初中数学北师大版（2024）九年级上册（2024）第三章 图形的相似3 相似三角形判定定理的证明同步训练题

这是一份初中数学北师大版（2024）九年级上册（2024）第三章 图形的相似3 相似三角形判定定理的证明同步训练题，共7页。
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc14892" 一.知识梳理解读 PAGEREF _Tc14892 \h 1
\l "_Tc18893" 【知识点一】平行线的基本事实 PAGEREF _Tc18893 \h 1
\l "_Tc17626" 【知识点二】平行线的基本事实的推论（1） PAGEREF _Tc17626 \h 2
\l "_Tc20310" 【知识点三】平行线的基本事实的推论（2） PAGEREF _Tc20310 \h 2
\l "_Tc4269" 二.题型精析（夯实基础） PAGEREF _Tc4269 \h 2
\l "_Tc28466" 【题型 1】由平行线的基本事实判断成比例的线段 PAGEREF _Tc28466 \h 2
\l "_Tc23859" 【题型 2】由平行线的基本事实求相关线段的长或比值 PAGEREF _Tc23859 \h 3
\l "_Tc25327" 【题型 3】利用平行判定相似 PAGEREF _Tc25327 \h 4
\l "_Tc23856" 三.题型精析（巩固提升） PAGEREF _Tc23856 \h 5
\l "_Tc7171" 【题型 4】利用平行线的基本事实证明 PAGEREF _Tc7171 \h 6
\l "_Tc9974" 【题型 5】构造平行线求值或证明 PAGEREF _Tc9974 \h 7
\l "_Tc32582" 四.同步检测 PAGEREF _Tc32582 \h 8
\l "_Tc23693" （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） PAGEREF _Tc23693 \h 8
\l "_Tc23814" （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） PAGEREF _Tc23814 \h 10
\l "_Tc29151" （三）解答题（本大题共6小题，共58分） PAGEREF _Tc29151 \h 12
一.知识梳理解读
【知识点一】平行线的基本事实
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。
【知识点二】平行线的基本事实的推论（1）
平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例。
【知识点三】平行线的基本事实的推论（2）
平行于三角形一边的直线截得的三角形与原三角形相似。
二.题型精析（夯实基础）
【题型 1】由平行线的基本事实判断成比例的线段
【例题1】（25-26九年级上·湖南郴州·期中）如图，，下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【变式1】（25-26九年级上·上海·阶段检测）已知，求作，则下列作图正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式2】（25-26九年级上·甘肃张掖·阶段检测）如图，在中，交于点，交于点，下列式子中，不成立的是（ ）
A．B．C．D．
【变式3】（24-25九年级上·河北邯郸·期末）如下是嘉嘉的作业，其中括号内应填的内容是（ ）
嘉嘉的作业：
∵，
∴
A．B．C．D．
【题型 2】由平行线的基本事实求相关线段的长或比值
【例题2】（25-26九年级上·广西崇左·阶段检测）已知：如图，，，求的长．
【变式1】（2026·江苏泰州·二模）如图1是花架实物图，图2是其对应的侧面示意图，已知，，，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（25-26九年级上·上海青浦·期末）如图，已知，，，________．
【变式3】（25-26九年级上·上海·课后作业）如图，在中，，交于，交于，为上的一点，交于，，，求：
（1）；
（2）的长．
【题型 3】利用平行判定相似
【例题3】（25-26九年级上·广东佛山·期末）如图，在中，点D，E，F分别在，，边上，，．
（1）求证：．
（2）若，，求的长．
【变式1】（25-26九年级上·广东河源·阶段检测）为了测量某条河流的宽度，小佳分别在河岸两边选定点，并且分别在的延长线上取点，使得，经测量，，，且点到河岸的距离为，则河宽为（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（25-26九年级上·四川广元·阶段检测）如图，在中，点，分别在，上，，若，，则_____．
【变式3】（25-26九年级上·北京延庆·期中）下面是相似三角形的判定定理：
请你完成此定理的证明过程．
三.题型精析（巩固提升）
【题型 4】利用平行线的基本事实证明
【例题4】（24-25九年级上·上海·期中）如图，中，点D在边上，，．
求证：．

【变式1】（25-26八年级下·上海·期中）如图，在中，点、分别在、的反向延长线上，已知，，下列结论正确的是（ ）．

A．B．C．D．
【变式2】（25-26九年级下·江苏扬州·阶段检测）如图，梯形中，过对角线的交点，且，则长为______．
【变式3】（25-26九年级上·陕西榆林·阶段检测）如图，在中，点，分别在边，上，连接，且，点在上，且．
（1）试说明；
（2）若，求证：．
【题型 5】构造平行线求值或证明
【例题5】（25-26九年级上·山东·期末）如图，直线，一等腰直角三角形的三个顶点，，分别在，，上，，交于点D，已知与的距离为，与的距离为，求的值．
【变式1】（2026·广东清远·二模）如图，矩形的四个顶点分别在直线，，，上．若直线且间距相等，交直线于点，，，则的值为（ ）

A．B．C．D．
【变式2】（2026·北京密云·一模）如图，在正方形中，和相交于点，点为线段的中点，连接并延长交于点．若，则的长为_____．

【变式3】（25-26九年级上·山东菏泽·期中）如图，已知是等腰三角形中，，，是的中点，于点，、的延长线交于点．求的长．

四.同步检测
（一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分）
1．（24-25九年级上·湖南邵阳·期末）如图，在中，，，则的长为（ ）
A．6B．7C．8D．9
2．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在中，点，分别在，上，且，以下结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（25-26九年级下·河南南阳·期中）如图，已知，与相交于点．若，，则的长为（ ）
A．1B．2C．D．3
4．（25-26八年级下·吉林·期中）如图，直线分别交直线于点，已知，，则的长是（ ）
A．3B．4C．6D．9
5．（2026·陕西汉中·二模）如图是一张书法练习纸，练习纸中的竖格线都平行，且相邻两条竖格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A、B、C都在竖格线上．若线段，则线段的长为（ ）
A．B．C．D．
6．（25-26九年级上·河南郑州·期中）如图，，则的长为（ ）
A．B．C．D．
7．（25-26九年级上·江西上饶·期末）如图，在中，点，分别在边，的延长线上，且，若，，则的值是（ ）
A．B．C．D．
8．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，由顶点A射出两条射线，过点E作线段，作的平行线，作的平行线．已知，则（ ）
A．B．C．D．
9．（2025·重庆·模拟预测）如图，在正方形中，，分别是，上的点（不与点，重合），，与交于点，取的中点，连接，，则的值为（ ）

A．B．C．D．
10．（2026·四川广元·二模）如图，在平面直角坐标系中，，点，．为的中点，连接．把线段沿射线平移至，使点落在轴上，则四边形的面积是（ ）
A．B．C．D．
填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（2026·吉林·中考真题）如图，在中，，点为边上一点，，．以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接．若，则__________．
12．（25-26九年级下·云南曲靖·期中）在中，点D、E分别在、上，，，，，则的长为______．
13．（25-26九年级上·四川成都·期末）如图，两条直线被三条平行线所截，已知，则的长是___________．
14．（2026·上海虹口·一模）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都相等，点、、、都在格点上，连接、交于点，那么的值是___________．
15．（25-26九年级上·湖南衡阳·期中）如图，是的中线，E是上一点，，的延长线交于点F，若，则________．
16．（2026·湖南邵阳·三模）如图，在中，，，，分别以点和点为圆心、大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线交于点，连接，则的长是________．
17．（2026·辽宁铁岭·三模）如图，在菱形中，对角线与相交于点，点在线段上，，点为的中点，点在线段上，且，则的长为___________．
18．（2026·浙江杭州·模拟预测）如图，在中，，，则的值为______．
（三）解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（本小题满分8分）（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，在中，是上的一点，请利用无刻度的直尺和圆规在上作一点，使得．（不写作法，保留作图痕迹，并标明字母）
20．（本小题满分8分）（25-26九年级上·广东河源·期末）如图，，如果，求线段的长．
21．（本小题满分10分）（25-26九年级上·安徽合肥·期末）已知：如图，在中，D为的中点，E为上的一点，延长线交延长线于点F，求证：．
22．（本小题满分10分）（26-27九年级·浙江·暑假作业）如图，在中，延长至点D，使，在上取一点F，连接交于点E，过F点作交于点H，已知， 2．
（1）________；
（2）求的长．
23．（本小题满分10分）（25-26九年级上·江西吉安·期中）如图，已知在中，，，，．
（1）求的长；
（2）当时，求的长
24．（本小题满分12分）（25-26九年级上·辽宁锦州·阶段检测）在中，点在边上，点在边上，与交于点．
（1）如图1，点是中点，点是中点，交于点，求证：；
（2）如图2，若，，求的值．
基本事实
图示
几何语言
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
,
基本事实
图示
几何语言
平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例
基本事实
图示
几何语言
平行于三角形一边的直线截得的三角形与原三角形相似
相似三角形的判定定理：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．
已知：如图，在和中，，．
求证：．