小学数学北师大版（2024）五年级上册（2024）整理与复习精品第4课时课时训练

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本课核心问题
怎样用“三边关系”和“内角和180°”这两条规律，去判断、计算并画出各种三角形？
一、学习目标
1. 能对照“我的收获”说出本单元关于三角形的三条核心认识（内角和180°、任意两边之和大于第三边、用尺规作出三角形），并画出知识网络
2. 能运用“内角和180°”正确求出三角形中未知角的度数，并用“三数之和等于180°”进行检验
3. 能判断三条线段能否围成三角形，并能用尺规作出给定三边的三角形
二、重点
• 三角形内角和180°与任意两边之和大于第三边的综合运用
• 已知两个角求第三个角的方法与检验
三、难点
• 理解“任意两边之和大于第三边”中“任意”和“大于”的严格含义，并灵活运用于判断、求范围与作图
学习支架
第二单元《三角形的再认识》知识网络
易错对比·求第三个角
例1·三角形ABC
用尺规作一个三角形的一般步骤
1. 作一条线段作底边
2. 分别以底边两个端点为圆心、另外两边的长度为半径作弧
3. 两弧的交点就是第三个顶点
4. 连接三个顶点，标出边长
四、知识要点
1. 知识网络梳理：关于三角形的新认识
学完本单元，我们对三角形有了新的认识。打开“我的收获”，把学到的内容整理成一张知识网络：第一板块·三角形的边：三角形任意两边之和大于第三边。第二板块·三角形的角：各种三角形的内角和都是180°。第三板块·作图：我会用尺规作出一个三角形。本课复习课我们要做三件事：一是把三个板块串成知识网络；二是辨清最常出错的几个地方；三是用两条规律解决综合问题。复习建议：第一步，合上课本，自己试着画出这张知识网络；第二步，完成“巩固与应用”的练习，检验三条结论会不会用；第三步，对照“问题银行”，把还不明白的问题记下来，和同伴交流。
2. 核心结论回顾一：三角形任意两边之和大于第三边
关键结论：三角形任意两边之和大于第三边。“任意”两个字很重要，它表示三条边两两组合都要满足：a+b>c，a+c>b，b+c>a（a、b、c为三角形的三边）。快捷检验法：三条边中较短两边的和大于最长边，就能围成三角形；等于或小于都不能围成。例如：4厘米、5厘米、6厘米，4+5=9>6，能围成三角形；3厘米、4厘米、8厘米，3+4=76，3+6=9>4，4+6=10>3，能围成。选法二（3、4、8）：3+4=78，3+8=11>6，6+8=14>3，能围成。选法四（4、6、8）：4+6=10>8，4+8=12>6，6+8=14>4，能围成。第二步，得出结论：有3种选法能围成三角形，分别是（3、4、6）、（3、6、8）、（4、6、8）。第三步，选（4、6、8）用尺规作图：第1步，作线段BC，使BC=8厘米；第2步，以点B为圆心、4厘米为半径作弧；第3步，以点C为圆心、6厘米为半径作弧，两弧相交于点A；第4步，连接AB、AC，三角形ABC就是所作出的三角形。第四步，检验：AB=4厘米，AC=6厘米，BC=8厘米，三边满足三边关系，作图正确。
【点拨】判断三边能否围成三角形，可以只检查较短两边的和是否大于最长边（较长两边之和一定大于第三边）。用尺规作图时，给定的三边必须满足三边关系，否则两个弧不相交，就作不出三角形。
同 步 练 习
★ 基础巩固
1. 本单元我们重新认识了三角形：三角形任意两边之和（________）第三边；各种三角形的内角和都是（________）°；我们还会用（________）作出一个三角形。
2. 三角形的内角和是（________）°，直角三角形中两个锐角的和是（________）°。
3. 在一个三角形中，∠1=42°，∠2=57°，∠3是多少度？
4. 三角形任意两边之和（________）第三边。
5. 用长度分别是6厘米、6厘米、12厘米的三根小棒能围成一个三角形。（ ）
6. 任意一个三角形的内角和都是180°。（ ）
7. 在一个直角三角形中，一个锐角是36°，另一个锐角是多少度？
★★ 能力提升
8. 下面哪组小棒能围成一个三角形？（________）
A. 2厘米、3厘米、6厘米
B. 3厘米、4厘米、5厘米
C. 3厘米、3厘米、6厘米
D. 4厘米、4厘米、9厘米
9. 一个三角形中，两个内角分别是38°和92°。第三个内角是多少度？这是一个什么三角形？
10. 先判断下面三条线段能否围成一个三角形，再用尺规作出这个三角形：线段a=5厘米，线段b=6厘米，线段c=7厘米。
先判断5厘米、6厘米、7厘米三条线段能否围成三角形，再用尺规作出这个三角形。
11. 手工课上，老师给小明一根长24厘米的吸管，要求剪成三段（每段的长度都是整厘米数）围成一个三角形，并且其中一段正好是8厘米。小明可以怎样剪？请把你能想到的分法记录下来。
吸管分段记录表
★★★ 拓展延伸
12. 一个三角形中，最大的角是72°，另外两个角相等。另外两个角分别是多少度？
13. 有两根小棒，长度分别是4厘米和7厘米。再选一根整厘米数的小棒，就可以围成一个三角形。第三根小棒最长是多少厘米？最短是多少厘米？
14. 下面的9个角来自3个不同的三角形：35°、55°、90°、40°、60°、80°、45°、65°、70°。先想一想，把每个三角形的三个角分别找出来，并写出你的思考过程。
参 考 答 案
第1题：大于；180；尺规
【解析】这三条就是本单元关于三角形的新认识：三边关系（任意两边之和大于第三边）、内角和180°、用尺规作三角形，复习时把它们串成一张知识网络。
第2题：180；90
【解析】三角形三个内角的和是180°；直角三角形中有一个角是90°，另外两个锐角的和是180°−90°=90°。
第3题：81°
【解析】∠3=180°−∠1−∠2=180°−42°−57°=81°。检验：42°+57°+81°=180°。
第4题：大于
【解析】这是三角形的三边关系：“任意”两字表示三组两边之和都要比较，且必须是“大于”。
第5题：×
【解析】6+6=12，两边之和等于第三边，三根小棒首尾相接成一条直线，不能围成三角形。三边关系要求“大于”第三边，等于也不行。
第6题：√
【解析】各种三角形的内角和都是180°，与三角形的大小、形状无关。
第7题：54°
【解析】直角三角形中有一个角是90°，两个锐角的和是180°−90°=90°，所以另一个锐角是90°−36°=54°。
第8题：B
【解析】A：2+3=55，能；C：3+3=6，等于第三边，不能；D：4+4=87，5+7=12>6，6+7=13>5，任意两边之和都大于第三边。作图步骤：第一步，作线段AB=7厘米；第二步，以点A为圆心、5厘米为半径作弧；第三步，以点B为圆心、6厘米为半径作弧，两弧交于点C；第四步，连接AC、BC，三角形ABC就是所作出的三角形。
【解析】讲评要点：先判断再作图，两弧的交点就是第三个顶点；如果给定的三边不满足三边关系，两个弧不会相交，就作不出三角形。作图后可以量一量三条边长进行检验。
第11题：8厘米、5厘米、11厘米；8厘米、6厘米、10厘米；8厘米、7厘米、9厘米；8厘米、8厘米、8厘米。（写出一种即可）
【解析】三段共长24厘米，其中一段是8厘米，另外两段的和是24−8=16厘米。另外两段还必须满足“任意两边之和大于第三边”，即两段的差要小于8厘米。和是16、差小于8的整厘米数组有（5、11）、（6、10）、（7、9）、（8、8），所以共有4种剪法。检验：如8+5=13>11，能围成。
第12题：54°。另外两个角的和是180°−72°=108°，两个角相等，所以每个角是108°÷2=54°。检验：72°+54°+54°=180°。
【解析】这是内角和的逆向问题：先由内角和180°求出另外两个角的和108°，再因为两个角相等，平均分成两份，每份54°。
第13题：10厘米（最长）、4厘米（最短）。第三根小棒要满足：4+7>第三根，所以第三根小于11厘米；4+第三根>7，所以第三根大于3厘米。大于3厘米且小于11厘米的整厘米数是4、5、6、7、8、9、10，所以最长是10厘米，最短是4厘米。
【解析】由“任意两边之和大于第三边”可以推出第三边的范围：它必须大于两边之差、小于两边之和。4厘米和7厘米的差是3厘米，和是11厘米，所以第三根在4厘米到10厘米之间（整厘米数），最长10厘米，最短4厘米。
第14题：35°、55°、90°；40°、60°、80°；45°、65°、70°。思考过程：每个三角形的三个内角的和都是180°。先找和为180°的一组：35°+55°+90°=180°；40°+60°+80°=180°；45°+65°+70°=180°。所以这9个角正好分成3个三角形，每个三角形的三个角拼起来是一个平角。
【解析】这道题呼应教材“9个角来自3个不同的三角形”的拼角活动：每个三角形三个内角的和是180°，所以把9个角分成三组，每组三个角的和是180°即可。可以先把9个角的度数都看作数据，逐组凑和为180°的组合，并逐组检验。板块
核心结论
常见应用
三角形的边
任意两边之和大于第三边
判断小棒、吸管能否围成三角形；确定第三边的范围
三角形的角
各种三角形的内角和都是180°
已知两个角求第三个角；剪角拼成平角验证
作图
用尺规作出一个三角形
按给定三边作图；作图前先判断三边关系
错误做法
正确做法
∠C=180°−58°=122°（只减了一个已知角）
∠C=180°−58°−76°=46°（减去两个已知角的和）
方法
第一段/cm
第二段/cm
第三段/cm