小学数学整理与复习精品课后测评

这是一份小学数学整理与复习精品课后测评，文件包含北师大版九年级数学上册第4单元单元测试卷原卷docx、北师大版九年级数学上册第四章单元测试卷原卷docx、北师大版九年级数学上册第4单元单元测试卷解析卷docx、北师大版九年级数学上册第四章单元测试卷解析卷docx等4份试卷配套教学资源，其中试卷共58页， 欢迎下载使用。
本课核心问题
为什么平行四边形、三角形和梯形的面积都能用“底×高”相关的公式计算？遇到不规则的组合图形，怎样把它转化成学过的图形来求面积？
一、学习目标
1. 能说出平行四边形、三角形和梯形的面积公式，并用自己的语言说明它们的推导过程都运用了“转化”与“出入相补”的方法
2. 能正确计算三类图形的面积，能逆用公式求底或高，并能辨析面积计算中的常见错误
3. 会用分割、添补的方法求组合图形的面积，会进行公顷、平方千米与平方米之间的换算，能按“数格子”的方法估计不规则图形的面积
二、重点
• 平行四边形、三角形、梯形面积公式及底与高的对应关系
• 组合图形的分割与添补，公顷、平方千米与平方米的单位换算
三、难点
• 逆用公式求底或高（三角形要先乘2），以及“上下底之和不变”类变式规律的判断与理由说明
学习支架
本单元面积公式一览表
面积单位换算表
例题1的两种分割方案对比
组合图形面积解题流程
1. 观察图形，确定分割或添补方案
2. 在原图中找全各部分需要的底和高
3. 分别计算各部分的面积
4. 分割相加或添补相减
5. 核对单位，写出答句
四、知识要点
1. 知识网络：面积公式体系一览
本单元一共研究了四个面积公式：长方形面积=长×宽；平行四边形面积=底×高；三角形面积=底×高÷2；梯形面积=（上底+下底）×高÷2。它们有一个共同的结构：都与“底×高”有关，三角形和梯形都要除以2。记忆时可以这样想——三角形、梯形分别拼上“另一个自己”就得到一个平行四边形，所以它们都是对应平行四边形面积的一半。注意：求面积前先确定底，再找这条底对应的（垂直的）高，底和高不对应，算出的面积就是错的。
2. 推导脉络回顾：转化与“出入相补”
平行四边形、三角形和梯形的面积公式是怎样推导的？回顾本单元的推导过程：平行四边形：沿高剪开，把剪下的三角形平移到另一边，拼成一个长方形，图形的面积没有改变，这种割补后面积不变的方法叫作“出入相补”。三角形：两个完全相同的三角形可以拼成一个平行四边形，三角形面积是拼成的平行四边形面积的一半，所以公式里要÷2。梯形：两个完全相同的梯形可以拼成一个平行四边形，拼成的平行四边形的底等于梯形的上底与下底之和，高不变，所以梯形面积=（上底+下底）×高÷2。三个推导的共同点是：都是把新图形转化成学过的图形来计算面积，转化的过程中图形的面积保持不变。这种“转化”的思想是本单元最重要的收获。
3. 易错辨析：平行四边形与三角形的应用和逆用
顺用：知道底和高，直接代入公式求面积。逆用：知道面积求底或高时，把公式倒过来——
平行四边形：底=面积÷高，高=面积÷底。三角形：底=面积×2÷高，高=面积×2÷底。注意三角形要先乘2“还原”成拼成的平行四边形，再除以底或高，这一步最容易丢。易错点汇总：1.三角形面积漏掉÷2；2.底和高不对应（比如把一组邻边当成底和高）；3.直角三角形中两条直角边互为底和高，求面积直接用两条直角边相乘除以2；4.面积相等不等于形状相同，只有两个完全相同的三角形才能拼成一个平行四边形。
4. 易错辨析：梯形公式与“和不变”变式规律
梯形面积=（上底+下底）×高÷2，计算时先算上下底之和，再乘高、除以2。变式规律：如果梯形的上底增加几厘米、下底减少同样多的厘米数，上下底之和不变，高不变，所以面积不变。例如上底4厘米、下底8厘米的梯形，上底增加1厘米、下底减少1厘米后，上下底之和都是12厘米，面积一定不变。说明理由时要回到公式：面积由“上下底之和×高”决定，公式中上下底是以“相加”的形式出现的，和不变，结果就不变。特别注意：这条规律不能随便推广。平行四边形的底减少几厘米、高增加同样的厘米数，面积一般会变——因为平行四边形的面积是“底×高”，底和高是相乘关系，一个变小一个变大，乘积一般会变。规律要用公式本身来判断，不能想当然。
5. 综合应用：组合图形、面积单位换算与不规则图形估算
组合图形：求组合图形的面积，常用两种方法——
分割法：把组合图形分成几个学过的图形，分别求面积再相加；添补法：把组合图形补成一个完整的学过的图形，求出完整图形的面积再减去补上的部分。无论哪种方法，每个部分的底和高都要在原图形中找得到。面积单位换算：1平方千米=100公顷，1公顷=10000平方米，1平方千米=1000000平方米。由大单位化小单位乘进率，由小单位化大单位除以进率。不规则图形面积的估算：用数格子的方法——占满整格的按1格算，不满一格的按半格算（或按“不满半格舍去、超过半格按1格”的方法估），再算出大约的面积。
五、典型例题
【例1】
阳光小学的校园里有一块劳动实践基地，它可以分成一个长10米、宽6米的长方形和一个上底6米、下底8米、高4米的梯形。这块劳动实践基地的占地面积是多少平方米？
【解答】方法一：分割成长方形和梯形。长方形面积：6×10=60（平方米）
梯形面积：(6+8)×(14−10)2=14×4÷2=28（平方米）
总面积：60+28=88（平方米）
方法二：换一种分割方法，分成一个长14米、宽6米的长方形和一个三角形。长方形面积：14×6=84（平方米）
三角形面积：(8−6)×(14−10)2=2×4÷2=4（平方米）
总面积：84+4=88（平方米）
两种方法的结果相同，可以互相检验。答：这块劳动实践基地的占地面积是88平方米。
【点拨】求组合图形的面积，先观察图形，想办法把它分成学过的图形；关键是找全每个部分需要的底和高——本题中梯形和三角形的高都是14-10=4米，是由图形尺寸相减得到的。分割的方法往往不止一种，算完可以用另一种分法检验结果。
【例2】
一个梯形，上底4厘米，下底8厘米，高5厘米。（1）这个梯形的面积是多少平方厘米？（2）如果上底增加2厘米、下底减少2厘米，新梯形的面积是多少？与原梯形相比，面积有什么变化？（3）如果上底增加4厘米、下底减少4厘米呢？（4）你发现了什么？
【解答】（1）（4+8）×5÷2=12×5÷2=30（平方厘米）
（2）新梯形的上底：4+2=6（厘米），下底：8-2=6（厘米）
新梯形面积：（6+6）×5÷2=12×5÷2=30（平方厘米）
与原梯形的面积相等。（3）新梯形的上底：4+4=8（厘米），下底：8-4=4（厘米）
新梯形面积：（8+4）×5÷2=12×5÷2=30（平方厘米）
还是30平方厘米，与原梯形面积相等。（4）发现：梯形的上底增加几厘米、下底减少同样的厘米数，上下底之和不变，高不变，所以面积不变。理由是：梯形面积=（上底+下底）×高÷2，公式中上下底是以“和”的形式出现的，和不变，面积就一定不变。深入思考（易错辨析）：这条规律能推广到“底×高”的情形吗？举例：底10厘米、高4厘米的平行四边形，面积是10×4=40（平方厘米）；底减少1厘米、高增加1厘米后，9×5=45（平方厘米），面积反而变大了。因为平行四边形面积=底×高，底和高是相乘关系，一个量变小、一个量变大，乘积一般会变。所以判断规律要用公式本身说话，不能想当然。
【点拨】遇到“一个量增加、另一个量减少同样数量”的题目，先算一算再下结论。说理由时回到公式：先看上下底、高在公式里是“相加”还是“相乘”，相加的和不变结果就不变，相乘的积一般会变。
【例3】
一块平行四边形的稻田，底是800米，高是400米。（1）这块稻田的面积是多少平方米？合多少公顷？（2）如果每公顷稻田大约收获水稻8000千克，这块稻田一共大约收获多少千克水稻？（3）如果保持面积不变，把底改为400米，高应该是多少米？
【解答】（1）稻田面积：800×400=320000（平方米）
1公顷=10000平方米，320000÷10000=32（公顷）
（2）8000×32=256000（千克）
（3）高=面积÷底，320000÷400=800（米）
答：这块稻田的面积是320000平方米，合32公顷；一共大约收获水稻256000千克；把底改为400米时，高应该是800米。
【点拨】大面积的土地用公顷作单位，换算时想清楚进率：公顷→平方米乘10000，平方米→公顷除以10000。逆用公式求底或高时，把公式当作乘法算式：平行四边形底×高=面积，求其中一个因数用除法；如果是三角形，要先乘2还原成平行四边形，再除以底或高。
同 步 练 习
★ 基础巩固
1. 5 km²=（________）公顷。
2. 300000平方米=（________）公顷。
3. 400公顷=（________）平方千米。
4. 计算下面各图形的面积。（1）平行四边形：底8米，高5米。（2）三角形：底12厘米，高6厘米。（3）梯形：上底4厘米，下底6厘米，高3厘米。
5. 一个平行四边形的面积是36平方米，高是6米，与这条高对应的底是（________）米。
6. 两个面积相等的三角形一定可以拼成一个平行四边形。（ ）
7. 三角形的面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半。（ ）
8. 一个梯形的上底是4厘米，下底是6厘米，高是5厘米，它的面积是（________）平方厘米。
★★ 能力提升
9. 一个三角形的底是8厘米，这条底上的高是6厘米，它的面积是（________）。
A. 48平方厘米 B. 24平方厘米
C. 96平方厘米 D. 14平方厘米
10. 一个梯形的上底是4厘米，下底是8厘米，高是6厘米。如果把上底增加2厘米、下底减少2厘米，得到的新梯形与原梯形相比，面积（________）。
A. 增加了 B. 减少了
C. 不变 D. 无法确定
11. 学校劳动基地里有一块平行四边形的试验田，面积是96平方米，底是12米。与这条底对应的高是多少米？
12. 在方格纸上分别画出一个面积是10平方厘米的平行四边形、一个面积是5平方厘米的三角形和一个面积是6平方厘米的梯形。（每个小方格的边长表示1厘米）
★★★ 拓展延伸
13. 李叔叔家的菜地是一个直角梯形，上底12米，下底20米，高10米。菜地中间有一条平行四边形小路（小路的底是2米，高是10米，与菜地的高方向相同，从梯形的上底直通到下底），其余部分种菜。种菜部分的面积是多少平方米？
14. 小敏把一片银杏叶的轮廓描在了方格纸上，每个小方格的边长表示1厘米。她数出：占满整格的方格有18个，不满整格的方格有12个。按“不满一格的按半格计算”的方法，这片银杏叶的面积大约是多少平方厘米？
15. 学校把操场旁边的一块梯形空地改造成草坪，这块空地的上底是60米，下底是140米，高是80米。（1）草坪的面积是多少平方米？合多少公顷？（2）如果每公顷草坪每年大约吸收二氧化碳30吨，这块草坪一年大约能吸收多少吨二氧化碳？
参 考 答 案
第1题：500
【解析】1平方千米=100公顷，5×100=500。
第2题：30
【解析】1公顷=10000平方米，300000÷10000=30。
第3题：4
【解析】1平方千米=100公顷，400÷100=4。
第4题：40；36；15
【解析】（1）8×5=40（平方米）；（2）12×6÷2=36（平方厘米）；（3）（4+6）×3÷2=10×3÷2=15（平方厘米）。
第5题：6
【解析】底=面积÷高，36÷6=6（米）。
第6题：×
【解析】拼成平行四边形需要两个完全相同的三角形。面积相等只能说明大小相同，形状不一定相同，所以不一定能拼成。
第7题：√
【解析】推导三角形面积公式时，用两个完全相同的三角形拼成平行四边形，拼成的平行四边形的底和高与三角形相同，三角形面积是它的一半。
第8题：25
【解析】（4+6）×5÷2=10×5÷2=25（平方厘米）。
第9题：B
【解析】三角形面积=底×高÷2，8×6÷2=24（平方厘米）。选A是把÷2漏掉了，选C是把÷2算成了×2，选D是把底和高相加了。
第10题：C
【解析】上底增加2厘米变成6厘米，下底减少2厘米变成6厘米，上下底之和都是12厘米，高都是6厘米，所以面积不变：原梯形（4+8）×6÷2=36（平方厘米），新梯形（6+6）×6÷2=36（平方厘米）。
第11题：8米。96÷12=8（米），答：与这条底对应的高是8米。
【解析】已知面积和底求高，把公式倒过来：高=面积÷底，96÷12=8（米）。
第12题：示例：平行四边形画底5格、高2格；三角形画底5格、高2格；梯形画上底2格、下底4格、高2格。画法不唯一，只要面积符合要求即可。
【解析】画图前先想好底和高：平行四边形要满足底×高=10；三角形要满足底×高÷2=5，即底×高=10；梯形要满足（上底+下底）×高÷2=6。在方格纸上数格确定底和高，再连线。
第13题：140平方米。梯形面积：（12+20）×10÷2=160（平方米）；小路面积：2×10=20（平方米）；种菜面积：160-20=140（平方米）。答：种菜部分的面积是140平方米。
【解析】先算整块菜地的面积，再减去小路的面积，这是添补法中的求差；小路是底2米、高10米的平行四边形，面积=底×高。
第14题：24平方厘米。18+12÷2=18+6=24（平方厘米），答：这片银杏叶的面积大约是24平方厘米。
【解析】数格子估算：满格按1格算，不满格按半格算，再把两部分加起来。
第15题：8000平方米，合0.8公顷，一年大约能吸收24吨二氧化碳。梯形面积：（60+140）×80÷2=8000（平方米）；8000÷10000=0.8（公顷）；30×0.8=24（吨）。答：草坪面积是8000平方米，合0.8公顷，一年大约能吸收24吨二氧化碳。
【解析】先求梯形面积，再按1公顷=10000平方米把平方米换算成公顷；求总量用每份数×份数：30×0.8=24（吨）。图形
面积公式
怎样推导
易错提醒
平行四边形
底×高
沿高剪开，平移拼成长方形（出入相补）
底和高必须对应
三角形
底×高÷2
两个完全相同的三角形拼成平行四边形
÷2不能漏
梯形
（上底+下底）×高÷2
两个完全相同的梯形拼成平行四边形
先算上下底之和
单位关系
进率
记忆小窍门
1平方千米=100公顷
100
平方千米→公顷，数字×100
1公顷=10000平方米
10000
公顷→平方米，数字×10000
1平方千米=1000000平方米
1000000
平方千米→平方米，数字×1000000
分割方案
算式
面积
长方形+梯形
6×10+(6+8)×(14−10)2
88平方米
长方形+三角形
14×6+(8−6)×(14−10)2
88平方米