北师大版（2024）五年级上册（2024）探索内角和的奥秘优秀课时练习

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本课核心问题
四边形的内角和是多少度？不用量角器也能证明它吗？这个办法还能帮我们算出五边形、六边形的内角和吗？
一、学习目标
1. 能用测量、撕拼等方法验证四边形内角和是360°，知道形状不同的四边形内角和相同
2. 能根据三角形内角和是180°，用“把四边形分成两个三角形”的方法推算出四边形内角和是360°
3. 能把转化的方法迁移到五边形、六边形内角和的探索中，发现并说明“分成的三角形个数比边数少2”的规律
二、重点
• 四边形内角和是360°，能用测量、撕拼、转化等方法验证
• 转化思想：根据三角形内角和是180°，把要研究的图形转化为三角形
三、难点
• 理解分割时三角形要不重不漏，并能说明“分成的三角形个数比边数少2”这一规律是怎样通过操作发现的
学习支架
探究四边形内角和的流程
1. 阅读理解：四边形内角和是否一样呢
2. 制订计划：量一量、撕一撕、连一连
3. 解决问题：用多种方法验证内角和
4. 回顾反思：把要研究的图形转化为三角形
把四边形分成两个三角形
多边形内角和探究记录表
四、知识要点
1. 四边形的内角和是360°
生活中有各种各样的四边形，它们的形状不同，角的大小也各不相同，那么它们的内角和是否一样呢？经过研究我们发现：不管四边形的形状怎样变化，它的内角和都一样，都是360°。验证方法有很多，常用的有三种：（1）测量法：像研究三角形内角和一样，先准备一些四边形，量出每一个内角的度数，再把它们加起来。比如量得一个四边形的四个内角分别是100°、95°、90°和75°，相加得到360°。（2）撕拼法：把四边形的四个内角撕下来，拼在一起，正好拼成一个周角。周角是360°，所以四个内角的和是360°。（3）转化法：把四边形变成三角形来研究（见KP-3）。关键结论：四边形的内角和是360°。形状不同的四边形，内角和相同。
2. 从特殊到一般的研究思路
可以从长方形、正方形这些特殊的四边形开始研究。长方形、正方形的四个内角都是直角（90°），所以：长方形内角和＝90°＋90°＋90°＋90°＝360°
正方形内角和＝90°＋90°＋90°＋90°＝360°
由特殊的四边形先得到“内角和是360°”的猜想，再用形状不同的一般四边形去验证：量一量、撕一撕、连一连，结果都是360°，猜想就得到了验证。关键结论：长方形、正方形的内角和都是360°；先研究特殊图形得到猜想，再用一般图形验证，是研究图形的重要思路。
3. 转化思想：把要研究的图形转化为三角形
根据三角形内角和是180°，可以把要研究的图形转化为三角形。例如研究四边形内角和时：第一步：连接四边形的一条对角线（连接两个不相邻顶点的线段），如连接AC；第二步：四边形被分成了两个三角形；第三步：四边形的内角和＝两个三角形的内角和之和＝180°＋180°＝360°。想一想：为什么连接对角线就能算出内角和？因为四边形四个角的和，正好被对角线分成两个三角形六个角的和，而这六个角中每一个都对应四边形的一个内角，一个不多、一个不少，所以三角形分割必须不重不漏。关键结论：三角形内角和是180°，四边形内角和是180°×2＝360°。“转化”就是遇到新图形时，把它变成学过的图形来研究。
4. 方法迁移：探索五边形、六边形的内角和
研究四边形内角和的方法给了我们启发：遇到不会算内角和的图形，就想办法把它转化为三角形。试一试：五边形：从同一个顶点出发连对角线，可以把五边形分成3个三角形，内角和＝180°×3＝540°。六边形：从同一个顶点出发连对角线，可以把六边形分成4个三角形，内角和＝180°×4＝720°。连线时要记住：从同一个顶点出发，向其余不相邻的顶点连线，这样分出的三角形不重不漏，也不会交叉。观察发现：三角形能分成1个三角形，四边形能分成2个，五边形分成3个，六边形分成4个——分成的三角形个数正好比图形的边数少2。关键结论：多边形分成的三角形个数＝边数－2，内角和＝三角形个数×180°。这一规律是本课通过动手操作发现的，重在理解“为什么”，而不是死记公式。
五、典型例题
【例1】
长方形和正方形的四个角有什么共同特点？请分别算出它们的内角和，并说说你的想法。
【例2】
小刚任意画了一个四边形，他想知道它的内角和是多少度，可是量角器找不到了。你能不用量角器帮他想办法吗？请用两种不同的方法验证。
【例3】
一个四边形中，∠A＝80°，∠B＝90°，∠C＝110°，∠D是多少度？
同 步 练 习
多边形内角和探究记录表（请填写）
★ 基础巩固
1. 长方形有四个角，每个角都是（________）°，四个内角的和是（________）°。
2. 把四边形的四个内角撕下来，拼在一起，正好拼成一个（________）角，这个角是（________）°，所以四边形内角和是360°。
3. 如下图，把四边形ABCD沿对角线AC分成两个三角形。每个三角形的内角和是（________）°，四边形ABCD的内角和是（________）°。
四边形ABCD沿对角线AC分割
4. 一个四边形，量得其中三个内角分别是100°、110°和95°，第四个内角是（________）°。
5. 形状不同的四边形，内角和也不相同。（________）（ ）
6. 正方形的四个角都是90°，它的内角和是360°。（________）（ ）
7. 把四边形沿一条对角线分成两个三角形，根据三角形内角和是180°，可以推算出四边形内角和是360°。（________）（ ）
8. 研究四边形内角和时，可以从长方形、正方形这些特殊的四边形开始。（________）（ ）
★★ 能力提升
9. 关于四边形的内角和，下面说法正确的是（________）。
A. 只有长方形、正方形的内角和是360°
B. 形状不同的四边形，内角和可能不同
C. 任意四边形的内角和都是360°
D. 四边形的内角和是180°
10. 小红在做四边形风筝的骨架，她量出其中三个内角分别是95°、120°和85°，第四个内角是多少度？
11. 不用量角器，请用两种不同的方法说明：任意四边形的内角和都是360°。（可以画一画、写一写）
12. 如下图，从五边形的一个顶点出发连对角线，把五边形分成了（________）个三角形，五边形的内角和是（________）°。
从同一个顶点出发分割五边形
A. 2个，360° B. 3个，540°
C. 4个，720° D. 2个，540°
★★★ 拓展延伸
13. 探索六边形的内角和：像研究四边形、五边形那样，从同一个顶点出发连对角线，把六边形分成几个三角形？六边形的内角和是多少度？（先画一画，再算一算）
从同一个顶点出发分割六边形
14. 把下面的表格补充完整（三角形已填好），然后说一说：把多边形分成三角形的个数和它的边数有什么关系？三角形：3条边，分成1个三角形，内角和180°；四边形：4条边；五边形：5条边；六边形：6条边。
多边形内角和探究记录表
15. 乐乐画了一个多边形，她从同一个顶点出发连线，把多边形分成了6个三角形。这个多边形有几条边？它的内角和是多少度？
图形
边数
分成的三角形个数
内角和(°)
三角形
3
1
180
四边形
4
2
360
五边形
5
3
540
六边形
6
4
720
图形
边数
分成的三角形个数
内角和(°)
图形
边数
分成的三角形个数
内角和(°)