北师大版（2024）四年级上册（2024）第五单元 运算律整理与复习精品同步训练题

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本课核心问题
面对一个算式，怎样判断该用哪条运算律，才能算得又对又快？
一、学习目标
1. 能完整说出本单元学过的五条运算律，并用字母表示
2. 能根据算式特点选择合适的运算律进行简便计算，并正确验算
3. 能结合情境或实例说明等式为什么成立，会用运算律解决实际问题
二、重点
• 五条运算律的名称、字母表示与适用场景（对比表）
• 用运算律简便计算的方法与验算
三、难点
• 区分乘法分配律与乘法结合律，避免“漏乘”和“用错律”
学习支架
运算律对比表（我的收获）
乘法分配律：正确 vs 错误（35×102）
简便计算五步法
1. 一看：观察算式的数与运算符号
2. 二找：找能凑整的数对（25×4、125×8、补成整百整千等）
3. 三选：选择适用的运算律
4. 四算：改写算式并计算
5. 五验：换一种顺序或方法验算
四、知识要点
1. 加法交换律和乘法交换律
交换律只改变数的顺序，不改变运算符号和结果。
加法交换律：a+b=b+a，交换两个加数的位置，和不变。
乘法交换律：a×b=b×a，交换两个乘数的位置，积不变。
适用场景：连加、连乘时把好算的数先放在一起。例如 4×37×25 中，先让 25 和 4 相邻，再相乘得到整百数。
2. 加法结合律和乘法结合律
结合律改变的是括号的位置（运算顺序），不改变结果。
加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。
乘法结合律：(a×b)×c=a×(b×c)。
例如教材中的 (3×5)×4=3×(5×4)，两边都得 60，等式成立——这就是“结合下面的例子说一说等式为什么成立”的答案：改变运算顺序，结果不变。
3. 乘法分配律
(a+b)×c=a×c+b×c，括号里的每一个数都要乘 c，不能漏乘。
还可以反过来用：a×c+b×c=(a+b)×c。例如 3×8+3×6=3×(8+6)：8 个 3 加 6 个 3，一共是 14 个 3，所以结果相等。
注意：分配律的括号里是加（减）法；如果只是连乘，用的是交换律或结合律，不是分配律。
4. 运算律的应用：简便计算与解决实际问题
教材“巩固与应用”第 2 题要求观察算式的特点再计算，这就是简便计算的训练：
25×97+25×3=25×(97+3)=2500（分配律逆用）；
5×289×2=5×2×289=2890（交换律、结合律）；
378+527+73=378+(527+73)=978（加法结合律凑整）。
运算律还能解决实际问题：教材第 76 页的花圃题（篱笆长、种郁金香棵数）、装箱题（每辆车装苹果和橘子）都可以借助运算律先合并再计算。
关键习惯：算完一定要验算——换一种顺序或方法再算一遍，结果相同才算对。
5. 结合情境，解释等式为什么成立
教材第 1 题要求结合例子说明等式成立的理由。
(3×5)×4=3×(5×4)：只是改变了乘的顺序（结合律），两边的积不变。
3×8+3×6=3×(8+6)：8 个 3 加 6 个 3，合起来是 14 个 3（分配律）。
说一说时要把“数一数”“摆一摆”“合起来算”的思路讲清楚：改变过程不改变结果，正是运算律的价值。
6. 我的问题：问题银行
教材在“问题银行”中提出两个问题：
① 乘法有分配律，除法有分配律吗？
② 运算律还能解决什么问题？
对第①个问题，先用例子验证再下结论：123+1=12÷4=3，而 12÷3+12÷1=4+12=16，两边不相等，说明除法不能照搬分配律。
对第②个问题：运算律能让计算简便，还能帮我们求篱笆长、算总价、装箱数……把你的发现和疑问继续记进“问题银行”，留到以后慢慢研究。
五、典型例题
【例1】
用简便方法计算：4×37×25
【解答】4×37×25
= 4×25×37（乘法交换律：交换 37 与 25 的位置）
= (4×25)×37（乘法结合律：先算 4×25）
= 100×37
= 3700
验算：37×4×25=37×100=3700，结果相同。
【点拨】看到 25 想 4，看到 125 想 8，把它们先乘可以得到整百、整千数。先交换位置，再结合，两步各用一条律。
【例2】
用简便方法计算：35×102（先想一想，再对照下面的正误对比）
【解答】正确算法：
35×102
= 35×(100+2)（把 102 拆成 100+2）
= 35×100+35×2（乘法分配律：括号里的每一项都要乘 35）
= 3500+70
= 3570
错误算法：
35×102=35×100+2=3500+2=3502，漏乘了第二项 2 与 35 的乘积。
验算：102×35=3570，与正确结果相同。
【点拨】用分配律时，括号里有几个数，就要乘几个数；拆数时还要检查：100+2 与原来的 102 相等。
【例3】
张叔叔家的菜地是长方形，长 35 米，宽 28 米。在菜地四周围上篱笆，篱笆长多少米？用两种方法解答。
【解答】方法一：
(35+28)×2
= 63×2
= 126（米）
方法二：
35×2+28×2
= 70+56
= 126（米）
答：篱笆长 126 米。
两种方法结果一样，说明 (35+28)×2=35×2+28×2，这就是乘法分配律在周长问题中的应用。
【点拨】求长方形周长可以先求长宽之和再乘 2，也可以两条长加两条宽分别算；两种算法对应分配律的两种写法，算完互相验证。
同 步 练 习
我的收获：把知识网络补完整
★ 基础巩固
1. 在（________）里填上合适的数。
(1) 356+78=78+（________）
(2) 25×(4×17)=(25×4)×（________）
(3) 38×26+38×74=38×(26+（________）)
2. 说一说下面的字母式分别是什么运算律。
a×b=b×a 是（________）；
(a+b)+c=a+(b+c) 是（________）；
(a+b)×c=a×c+b×c 是（________）。
3. 38×99+38=38×100=3800。（ ）
4. 3×(4+5)=3×4+5。（ ）
5. (25×4)×8=25×(4×8)，应用的是乘法分配律。（ ）
6. 25+39+75=25+75+39，应用的是加法结合律。（ ）
7. 4×7+4×3=4×(7+3)，因为 7 个 4 加 3 个 4，一共是 10 个 4，所以等式成立。（ ）
第8题：3700。
25×37×4
=25×4×37（乘法交换律）
=(25×4)×37（乘法结合律）
=100×37
=3700
验算：37×25×4=37×100=3700，结果相同。
第9题：600。
458+73+42+27
=(458+42)+(73+27)（加法交换律、结合律凑整）
=500+100
=600
验算：458+42=500，73+27=100，500+100=600。
第10题：600。
458+73+42+27
=(458+42)+(73+27)（加法交换律、结合律凑整）
=500+100
=600
验算：458+42=500，73+27=100，500+100=600。
第11题：11000。
125×(80+8)
=125×80+125×8（乘法分配律）
=10000+1000
=11000
验算：125×88=11000，结果相同。
12. 用简便方法计算：125×(80+8)
13. 学校运动会要买奖品，买了 25 盒羽毛球，每盒 12 只，每只 3 元。买这些羽毛球一共花了多少元？
★★ 能力提升
14. 下列运用乘法分配律改写正确的算式是（ ）。
A. (25+15)×4=25×4+15
B. 25×(40+4)=25×40+25×4
C. 25×(40+4)=25×40×25×4
D. 25×(40+4)=25×40×4
15. 计算 35×99 时，可以这样想：35×99=35×(100−1)=35×100−35×1。这里应用了（ ）。
A. 乘法结合律 B. 乘法分配律
C. 乘法交换律 D. 加法结合律
第16题：7600。
76×99+76
=76×(99+1)（乘法分配律逆用：76 看作 76×1）
=76×100
=7600
验算：76×99=7524，7524+76=7600，结果相同。
【解析】逆用乘法分配律：把76看作76×1，76×99+76=76×(99+1)=76×100=7600。易错点：忘记把76写成76×1，直接先算加法。
第17题：1120。
(125+15)×8
=125×8+15×8（乘法分配律）
=1000+120
=1120
验算：140×8=1120，结果相同。
【解析】用乘法分配律展开：(125+15)×8=125×8+15×8=1000+120=1120。易错点：只乘第一个加数（125×8+15），漏乘15×8。
18. 用简便方法计算：(125+15)×8
19. 王爷爷家的菜地是长方形，长 40 米，宽 25 米。
(1) 在菜地四周围一圈篱笆，篱笆长多少米？
(2) 如果每平方米种 8 棵白菜，这块菜地一共能种多少棵白菜？
20. 果园丰收了。每辆车装 18 箱苹果和 22 箱梨，苹果每箱 45 元，梨每箱 35 元，一共装满 25 辆车。
(1) 一共有多少箱水果？
(2) 这些水果一共能卖多少元？
★★★ 拓展延伸
21. 25×36 能用几种方法简便计算？请写出至少两种方法，并分别说明应用了什么运算律。想一想，还有别的算法吗？
22. 学校买来 45 套课桌椅，每张课桌 120 元，每把椅子 80 元。
(1) 一共要付多少元？
(2) 用两种方法列式计算，并说明应用了什么运算律。
23. 问题银行：乘法有分配律，除法有分配律吗？请举例验证你的想法。再想一想：运算律除了让计算更简便，还能帮我们解决什么问题？请至少写出两条。
参 考 答 案
第1题：356；17；74
【解析】第(1)题交换了两个加数的位置，用加法交换律；第(2)题改变了括号的位置，用乘法结合律；第(3)题是乘法分配律的逆用，26 个 38 加 74 个 38，一共是 (26+74) 个 38。
第2题：乘法交换律；加法结合律；乘法分配律
【解析】对照“运算律对比表”：交换律是交换位置，结合律是改变括号，分配律是把括号里的数分别乘到外面。
第3题：√
【解析】验算：38×99=3762，3762+38=3800；而 38×100=3800，两边相等，所以正确。这是乘法分配律的逆用：把 38 看作 38×1。
第4题：×
【解析】错误。乘法分配律要求括号里的每一项都乘外面的数：3×(4+5)=3×4+3×5=12+15=27，而 3×4+5=12+5=17，两边不相等。[错因:漏乘]
第5题：×
【解析】错误。这个等式只是改变了括号的位置，应用的是乘法结合律；乘法分配律的括号里是加（减）法。[错因:律混淆]
第6题：×
【解析】错误。把 39 和 75 交换了位置，应用的是加法交换律；加法结合律改变的是括号（运算顺序）。[错因:律混淆]
第7题：√
【解析】验算：4×7+4×3=28+12=40；4×(7+3)=4×10=40，两边相等。说理由时讲清“7 个 4 加 3 个 4，一共是 10 个 4”，这就是结合例子解释等式为什么成立。
第8题：3700。
25×37×4
=25×4×37（乘法交换律）
=(25×4)×37（乘法结合律）
=100×37
=3700
验算：37×25×4=37×100=3700，结果相同。
第9题：600。
458+73+42+27
=(458+42)+(73+27)（加法交换律、结合律凑整）
=500+100
=600
验算：458+42=500，73+27=100，500+100=600。
第10题：600。
458+73+42+27
=(458+42)+(73+27)（加法交换律、结合律凑整）
=500+100
=600
验算：458+42=500，73+27=100，500+100=600。
第11题：11000。
125×(80+8)
=125×80+125×8（乘法分配律）
=10000+1000
=11000
验算：125×88=11000，结果相同。
第12题：11000。
125×(80+8)
=125×80+125×8（乘法分配律）
=10000+1000
=11000
验算：125×88=11000，结果相同。
第13题：900。
25×12×3
=25×(12×3)（乘法结合律：先算每盒 12 只共 36 元）
=25×36
=900（元）
答：一共花了 900 元。
验算：25×12=300（只），300×3=900（元）。
【解析】先算每盒多少钱再乘盒数，或者先算总只数再乘单价，两种顺序结果一样，这就是乘法结合律在购物问题中的应用。
第14题：B
【解析】逐项检验：A 漏乘了 15；B 把括号拆开分别乘，正确；C 把加号写成了乘号；D 只乘了括号里的第一个数。[错因:漏乘]
第15题：B
【解析】35×(100−1) 拆开括号，每一项都乘 35：35×100−35×1=3500−35=3465，是乘法分配律在减法上的应用。[错因:方法]
第16题：7600。
76×99+76
=76×(99+1)（乘法分配律逆用：76 看作 76×1）
=76×100
=7600
验算：76×99=7524，7524+76=7600，结果相同。
【解析】逆用乘法分配律：把76看作76×1，76×99+76=76×(99+1)=76×100=7600。易错点：忘记把76写成76×1，直接先算加法。
第17题：1120。
(125+15)×8
=125×8+15×8（乘法分配律）
=1000+120
=1120
验算：140×8=1120，结果相同。
【解析】用乘法分配律展开：(125+15)×8=125×8+15×8=1000+120=1120。易错点：只乘第一个加数（125×8+15），漏乘15×8。
第18题：1120。
(125+15)×8
=125×8+15×8（乘法分配律）
=1000+120
=1120
验算：140×8=1120，结果相同。
【解析】用乘法分配律展开：(125+15)×8=125×8+15×8=1000+120=1120。易错点：只乘第一个加数（125×8+15），漏乘15×8。
第19题：130。(40+25)×2=65×2=130（米）
8000。40×25×8=1000×8=8000（棵）
答：篱笆长 130 米，一共能种 8000 棵白菜。
验算：40×2+25×2=80+50=130（米）；40×25=1000（平方米），1000×8=8000（棵）。
【解析】(40+25)×2 与 40×2+25×2 结果相同，是乘法分配律在周长问题中的应用；种菜棵数用面积乘每平方米棵数，其中 40×25 可以先用结合律的思路算面积。
第20题：1000。(18+22)×25=40×25=1000（箱）
39500。18×45×25=810×25=20250（元），22×35×25=770×25=19250（元），20250+19250=39500（元）
答：一共有 1000 箱水果，一共能卖 39500 元。
验算：苹果 18×25=450（箱），450×45=20250（元）；梨 22×25=550（箱），550×35=19250（元）。
【解析】第(1)题先用分配律把两种水果合在一起算每车箱数，再乘车辆数；第(2)题分别算出两种水果的卖价再相加，也可以用 (18×45+22×35)×25 一次性计算。
第21题：900。
方法一：25×36=25×4×9=(25×4)×9=100×9=900，应用乘法结合律（把 36 拆成 4×9）。
方法二：25×36=25×(40−4)=25×40−25×4=1000−100=900，应用乘法分配律。
方法三：25×36=(20+5)×36=20×36+5×36=720+180=900，应用乘法分配律。
验算：36×25=900，结果一致。
【解析】把 36 拆成 4×9 用结合律，把 36 拆成 40−4 或把 25 拆成 20+5 用分配律。拆数时要保证拆分后与原数相等，这是简便计算的关键。
第22题：9000。
方法一：(120+80)×45=200×45=9000（元），先算一套桌椅的价钱再乘套数，应用乘法分配律。
方法二：120×45+80×45=5400+3600=9000（元），分别算课桌和椅子的总价再相加，应用乘法分配律。
答：一共要付 9000 元。
验算：45×200=9000，结果一致。
【解析】两种方法对应乘法分配律的两种方向：合起来算和分开算。先算一套再乘数量往往更简便，这就是“先合并再计算”的应用。
第23题：除法没有分配律。例如 123+1=12÷4=3，而 12÷3+12÷1=4+12=16，两边不相等，所以除法不能照搬分配律。
运算律还能帮我们：① 求长方形篱笆长时用 (a+b)×2=a×2+b×2；② 买多套物品时先算一套的价钱再乘数量；③ 装箱、铺地砖时合并数量再估算总数。
把自己的发现和疑问记进“问题银行”，以后继续研究。
【解析】这是一道开放题：结论要用举例验证得到，不能凭感觉。学生的举例只要正确验证、表达清楚即可，答案不唯一。运算律
字母表示
一句话记住它
典型例子
加法交换律
a+b=b+a
交换加数位置，和不变
28+73=73+28
乘法交换律
a×b=b×a
交换乘数位置，积不变
4×37×25=4×25×37
加法结合律
(a+b)+c=a+(b+c)
改变括号位置，和不变
(37+56)+44=37+(56+44)
乘法结合律
(a×b)×c=a×(b×c)
改变括号位置，积不变
(25×4)×17=25×(4×17)
乘法分配律
(a+b)×c=a×c+b×c
括号里每一项都要乘 c，还可逆用
25×(40+4)=25×40+25×4
错误写法
正确写法
35×102=35×100+2=3500+2=3502
错在哪：拆开括号后，第二个加数 2 也要乘 35，不能只把 100 乘 35。
35×102=35×(100+2)=35×100+35×2=3500+70=3570
验算：用竖式计算 102×35，结果也是 3570。
运算律
字母表示
我举的例子
8. 用简便方法计算：25×37×4
9. 用简便方法计算：458+73+42+27
10. 用简便方法计算：458+73+42+27
11. 用简便方法计算：125×(80+8)
16. 用简便方法计算：76×99+76
17. 用简便方法计算：(125+15)×8