小学数学北师大版（2024）五年级上册（2024）探索三角形内角和精品第2课时复习练习题

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本课核心问题
怎样让人相信任意三角形的内角和都是180°？
一、学习目标
1. 通过量一量、算一算的探索活动，发现并理解三角形三个内角的和等于180°
2. 会用撕一撕、拼一拼的方法验证三角形内角和是180°，知道测量会有误差，量角操作要规范
3. 能根据三角形内角和求出未知角的度数，并正确判断三角形是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形
4. 能用三角形内角和推算四边形内角和，并说明一个三角形中最多只有1个直角、1个钝角
二、重点
• 三角形三个内角的和等于180°
• 用内角和求未知角、判断三角形的类型
三、难点
• 理解测量误差与结论的关系：测量结果接近180°不能否定内角和等于180°，结论需要用剪拼验证
• 用内角和进行推理：推算四边形内角和、说明三角形中不能有两个直角或两个钝角
学习支架
图形特征对比表
班级测量记录表（示例）
三角形内角和示意图
三个角拼成一个平角
两个三角板拼成一个四边形
求未知角的易错对比
四、知识要点
1. 三角形的内角和
三角形的“内角”指三角形内部的三个角。我们先动手探索：每人从附页1中选一个三角形，用量角器量出三个内角的度数，填在小组活动记录表里，再算出三个内角的和。测量要认真，要实事求是。小组交流时你会发现：有的三角形三个角是40°、60°、80°，和是180°；有的是90°、45°、45°，和还是180°；有的是30°、35°、115°，和仍然是180°。不同形状、不同大小的三角形，三个内角的和都接近180°。关键结论：三角形三个内角的和等于180°。这与三角形的大小、形状都无关——课始插图里的大三角形说“三个内角的和一定比你大”，其实不对：大小三角形的内角和一样，都是180°。
2. 验证与测量误差
测量得到的结果一般会有误差，所以还需要更可靠的方法来验证“内角和等于180°”。剪拼验证的可执行操作：第一步，把三角形的三个内角分别撕下来（或剪下来），注意保持角的大小不变；第二步，把三个角的顶点拼在一起，让三个角依次紧挨着摆放；第三步，观察：三个角正好拼成一个平角，而平角等于180°。关键结论：三个角能拼成一个平角，说明三角形内角和等于180°。量角时要注意：量角器的中心与角的顶点重合，0°刻度线与角的一条边重合，再看另一条边所对的刻度。同一个三角形，不同同学量出的内角和可能不一样（如179°、181°），这是测量误差造成的，都在180°左右；如果算出的和与180°相差很大，还要检查是不是算错了。
3. 求未知角与判断三角形类型
知道了三角形内角和是180°，就能算出被遮住的角：未知角＝180°－两个已知角的和。例如：一个三角形中两个角分别是60°和40°，被遮住的角＝180°−60°−40°＝80°。求出三个角后，可以按角给三角形分类：三个角都小于90°——锐角三角形；有一个角是90°——直角三角形；有一个角大于90°——钝角三角形。特别地，等边三角形的每个角都是60°。但只知道一个角是60°，并不能确定是等边三角形：另外两个角的和是180°−60°＝120°，可能是50°和70°（锐角三角形），也可能是100°和20°（钝角三角形），还可能是两个60°（等边三角形）。
4. 内角和的应用
三角形内角和还能帮助我们解决更多问题。用三角板拼四边形：用两副完全相同的三角板拼出一个四边形和一个三角形。拼成的四边形由2个三角形拼成，内角和＝180°＋180°＝360°；拼成的三角形内角和仍然是180°。剪长方形纸：把一张长方形纸沿对角线剪开，得到两个三角形，每个三角形的内角和都是180°。想一想极端情况：一个三角形中能有两个直角吗？两个直角已经占满180°，第三个角只能是0°，不可能。能有两个钝角吗？两个钝角的和已经大于180°，更不可能。所以一个三角形中最多只有1个直角、1个钝角。
五、典型例题
【例1】
例1（求未知角，见“三角形内角和示意图”）：下图三角形中，∠1＝60°，∠2＝40°，∠3被遮住了。∠3是多少度？这个三角形按角分类是什么三角形？
三角形内角和示意图（∠3被遮住）
【解答】第一步，回忆结论：三角形内角和等于180°。第二步，列式：∠3＝180°−60°−40°。第三步，计算：180°−60°＝120°，120°−40°＝80°，所以∠3＝80°。第四步，判断：三个角分别是60°、40°、80°，都小于90°，所以它是锐角三角形。
【点拨】求被遮住的角，就是“用180°减去两个已知角的和”，可以先加后减：180°−（60°＋40°）＝80°。常见错误是只减去一个角（如180°−60°＋40°），见“求未知角的易错对比”。判断类型时看每个角的大小，三个角都是锐角才是锐角三角形。
【例2】
例2（剪拼验证，见“三个角拼成一个平角”）：有什么方法能验证“三角形内角和等于180°”？请你用撕一撕、拼一拼的方法验证，并说一说其中的道理。
【解答】第一步，把三角形三个内角分别撕下来，保持每个角的大小不变；第二步，把三个角的顶点拼在一点，让三个角依次紧挨着摆放（如右图）；第三步，观察：三个角的外边正好在同一条直线上，拼成了一个平角。因为平角等于180°，所以三角形三个内角的和等于180°。
【点拨】撕、拼的关键是“顶点重合、依次摆放、边相接成一条直线”。用拼成的平角验证180°，比测量更可靠——量角器读数总会有一点点误差，而拼成一个平角是直观可见的事实。
【例3】
例3（拼图推理，见“两个三角板拼成一个四边形”）：用两副完全相同的三角板分别拼出一个四边形和一个三角形。想一想：拼成的四边形内角和是多少度？拼成的三角形内角和又是多少度？
【解答】第一步，明确每块三角板都是一个三角形，每个三角形的内角和都是180°；第二步，拼成的四边形由2个三角形拼成，四边形内角和＝180°＋180°＝360°；第三步，拼成的三角形虽然比原来大，但它仍然是三角形，内角和还是180°。也可以用量角器量一量拼成的四边形四个角的度数验证，和大约是360°。
【点拨】把四边形“看成两个三角形拼成的”，就用已经学过的三角形内角和推出了四边形内角和，这就是“转化”的想法：新图形的内角和＝拼成它的三角形内角和之和。
同 步 练 习
★ 基础巩固
1. 三角形的三个内角的和是（________）°。
2. 等边三角形的每个内角都是（________）°。
3. 在一个三角形中，∠1＝75°，∠2＝45°，∠3＝（________）°。
4. 任意一个三角形的内角和都是180°。（ ）
5. 大三角形的三个内角的和一定比小三角形大。（ ）
6. 一个三角形中有两个角都是锐角，那么第三个角一定是锐角。（ ）
7. 一个三角形中，∠1＝48°，∠2＝67°，求∠3的度数。
8. 用量角器量角时，量角器的中心要与角的（________）重合，0°刻度线要与角的一条（________）重合。
★★ 能力提升
9. 一个三角形中最大的角是92°，这个三角形是（________）。
A. 锐角三角形 B. 直角三角形
C. 钝角三角形 D. 等边三角形
10. 手工课上，小丽要制作一面三角形彩旗，她量出其中两个角分别是42°和48°。第三个角是多少度？这面彩旗按角分类是什么三角形？
11. 四个小组分别测量同一个三角形模型的三个内角，记录如下表。他们的测量结果一样吗？你认为这是什么原因造成的？哪个组的结果最接近真实值？
四个小组的测量记录
12. 任意画一个三角形，量出三个内角的度数，算一算它们的和，再判断它是什么三角形。操作说明：①在练习本上任意画一个三角形；②用量角器分别量出三个内角的度数并记录下来；③计算三个角的和，与180°比较；④按最大角判断三角形类型。
★★★ 拓展延伸
13. 航模小组用三根木条围一个三角形支架，小刚说：“三角形里最多只能有一个直角。”你同意吗？一个三角形中最多有几个直角？最多有几个钝角？请用内角和的知识说明理由。
14. 将一张长方形纸沿一条对角线剪开，得到两个三角形。（1）每个三角形的内角和是多少度？（2）把一个三角形旋转后与另一个三角形拼成一个四边形，这个四边形的内角和是多少度？
15. 妈妈买了一个三角形的蛋糕，小美量出一个角是60°，她高兴地说：“那一定是等边三角形。”小美说得对吗？另两个角的度数和是多少？请举例说明。
参 考 答 案
第1题：180
【解析】直接应用结论：任意三角形的内角和都是180°，与三角形的大小、形状无关。[错因:知识]
第2题：60
【解析】等边三角形三个角相等，180°÷3＝60°。[错因:知识]
第3题：60
【解析】∠3＝180°−75°−45°＝60°。[错因:计算]
第4题：√
【解析】正确。三角形内角和恒为180°，与大小、形状无关。
第5题：×
【解析】错误。三角形内角和与大小无关，大小三角形的内角和都是180°。[错因:理解]
第6题：×
【解析】错误。反例：两个角都是30°，第三个角是180°−30°−30°＝120°，是钝角。[错因:理解]
第7题：65
【解析】∠3＝180°−48°−67°＝65°。[错因:计算]
第8题：顶点；边
【解析】量角的两个要点：中心对顶点、0°刻度线对一边，再看另一条边所对的刻度。[错因:方法]
第9题：C
【解析】判断按角分类看最大角：92°大于90°，是钝角，所以是钝角三角形。[错因:方法]
第10题：90°。第三个角＝180°−42°−48°＝90°，是直角，所以这面彩旗是直角三角形。
【解析】内角和恒为180°，第三个角＝180°−（42°＋48°）＝90°；有一个角是直角，就是直角三角形。[错因:计算]
第11题：180°。四组的结果不同（181°、179°、180°、179°），是因为测量存在误差，但结果都接近180°；三组的结果正好是180°，最接近真实值。
【解析】同一三角形的内角和是确定的180°，测量时读数有偏差导致结果不同，这就是“测量有误差”；结果都在180°左右，说明真实值就是180°。[错因:理解]
第12题：三个内角的和约等于180°（测量可能有一两度的误差）；按最大角判断：三个角都小于90°是锐角三角形，有一个角是90°是直角三角形，有一个角大于90°是钝角三角形。
【解析】操作要点：量角器中心对准顶点、0°刻度线对准一条边再读数；结果不正好是180°不必改数据，说明测量有误差。
第13题：最多有1个直角，最多有1个钝角。理由：如果有2个直角，90°＋90°＝180°，第三个角只能是0°，不可能构成三角形；如果有2个钝角，两个钝角的和已经大于180°，更不可能。所以三角形中最多有1个直角、1个钝角。
【解析】这是内角和的极端情况推理：两个直角或两个钝角都会把180°用完甚至超过，第三个角无法存在，所以“最多一个直角、最多一个钝角”。[错因:推理]
第14题：180°；360°。（1）剪开的每个三角形内角和都是180°；（2）四边形由两个三角形拼成，内角和＝180°＋180°＝360°。
【解析】剪拼操作：沿长方形的一条对角线剪一刀，得到两个三角形；把一个三角形绕剪痕端点旋转后与另一个拼合，可以拼成平行四边形。四边形被看成“两个三角形拼成的”，内角和就是两个180°相加。[错因:方法]
第15题：120°。小美说得不对：另两个角的和是120°，可以是两个60°（等边三角形），也可以是一个100°和一个20°（钝角三角形），或者一个50°和一个70°（锐角三角形），所以不能确定一定是等边三角形。
【解析】内角和180°，另两角和＝180°−60°＝120°；只知道一个角是60°，三角形的形状不唯一。[错因:理解]图形
内角特点
内角和
锐角三角形
三个角都小于90°
180°
直角三角形
有一个角是90°
180°
钝角三角形
有一个角大于90°
180°
四边形
可由两个三角形拼成
360°
小组
三个内角的度数
三个内角的和
一组
40°、60°、81°
181°
二组
39°、60°、80°
179°
三组
40°、60°、80°
180°
四组
40°、59°、80°
179°
错误做法
正确做法
180°−60°＋40°＝160°（少减一个已知角）
180°−60°−40°＝80°，或先算60°＋40°＝100°，再用180°−100°＝80°
小组
三个内角的度数
三个内角的和
一组
40°、60°、81°
181°
二组
39°、60°、80°
179°
三组
40°、60°、80°
180°
四组
40°、59°、80°
179°