MOE+∠FON＝30°，∴∠MON＝60°又∵MO＝ON∴△MON为等边三角形．故选：A．

【点评】本题考查等边三角形的判定及性质．关键要理解有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，其中60°可以是顶角，也可以是底角．

练8 如图，点D，E，F分别是等边△ABC的三条边AB，BC，CA上的点．若AD＝BE＝CF，求证：△DEF是等边三角形.

知识点7 含30°角的直角三角形的性质

例7 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E．则以下AE与CE的数量关系正确的是（　　）

A．AECE B．AECE C．AECE D．AE＝2CE

解题分析：首先连接BE，由在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，可求得∠ABC的度数，又由AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，根据线段垂直平分线的性质，可得AE＝BE，继而可求得∠CBE的度数，然后由含30°角的直角三角形的性质，证得AE＝2CE．

D【解析】连接BE，∵DE是AB的垂直平分线，∴AE＝BE，∴∠ABE＝∠A＝30°，

∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝30°，在Rt△BCE中，BE＝2CE，∴AE＝2CE，故选：D．

【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．

练9  如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，DE垂直平分AB，垂足是点E，若AD＝8cm．则AC的长是（　　）

A．4cm B．5cm C．4cm D．6cm

13.4  课题学习  最短路径问题

知识点1 最短路径问题

例1如图所示，在等边△ABC中，E是AC边的中点，AD是BC边上的中线，P是AD上的动点，若AD＝3，则EP+CP的最小值为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5

解题分析：要求EP+CP的最小值，需考虑通过作辅助线转化EP，CP的值，从而找出其最小值求解．

B【解析】作点E关于AD的对称点F，连接CF，

∵△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC，∴AD是BC的垂直平分线，

∴点E关于AD的对应点为点F，∴CF就是EP+CP的最小值．∵△ABC是等边三角形，E是AC边的中点，∴F是AB的中点，∴CF是△ABC的中线，∴CF＝AD＝3，即EP+CP的最小值为3，故选：B．

【点评】本题考查了等边三角形的性质和轴对称等知识，熟练掌握等边三角形和轴对称的性质是本题的关键．

练1如图，研究员小王从点A出发到实验室B，途中要从l1、l2两条河流中各取一个样本用于研究.他应该在何处取水，才能使所走的路程最短？

练1解：如图2所示，(1)作点A关于l1的对称点A′，作点B关于l2的对称点B′；(2)连接A′B′，交l1于点M，交l2于点N.则点M、N就是小王取水的的位置.

13.3  等腰三角形参考答案

练1 C练2 A

练3 证明：∵AB＝AC，D为BC的中点，∴AD平分∠BAC.又∵PE⊥AB，PF⊥AC，∴PE＝PF.

练4 解：连接AG，∵DE∥BC，∴∠ABC＝∠1，∠ACB＝∠2．又∵∠1＝∠2，

∴∠ABC＝∠ACB．又∵G为BC中点，∴AG⊥BC．∴AG⊥DE且平分DE，

∴DG＝GE．∴△DGE是等腰三角形．

练5解：（1）∵BD＝BC，∴∠BDC＝∠C，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∴∠A＝∠DBC，∵AD＝BD，∴∠A＝∠DBA，∴∠A＝∠DBA＝∠DBC∠ABC∠C，∵∠A+∠ABC+∠C＝5∠A＝180°，∴∠A＝36°，∠C＝72°；故答案为：36，72；

（2）①∵∠A＝∠ABD＝36°，∠B＝∠C＝72°，∴∠ABD＝∠CBD＝36°，∵BH⊥EN，

∴∠BHN＝∠EHB＝90°，在△BNH与△BEH中，，∴△BNH≌△BEH，

∴BN＝BE，∴△BNE是等腰三角形；

②CD＝AN+CE，理由：由①知，BN＝BE，∵AB＝AC，∴AN＝AB﹣BN＝AC﹣BE，∵CE＝BE﹣BC，∵CD＝AC﹣AD＝AC﹣BD＝AC﹣BC，∴CD＝AN+CE．

练6 18

练7 解：△BDE是等腰三角形．

理由如下：∵△ABC是等边三角形，D是AC边的中点，

∴∠ABC=∠ACB=60°，∠ABD=∠DBC= ∠ABC=30°．

∵CE=CD，∴∠E=∠CDE．

又∵∠ACB=∠E+∠CDE，∴∠E= ∠ACB=30°，

∴∠DBC=∠E，∴BD=DE，即△BDE是等腰三角形．

练8 证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，AB＝BC＝CA.

∵AD＝BE＝CF，∴BD＝EC＝AF.在△ADF和△BED中，∴△ADF≌△BED(SAS)．∴DF＝ED.同理可证△ADF≌△CFE.∴DF＝FE.∴DF＝FE＝ED.∴△DEF是等边三角形．

练9  A

13.4  课题学习  最短路径问题

练1解：如图2所示，(1)作点A关于l1的对称点A′，作点B关于l2的对称点B′；(2)连接A′B′，交l1于点M，交l2于点N.则点M、N就是小王取水的的位置.