小学数学北师大版（2024）六年级上册（2024）第四单元 分数的应用整理与复习精品测试题

这是一份小学数学北师大版（2024）六年级上册（2024）第四单元 分数的应用整理与复习精品测试题，共2页。试卷主要包含了学习目标，重点，难点，知识要点，典型例题等内容，欢迎下载使用。
本课核心问题
怎样用比准确描述两个数量的关系？怎样求比值、化简比？又怎样判断两个比能否组成比例？
一、学习目标
1. 能完整说出本单元的知识结构：比的意义、求比值、化简比、比例，并用对照表区分它们的含义与结果形式
2. 能正确写出两个数量的比、求出比值并结合情境说出比值表示的意思；能把整数比、小数比、分数比（含连比）化成最简整数比
3. 能判断两个比能否组成比例，能在图形按比放大（缩小）的情境中写出比例，并能指出和纠正本单元五类典型错误
二、重点
• 比的意义、求比值与比值表示的意思
• 化简比与求比值的区别（结果形式）
• 比例的意义与判断方法（比值相等）
三、难点
• 化简比的结果仍是比、求比值的结果是数，二者写法不能混用；判断两个比能否组成比例要看比值是否相等
学习支架
比、比值、化简比、比例对照表
化简比与求比值：错例对照
前后项顺序：错例对照
四、知识要点
1. 比的意义与各部分名称
本单元我们学习了哪些内容？可以按“比的意义—求比值—化简比—比例”四个板块来回顾。比的意义：两个数相除，可以写成比。例如汽车 3 小时行驶 180 km，路程与时间的比写作 180 : 3。比的各部分名称：在比 180 : 3 中，“180”是前项，“3”是后项，“:”是比号。后项不能是 0（除以 0 没有意义）。比表示两个数量之间的倍数关系：180 : 3 表示路程是时间的 60 倍。比不是一个具体的量。写比的方法：先弄清“谁与谁的比”再下笔，前后项顺序不能颠倒；同类量相比（如时间与时间）单位要先统一。生活中的比：地图上的“比例尺 1 : 8000000”是图上距离与实际距离的比；把一条线段按黄金分割比（比值约为 0.618）分成两段，看起来更美观。
2. 求比值与比表示的意思
求比值：比的前项除以后项所得的商叫比值。例如 36 : 2 的比值是 36 ÷ 2 = 18；48 : 400 的比值是 48 ÷ 400 = 325 = 0.12。比值可以用整数、分数或小数表示。结合情境解释比表示什么意思：路程与时间的比，比值表示速度（平均每时行驶多少千米）；总产量与公顷数的比，比值表示平均每公顷的产量；油与大豆质量的比，比值表示出油率。求出比值后要回到情境，说出它表示什么。易错提醒：比值是一个“数”；化简比的结果仍是“比”，两者写法不能混用。
3. 比的化简
比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0 除外），比值不变。化简比：根据比的基本性质，把比化成最简整数比（前项、后项是互质的整数）。整数比：前后项同时除以它们的最大公因数。例如 12 : 36 = (12÷12) : (36÷12) = 1 : 3。小数比：先化成整数比再化简。例如 0.5 : 0.2，前后项同时乘 10 得 5 : 2。分数比：前后项同时乘分母的最小公倍数。例如 12:13 = ( 12 ×6) : ( 13 ×6) = 3 : 2。三个量的比（连比）也可以化简：例如 32 : 8 : 6 = 16 : 4 : 3。检验方法：化简后前项、后项除了 1 以外没有其他公因数。
4. 比例的意义与判断
比例的意义：表示两个比相等的式子叫做比例。例如 2 : 3 = 4 : 6 是一个比例，它表示 2 : 3 和 4 : 6 的比值相等。判断方法：分别求出两个比的比值，比值相等就能组成比例。2 : 3 的比值是 23，4 : 6 的比值也是 23，所以 2 : 3 和 4 : 6 能组成比例。图形按比放大或缩小：三角形、长方形按比放大（缩小）时，对应边的比相等，可以写出比例。例如长 12 cm、宽 8 cm 的长方形缩小为长 6 cm、宽 4 cm，可写 12 : 6 = 8 : 4。易错提醒：判断比例要看比值是否相等，不能只看数字表面。
5. 比例尺：生活中的比
问题银行里，有同学从地图上看到了一个比：“比例尺 1 : 8000000”，它是什么意思？比例尺是图上距离与实际距离的比。1 : 8000000 表示图上 1 cm 相当于实际 8000000 cm。单位换算：8000000 cm = 80000 m = 80 km，所以这幅地图上图上 1 cm 表示实际 80 km。写比例尺时要注意顺序：前项是图上距离，后项是实际距离，不能颠倒；最后按需要换算单位。
6. 黄金分割比（你知道吗）
把一条线段分为两段，如果较短的一段与较长的一段的比等于较长的一段与整条线段的比，比值约为 0.618，我们称这个比为黄金分割比。一般按照黄金分割比设计的图案会比较美观，黄金分割比被广泛应用于建筑、绘画等方面。我国数学家华罗庚曾致力于推广优选法中的“0.618 法”，把黄金分割比应用于生活实际及科学实验。应用：较长的一段 ≈ 整条线段 × 0.618。
7. 易错点辨析与典型错例对照
复习课最容易暴露以下五类错误，对照错例理解错因，再用正例纠正：① 比与比值混淆
错例：圆的直径与半径的比是 2。错因：把“比”和“比值”当成一回事。正例：直径与半径的比是 2 : 1，比值是 2——比表示两个数的关系（结果仍是比），比值是相除的结果（是一个数）。② 化简比与求比值混淆
错例：化简比 8 : 36 写成 8 : 36 = 29。错因：把化简比的结果写成数，丢了比号。正例：化简比 8 : 36 = 2 : 9；求比值才写 8 : 36 = 8 ÷ 36 = 29。③ 前后项颠倒
错例：长方形的宽是 6 cm、长是 10 cm，写成“宽与长的比是 10 : 6”。错因：没有按题目规定的顺序写比。正例：先说“宽”就先写宽，宽与长的比是 6 : 10 = 3 : 5。④ 单位不统一
错例：0.5 时与 45 分的比直接写成 0.5 : 45。错因：同类量相比，单位必须一致。正例：0.5 时 = 30 分，比是 30 : 45 = 2 : 3。⑤ 比例判断方法错用
错例：因为后项都是 3，就认为 2 : 3 和 4 : 3 能组成比例。错因：没有比较两个比的比值。正例：2 : 3 的比值是 23，4 : 3 的比值是 43，比值不相等，不能组成比例；判断比例要看比值是否相等。
五、典型例题
【例1】
一辆汽车 3 小时行驶 180 km。(1) 写出路程与时间的比；(2) 求出比值，并说明比值表示什么意思；(3) 时间与路程的比是多少？比值是多少？
【解答】(1) 路程与时间的比：180 : 3。(2) 比值：180 ÷ 3 = 60。比值 60 表示汽车平均每小时行驶 60 km，即行驶的速度。(3) 时间与路程的比：3 : 180。比值：3 ÷ 180 = 160，表示行驶 1 km 需要 160 小时（即 1 分钟）。注意：写比时先弄清“谁与谁的比”。路程与时间的比是 180 : 3，前后项顺序不能颠倒；颠倒后 3 : 180 表示的是时间与路程的比，意义完全不同。
【点拨】求比值就是前项除以后项；求出比值后要回到情境说明它表示什么。同类量相比时（如 3 : 180 同是“时与千米”之外的不同类量），按题目要求写清顺序即可。
【例2】
化简下面的比，并分别求比值：(1) 12 : 36 (2) 0.5 : 0.2 (3) 12:13
【解答】(1) 化简：12 : 36 = (12÷12) : (36÷12) = 1 : 3。求比值：12 ÷ 36 = 13。(2) 化简：0.5 : 0.2，前后项同时乘 10，得 5 : 2（5 和 2 互质，已是最简整数比）。求比值：0.5 ÷ 0.2 = 5 ÷ 2 = 2.5（或 52）。(3) 化简：12:13，前后项同时乘 6，得 3 : 2。求比值：12÷13=32（或 1.5）。对照结论：化简比的结果仍是比，如 1 : 3、5 : 2、3 : 2；求比值的结果是一个数，如 13、2.5、32。写法不能混用。
【点拨】小数比先化成整数比，分数比先乘分母的最小公倍数；化简后要检查前项、后项是否只有公因数 1。
【例3】
把长 12 cm、宽 8 cm 的长方形照片按比缩小，得到的长是 6 cm。(1) 缩小后长方形的宽是多少厘米？(2) 你能根据数据写出不同的比例吗？(3) 判断 6 : 4 和 12 : 8 能否组成比例。
【解答】(1) 缩小前后对应边成比：长从 12 cm 缩到 6 cm，缩小比是 12 : 6 = 2 : 1，即缩小到原来的 12。宽：8 ÷ 2 = 4（cm）。(2) 对应边的比相等，可以写出比例：12 : 6 = 8 : 4（比值都是 2）；12 : 8 = 6 : 4（比值都是 32）。(3) 6 : 4 的比值：6 ÷ 4 = 32；12 : 8 的比值：12 ÷ 8 = 32。比值相等，能组成比例：6 : 4 = 12 : 8（或 12 : 8 = 6 : 4）。判断比例的方法：分别求出两个比的比值，比值相等就能组成比例。写比例时也可以交换两个比的位置，只要比值相等。
【点拨】图形按比放大或缩小，对应边的比相等；判断两个比能否组成比例，就看比值是否相等。
同 步 练 习
★ 基础巩固
1. 根据信息写出比并求比值：(1) 一辆汽车 3 小时行驶 180 km，路程与时间的比是（________），比值是（________），比值表示（________）。(2) 图书角有故事书 24 本、科技书 16 本，故事书与科技书本数的比是（________），比值是（________）。
2. 一个圆的直径是 12 cm，半径是 6 cm，圆的直径与半径的比是（________），比值是（________）。
3. 把下面各比化成最简整数比：18 : 24 =（________） 0.4 : 0.25 =（________）
15 : 120 =（________） 3 : 0.6 =（________）
4. 化简下面各比：12:13 =（________） 12 : 8 : 20 =（________）
5. 比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。（ ）
6. 把比化成前项和后项都是整数的比，就是化简比。（ ）
7. 因为 2 : 3 和 4 : 6 的比值都是 23，所以 2 : 3 = 4 : 6 能组成比例。（ ）
8. 一个长方形的宽是 6 cm，长是 10 cm，宽与长的比是 10 : 6。（ ）
9. 地图上比例尺 1 : 8000000 表示图上 1 cm 相当于实际 80 km。（ ）
10. 求下面各比的比值：(1) 38:34 (2) 240 : 60 (3) 2.5 : 4
★★ 能力提升
11. 下面各比中，与 3 : 4 的比值相等的是（________）。
A. 4 : 3 B. 9 : 12
C. 12 : 9 D. 15 : 25
12. 下列哪组中的两个比能组成比例？（________）
A. 2 : 3 和 3 : 2
B. 1.2 : 2.4 和 5 : 10
C. 12:14 和 4 : 8
D. 0.5 : 1.5 和 6 : 3
13. 美术课上，小丽画一幅画用了 0.5 小时，小明画同样的画用了 45 分钟。小丽用的时间与小明用的时间的比是多少？比值是多少？
14. 科学课上，同学们记录了不同水温下金鱼 1 分钟内的呼吸次数，如下表：水温/°C：10 20 30
1分钟内的呼吸次数：20 30 40
(1) 把各温度下呼吸次数与水温的比写出来并化简：10°C 时（________），20°C 时（________），30°C 时（________）。(2) 写出你的发现。
15. 把长 10 cm、宽 6 cm 的相片按比放大，得到的长是 15 cm。(1) 放大后的宽是多少厘米？(2) 写出两组不同的比例。
★★★ 拓展延伸
16. 在一幅地图上，比例尺是 1 : 8000000，图上 3 cm 表示实际距离多少千米？
17. 用 2、4、6、12 这四个数组成不同的比例，你能写出几个？（至少写出 4 个）
18. 把一条长 16 cm 的丝带按黄金分割比分成两段，较长的一段大约是多少厘米？（黄金分割比约为 0.618）
参 考 答 案
第1题：(1) 180 : 3；60；平均每小时行驶 60 km（速度）。(2) 24 : 16；32（或 1.5）；故事书本数是科技书本数的 32 倍。
【解析】路程与时间的比是 180 : 3，比值 180 ÷ 3 = 60，表示速度；故事书与科技书的比是 24 : 16，比值 24 ÷ 16 = 32，表示故事书本数是科技书的 32 倍。写比时注意前后项顺序。[错因:方法]
第2题：2 : 1；2
【解析】直径 = 2 × 半径，所以直径与半径的比是 12 : 6 = 2 : 1，比值是 12 ÷ 6 = 2。注意：求“比”写 2 : 1，求“比值”写 2。[错因:理解]
第3题：3 : 4；8 : 5；1 : 8；5 : 1
【解析】18 : 24 前后项同除以 6 得 3 : 4；0.4 : 0.25 同乘 20 得 8 : 5；15 : 120 同除以 15 得 1 : 8；3 : 0.6 同乘 10 得 30 : 6，再除以 6 得 5 : 1。整数比除以最大公因数，小数比先化成整数比。[错因:方法]
第4题：3 : 2；3 : 2 : 5
【解析】12:13 前后项同时乘分母的最小公倍数 6，得 3 : 2；12 : 8 : 20 三个数同时除以最大公因数 4，得 3 : 2 : 5。连比化简时前项、后项、中项要同时除以相同的数。[错因:方法]
第5题：√
【解析】这是比的基本性质，化简比就依据这条性质。注意“相同的数”不能是 0。[错因:知识]
第6题：×
【解析】化简比的结果必须是最简整数比，前项、后项除了 1 以外没有其他公因数。例如 12 : 120 = 6 : 60 虽是整数比，但没有化简到底，应得 1 : 10。[错因:理解]
第7题：√
【解析】对：2:3 的比值是 23，4:6 的比值也是 23，比值相等，能组成比例；表示两个比相等的式子就是比例。[错因:理解]
第8题：×
【解析】题目问“宽与长的比”，先说“宽”就先写宽，正确的是 6 : 10 = 3 : 5。写比前先弄清“谁与谁的比”，前后项顺序不能颠倒。[错因:理解]
第9题：√
【解析】对：1:8000000 表示图上 1 cm 相当于实际 8000000 cm；8000000 cm = 80000 m = 80 km。[错因:知识]
第10题：12；4；0.625
【解析】(1) 38÷34=38×43=12；(2) 240 ÷ 60 = 4；(3) 2.5 ÷ 4 = 0.625。求比值用前项除以后项，结果可以是分数、整数或小数。[错因:计算]
第11题：B
【解析】3 : 4 的比值是 34。9 : 12 的比值是 9 ÷ 12 = 34，相等。A（4 : 3）和 C（12 : 9）都是 43，是前后项颠倒后得到的错误比值；D 的比值是 35。干扰项分别对应“前后项颠倒”和“比值算错”两类典型错误。[错因:方法]
第12题：B
【解析】1.2 : 2.4 的比值是 0.5，5 : 10 的比值也是 0.5，比值相等，能组成比例 1.2 : 2.4 = 5 : 10。A 两个比的比值分别是 23 和 32；C 分别是 2 和 12；D 分别是 13 和 2，都不相等。判断比例要看比值是否相等，不能只看数字表面。[错因:方法]
第13题：0.5 时 = 30 分，时间比是 30 : 45 = 2 : 3，比值是 23。
【解析】同类量相比单位要先统一：0.5 时 = 0.5 × 60 = 30 分。30 : 45 前后项同时除以 15 得 2 : 3；比值 30 ÷ 45 = 23。如果直接写 0.5 : 45，单位不统一，比就没有意义。[错因:方法]
第14题：(1) 20 : 10 = 2 : 1；30 : 20 = 3 : 2；40 : 30 = 4 : 3。(2) 水温越高，金鱼 1 分钟内的呼吸次数越多，呼吸越快。
【解析】(1) 各温度下呼吸次数与水温的比：20 : 10 化简为 2 : 1，30 : 20 化简为 3 : 2，40 : 30 化简为 4 : 3。(2) 观察数据：水温从 10°C 升到 30°C，呼吸次数从 20 次增加到 40 次，所以发现是“水温越高呼吸越快”。结论要回到数据来说。[错因:方法]
第15题：(1) 放大后的宽是 9 cm。放大比是 15 : 10 = 3 : 2，宽也按同样比放大：6 × 32 = 9（cm）。(2) 10 : 15 = 6 : 9（对应边成比例）；10 : 6 = 15 : 9。
【解析】放大前后对应边成比例：长从 10 cm 到 15 cm，放大比是 15 : 10 = 3 : 2；宽 6 cm 也乘 32 得 9 cm。写比例时注意对应关系：原长:新长 = 原宽:新宽，即 10 : 15 = 6 : 9；也可以写 10 : 6 = 15 : 9（原长:原宽 = 新长:新宽）。[错因:方法]
第16题：240 km。8000000 cm = 80 km，3 × 80 = 240（km）。
【解析】比例尺 1 : 8000000 表示图上 1 cm 相当于实际 8000000 cm。先把 8000000 cm 换算成 80 km，再乘图上距离：3 × 80 = 240 km。先理解比的含义，再换算单位，顺序不要搞反。[错因:方法]
第17题：先找比值相等的两组比：2 : 4 和 6 : 12 的比值都是 12；2 : 6 和 4 : 12 的比值都是 13。可写出 8 个：2 : 4 = 6 : 12、6 : 12 = 2 : 4、4 : 2 = 12 : 6、12 : 6 = 4 : 2、2 : 6 = 4 : 12、4 : 12 = 2 : 6、6 : 2 = 12 : 4、12 : 4 = 6 : 2。写出 4 个以上即可。
【解析】组成比例的关键是两组比比值相等。先配对：2 : 4 与 6 : 12（比值 12），2 : 6 与 4 : 12（比值 13）。每一组相等的比可以交换左右位置、交换内外项，得到 4 种写法，两组共 8 个。检验：2 × 12 = 4 × 6，交叉相乘的积相等，说明 2 : 4 = 6 : 12 成立。[错因:方法]
第18题：较长的一段 ≈ 16 × 0.618 = 9.888（cm）≈ 9.9 cm。
【解析】按黄金分割比，较长的一段与整条线段的比约为 0.618，所以较长的一段 ≈ 16 × 0.618 = 9.888 cm，约 9.9 cm。检验：9.9 ÷ 16 ≈ 0.619，接近 0.618，说明结果合理。黄金分割比是“较短:较长 = 较长:整条线段”比值约为 0.618 的特殊比例。[错因:计算]名称
例子
含义与写法
结果形式
比
180 : 3
表示路程与时间两个数量的关系
仍是比（前项 : 后项）
比值
180 ÷ 3 = 60
前项除以后项所得的商，表示速度
一个数（整数、分数或小数）
化简比
12 : 36 → 1 : 3
根据比的基本性质化成最简整数比
最简整数比（仍是比）
比例
2 : 3 = 4 : 6
表示两个比相等的式子
等式
错例
正例
化简比：8 : 36 = 29
（把化简比的结果写成了数，丢了比号）
化简比：8 : 36 = 2 : 9
求比值：8 : 36 = 8 ÷ 36 = 29
错例
正例
长方形的宽是 6 cm、长是 10 cm，宽与长的比是 10 : 6
（没按题目规定的顺序写比）
先说“宽”就先写宽：宽与长的比是 6 : 10，化简为 3 : 5
水温/°C
10
20
30
1分钟内的呼吸次数
20
30
40