小学数学第二单元 三角形的再认识探索三角形三边关系精品测试题

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本课核心问题
怎样长度的三条线段可以围成三角形？怎样判断又快又准？
一、学习目标
1. 能说出“三角形任意两边之和大于第三边”，并用它判断三条线段能否围成三角形
2. 能只比较两条短边之和与最长边，快速判断能否围成三角形，并举出实例说明理由
3. 已知三角形两条边的长度，能求出第三条边的取值范围，并列出取整厘米数时的可能取值
4. 能按步骤用尺规作出给定三边的三角形，或说明作不出来的原因
二、重点
• 三角形任意两边之和大于第三边
• 用两条短边之和与最长边比较，快速判断三条线段能否围成三角形
三、难点
• 理解“任意”与“大于”的严格含义：只检验一组两边之和不够，两边之和等于第三边也不能围成三角形
学习支架
三边长度判断表
三边分别为 2cm、3cm、4cm 的三角形
第三边长度范围（例2：两条边分别为 4cm 和 9cm）
判断三条线段能否围成三角形的步骤
1. 找出最长的那条线段
2. 把两条短边相加
3. 与最长边比较：大于则能围成，等于或小于则不能
4. 下结论
四、知识要点
1. 三角形任意两边之和大于第三边
把三条线段首尾相接，能不能围成一个三角形，取决于它们的长度。妙想用同一组线段反复尝试：第三条边太短，画不成；太长，也画不成；只有不长不短才画得成。关键结论：三角形任意两边之和大于第三边。这里的“任意”很重要：三条边中随便拿出两条相加，和都必须大于第三条边，一次也不能例外；“大于”严格不含“等于”，两条短边之和恰好等于最长边时，三条线段首尾相接会重合在一条直线上，围不成三角形。能围成与不能围成的对比：① 2cm、3cm、4cm：2+3>4，能围成；② 4cm、6cm、10cm：4+6=10，恰好等于，不能围成；③ 3cm、4cm、8cm：3+4c 成立，那么 a+c>b、b+c>a 显然也成立——因为右边的 b 和 a 比 c 小，和只会更大。所以“任意两边之和大于第三边”自动满足。判断流程：先找出最长边，再把两条短边相加与它比较。结果是“大于”就能围成，“等于”或“小于”都不能围成。注意：只检验其中一组两边之和是不够的。例如 3cm、4cm、8cm 三根小棒，3+8>4 成立，但两条短边 3+4=7n），第三条边 c 必须同时满足：① cm-n：否则第三边和较短的边 n 合起来仍然够不着最长边 m。合起来就是：两边之差 < 第三边 < 两边之和。例如教材练一练第6题：三角形两条边的长分别是 5cm 和 8cm，第三条边必须大于 8-5=3cm，小于 5+8=13cm。如果取整厘米数，4cm 到 12cm 都可以。
4. 用尺规作三角形并验证
上学期我们已经会用尺规作等边三角形和等腰三角形。本课用尺规作三角形，还能顺便验证三条线段能否围成三角形。作图步骤（以三边分别为 2cm、3cm、4cm 为例）：第一步：画一条射线，用圆规量取 4cm，在射线上从端点 A 起截取线段 AB=4cm；第二步：以 A 为圆心、3cm 为半径画弧，再以 B 为圆心、2cm 为半径画弧，两条弧在 AB 同侧交于点 C；第三步：连接 AC、BC，三角形 ABC 就是所求的三角形。两条弧能相交，是因为 2+3>4，两个圆的半径之和大于两圆心的距离；如果两条短边之和等于或小于第三边，两条弧将相切或不相交，三角形就作不出来。这与“任意两边之和大于第三边”的判断结果完全一致。
五、典型例题
【例1】
判断下面三组线段能否围成三角形，并说明理由。（1）3cm、4cm、8cm
（2）4cm、6cm、10cm
（3）5cm、6cm、10cm
【解答】（1）两条短边是 3cm 和 4cm，3+4=7，710，两条短边之和大于最长边，能围成三角形。
【点拨】先找出最长边，只把两条短边相加与它比较即可，不必检验三组。“等于”和“小于”一样都不能围成，只有“大于”才行。
【例2】
一个三角形两条边的长分别是 4cm 和 9cm，第三条边的长取整厘米数，可以是哪些？
【解答】第一步，第三条边不能太长：4+9=13（cm），第三边必须小于 13cm。第二步，第三条边不能太短：9-4=5（cm），第三边必须大于 5cm。第三步，合起来：第三边大于 5cm 且小于 13cm。第四步，取整厘米数：6cm、7cm、8cm、9cm、10cm、11cm、12cm。检验边界：取 6cm 时，4+6=10>9，能围成；取 12cm 时，4+9=13>12，能围成；而取 5cm 时 4+5=9 等于、取 13cm 时 4+9=13 等于，都不行。
【点拨】把“不能太长、不能太短”两个方向分别算出来：小于两边之和、大于两边之差。边界上的数恰好使三条线段成一条直线，要排除。
【例3】
用尺规作一个三角形，使它的三条边分别长 2cm、3cm、4cm。
【解答】第一步：画一条射线，用圆规量取 4cm 的长度，在射线上从端点 A 起截取线段 AB=4cm，以 AB 作为三角形最长的一条边。第二步：用圆规量取 3cm，以 A 为圆心画弧；再用圆规量取 2cm，以 B 为圆心画弧。两条弧在 AB 上方交于点 C。第三步：连接 AC、BC。三角形 ABC 就是所求的三角形，其中 AB=4cm、AC=3cm、BC=2cm。因为 2+3=5>4，以 A、B 为圆心的两段弧一定能相交；如果换一组两条短边之和小于或等于最长边的线段，两条弧就不会相交，三角形作不出来。
【点拨】两条弧是否相交，就是三条线段能否围成三角形的“几何答案”。作完图后，可以用刻度尺量一量三条边，验证与题目数据一致。
同 步 练 习
判断三条线段能否围成三角形的步骤
1. 找出最长的那条线段
2. 把两条短边相加
3. 与最长边比较：大于则能围成，等于或小于则不能
4. 下结论
★ 基础巩固
1. 用三根长度分别为 3cm、4cm、8cm 的小棒能围成一个三角形。（ ）
2. 用三根长度分别为 6cm、6cm、12cm 的小棒能围成一个三角形。（ ）
3. 判断三条线段能否围成三角形时，只要两条短边之和大于第三条边就可以了。（ ）
4. “三角形任意两边之和大于第三边”中的“任意”两个字可以省略，不影响意思。（ ）
5. 一个三角形两条边的长分别是 4cm 和 7cm，第三条边的长可以是 2cm。（ ）
6. 一个三角形两条边的长分别是 4cm 和 7cm，第三条边的长可以是 12cm。（ ）
7. 三根小棒的长分别是 5cm、8cm、13cm。因为 5+8（________）13，所以（________）围成一个三角形。
8. 三角形两条边的长分别是 6cm 和 10cm，第三条边的长取整厘米数，最短可以是（________）cm，最长可以是（________）cm。
9. 用同样长的小棒摆三角形：用 5 根小棒摆成的是（________）三角形，用 6 根小棒摆成的是（________）三角形（按边分类）。
★★ 能力提升
10. 下面哪组线段能围成一个三角形？（________）
A. 2cm、3cm、6cm
B. 3cm、4cm、5cm
C. 4cm、4cm、9cm
D. 5cm、5cm、10cm
11. 一个三角形两条边的长分别是 3cm 和 9cm，第三条边的长可能是（________）。
A. 6cm B. 8cm
C. 12cm D. 13cm
12. 把一根长 18cm 的吸管剪成三段，长度分别是 4cm、6cm、8cm。这三段能围成一个三角形吗？如果能，围成的三角形周长是多少厘米？
13. 做一幅三角形画框，其中两条边的长分别是 25cm 和 40cm。第三边用整厘米数的木条，长度可以是几厘米？
14. 用尺规作一个三角形，使它的三条边分别长 2cm、3cm、4cm。先写出作图步骤，再动手作图。
用尺规作三边分别为 2cm、3cm、4cm 的三角形，并保留作图痕迹
★★★ 拓展延伸
15. 用一根长 30cm 的铁丝围成一个三角形，其中一条边是 12cm，另外两条边的长度都是整厘米数。另外两条边可以分别是多少厘米？写出两种答案，并说明你的思考过程。
16. 一个等腰三角形两条边的长分别是 5cm 和 11cm，这个等腰三角形的周长是多少厘米？
17. 从 5cm、7cm、9cm、12cm 四条线段中选出三条围成一个三角形，有几种选法？写出所有能围成的组合。
18. 小强说：“判断三条线段能否围成三角形，先找出最长的一条，再看另外两条的和是不是比它大，就够了。”你同意小强的说法吗？请举例说明你的理由。
参 考 答 案
第1题：×
【解析】两条短边 3+4=74 成立，但 3+418-x，得 x>3；18-x+12>x，得 x12 恒成立。所以 x 取 4 到 14 的整厘米数都可以，如 4 厘米和 14 厘米、5 厘米和 13 厘米。
【解析】先用周长减去已知边，得另两边之和为 18cm；再对每一条边列“另外两边之和大于它”的不等式，把 x 限定在大于 3 且小于 15，即 4~14 厘米，共 11 种组合。关键是把“三条边都要满足三边关系”转化为对 x 的两个不等式，而不是只验算一组。[错因:方法]
第16题：27 厘米。若 5cm 是腰，则三边为 5、5、11，5+5=1011 成立，周长 11+11+5=27 厘米。
【解析】等腰三角形两腰相等，但两条相等的边既可能是腰也可能是底，需要分类讨论。第一种情况（腰为 5cm）被三边关系排除，只剩第二种情况（腰为 11cm）。分类讨论后还必须用三边关系检验每一种情况。[错因:方法]
第17题：3 种。能围成的组合是：5cm、7cm、9cm；5cm、9cm、12cm；7cm、9cm、12cm。
【解析】四条线段选三条共有 4 种组合，逐一检验：5、7、9：5+7=12>9，能；5、7、12：5+7=12，恰好等于，不能；5、9、12：5+9=14>12，能；7、9、12：7+9=16>12，能。所以共 3 种。[错因:方法]
第18题：同意。理由：把三条线段按长度排成 a≤b≤c。如果 a+b>c，那么 a+c>b 和 b+c>a 也一定成立——右边的 b、a 分别小于 c，两边之和只会更大。所以“任意两边之和大于第三边”自动满足，只比较一组就够了。例如 3cm、4cm、5cm：3+4=7>5，能围成；3cm、4cm、8cm：3+4=7 4
能
3cm、4cm、8cm
3+4=7
7 < 8
不能
4cm、6cm、10cm
4+6=10
10 = 10
不能
5cm、6cm、10cm
5+6=11
11 > 10
能
3cm、3cm、3cm
3+3=6
6 > 3
能
● 5
● 6
● 9
● 12
● 13
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14