初中数学人教版（2024）八年级上册（2024）第十五章 轴对称15.3 等腰三角形课后测评

这是一份初中数学人教版（2024）八年级上册（2024）第十五章 轴对称15.3 等腰三角形课后测评，共4页。试卷主要包含了能力提升，创新应用等内容，欢迎下载使用。
一、能力提升
1.关于等腰三角形和等边三角形的区别与联系,下列说法不正确的是( )
A.等腰三角形包括等边三角形
B.等边三角形包括等腰三角形
C.等边三角形是等腰三角形的特殊情况
D.等边三角形每边上的高,中线与此边对角平分线都能实现“三线合一”
2.若△ABC的三边a,b,c满足a2+b2+c2=ab+ac+bc,则△ABC的形状为( )
A.等腰三角形B.等边三角形
C.不等边三角形D.无法确定
3.在△ABC中,如果只给出条件∠A=60°,那么还不能判定△ABC是等边三角形,给出下面四种说法:
①如果再加上条件“AB=AC”,那么△ABC是等边三角形;
②如果再加上条件“∠B=∠C”,那么△ABC是等边三角形;
③如果再加上条件“D是BC的中点,且AD⊥BC”,那么△ABC是等边三角形;
④如果再加上条件“AB,AC边上的高相等”,那么△ABC是等边三角形.
其中正确的说法有 .(把你认为正确的序号全部填上)
4.如图,∠AOB=30°,P是∠AOB平分线上的点,PM⊥OB于点M,PN∥OB交OA于点N.若PM=1,则PN的长是 .
5.如图,△ABC是等边三角形,点E是AC上一点,∠1=∠2,BE=CD.请判断△ADE的形状,并说明理由.
6.如图,在等边三角形ABC的AC边上取中点D,在BC的延长线上取一点E,使CE=CD.
求证:BD=DE.
7.如图,D是等边三角形ABC的边AB上的一动点,以CD为一边向上作等边三角形EDC,连接AE,找出图中的一组全等三角形,并说明理由.
8.如图,已知△BCE,△ACD分别是以BE,AD为斜边的直角三角形,且BE=AD,△CDE是等边三角形.求证:△ABC是等边三角形.
9.如图,D,E分别是等边三角形ABC两边BC,AC上的点,且AE=CD,连接BE,AD且交于点P.过点B作BQ⊥AD于点Q.证明:BP=2PQ.
二、创新应用
★10.如图,D是等边三角形ABC内一点,且DB=DA,PB=AB,∠DBP=∠DBC,求∠P的度数.
知能演练·提升
一、能力提升
1.B
2.B 由a2+b2+c2=ab+ac+bc,可以得出2a2+2b2+2c2=2ab+2ac+2bc,故有(a-b)2+(a-c)2+(b-c)2=0成立,因此可得a=b=c.由等边三角形的定义可知△ABC一定是等边三角形.
3.①②③④
4.2 因为PN∥OB交OA于点N,所以∠ANP=30°.如图,作PC⊥OA于点C.在Rt△CNP中,PN=2PC.由角平分线的性质,得PC=PM=1,所以PN=2PC=2.
5.解 △ADE是等边三角形.理由如下:
∵△ABC为等边三角形,
∴AB=AC,∠BAC=60°.
在△ABE和△ACD中,AB=AC,∠1=∠2,BE=CD,
∴△ABE≌△ACD(SAS).
∴AE=AD,∠DAE=∠BAC=60°.
∴△ADE是等边三角形.
6.证明 ∵△ABC是等边三角形,
∴∠ABC=∠ACB=60°.
∵D为AC的中点,
∴BD平分∠ABC,
∴∠DBC=30°.
∵CE=CD,
∴∠E=∠CDE
=12∠ACB=30°.
∴∠DBC=∠E,
∴BD=DE.
7.解 △BDC≌△AEC.
理由如下:∵△ABC,△EDC均为等边三角形,
∴BC=AC,DC=EC,∠BCA=∠ECD=60°,
∴∠BCD=∠ACE.
在△BDC和△AEC中,BC=AC,∠BCD=∠ACE,DC=EC,
∴△BDC≌△AEC(SAS).
8.证明 ∵△CDE是等边三角形,
∴EC=CD,∠ECD=60°.
∵BE,AD都是斜边,
∴∠BCE=∠ACD=90°.
在Rt△BCE和Rt△ACD中,
∵EC=DC,BE=AD,
∴Rt△BCE≌Rt△ACD(HL),∴BC=AC.
∵∠ECD+∠ACE=90°,∠ACB+∠ACE=90°,
∴∠ACB=∠ECD=60°.
∴△ABC是等边三角形.
9.证明 ∵△ABC是等边三角形,
∴AB=AC,
∠BAC=∠C=60°.
在△ABE和△CAD中,AB=CA,∠BAE=∠C,AE=CD,
∴△ABE≌△CAD,
∴∠ABE=∠CAD.
又∠BAD+∠CAD=∠BAC=60°,
∴∠BPQ=∠ABE+∠BAD=60°.
又BQ⊥AD,
∴在Rt△BPQ中,∠QBP=30°,∴BP=2PQ.
二、创新应用
10.分析 连接CD,分别证明△BCD≌△BPD,△BCD≌△ACD.
解 如图,连接CD.在△BCD和△BPD中, BD=BD,∠DBC=∠DBP,BC=BA=BP,
∴△BCD≌△BPD,
∴∠BCD=∠P.
在△BCD和△ACD中,BC=AC,DC=DC,BD=DA,
∴△BCD≌△ACD.
∴∠BCD=∠ACD.
∴∠P=∠BCD=12∠ACB=12×60°=30°.