小学数学北师大版（2024）五年级上册（2024）探索三角形面积精品第4课时同步训练题

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本课核心问题
怎样求出一个三角形的面积？为什么三角形面积公式中要“除以2”？
一、学习目标
1. 经历“画方格数一数、借助平行四边形面积”的探索过程，能用两个完全一样的三角形拼成平行四边形，画图说明三角形面积公式的推导依据
2. 掌握三角形的面积=底×高÷2（S=a×h÷2），能正确计算三角形的面积，做到底与高对应
3. 能逆用面积公式，由三角形的面积和底（或高）求出对应的高（或底），并把结果代回公式检验
二、重点
• 三角形面积公式的推导过程：两个完全一样的三角形拼成平行四边形，三角形面积是拼成的平行四边形面积的一半
• 运用公式 S=a×h÷2 正确计算三角形面积，注意底与高对应
三、难点
• 理解公式中“÷2”的来历，避免“忘记除以2”和“底高不对应”两类典型错误
学习支架
拼合推导：平行四边形被对角线分成两个完全一样的三角形
流动红旗示意图（三角形）
试一试：图形面积记录表
求三角形面积的步骤
1. 找底
2. 找这条底对应的高
3. 列式：底×高÷2
4. 写面积单位并检验
三角形面积公式
逆求高（底）的公式
四、知识要点
1. 转化推导：三角形面积公式是怎么来的
三角形的面积公式不是凭空记住的，而是借助已经学过的图形推导出来的。上周卫生评比活动中淘气班获得的流动红旗就是三角形（底 28 cm、高 15 cm），怎样求它的面积？教材第66页给了两条探索思路：画方格数一数、借助平行四边形的面积。思路一（拼合法）：用两个完全一样的三角形拼成一个平行四边形。推导步骤：① 取两个完全一样的三角形（形状、大小完全相同）；② 把其中一个旋转后与另一个拼在一起，使一条对应边重合；③ 拼成一个平行四边形，这个平行四边形的底等于三角形的底，高等于三角形的高；④ 平行四边形面积=底×高，三角形面积是拼成的平行四边形面积的一半。所以：三角形面积=底×高÷2。思路二（割补法）：教材第67页介绍“把高对折”的方法：沿高的一半处把三角形割开、平移拼补，可以把它变成长方形，长方形的长等于三角形的底，宽等于三角形高的一半，面积=底×(高÷2)，同样得到三角形面积=底×高÷2。你知道吗：我国古代《九章算术》中就有“圭田术曰，半广以乘正从”，其中“广”指三角形的底，“正从”指底对应的高，也就是三角形面积=底×高÷2。魏晋时期的数学家刘徽在注文中证明了这个方法，南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中进一步用“以盈补虚”的方法研究了三角形面积公式的三种推导方法。
2. 三角形面积公式：S=a×h÷2
如果用 S 表示三角形的面积，用 a 和 h 分别表示三角形的底和高，那么三角形的面积公式可以写成：S=a×h÷2
用文字表述是：三角形的面积=底×高÷2。使用公式时注意两点：① 底和高必须对应——高必须是这条底上的高（从顶点向这条底所作的垂线段的长度），任意一条边不能当高用；② 结果要写面积单位（平方厘米、平方分米、平方米等），并检查是否漏掉了“÷2”。
3. 用公式计算三角形的面积
计算三角形面积的一般步骤：① 找出三角形的底和与这条底对应的高；② 列式：底×高÷2；③ 算出结果，写上面积单位。例如教材第66页的流动红旗：底 28 cm、高 15 cm。S=28×15÷2=420÷2=210（cm²）
答：这面流动红旗的面积是 210 平方厘米。试一试（教材第67页）：每个平行四边形的底都是 4 cm、高都是 5 cm，面积都是 20 cm²；每个三角形的底都是 3 cm、高都是 5 cm，面积都是 7.5 cm²（见“试一试：图形面积记录表”）。计算面积后可以发现：底和高分别相等的图形，面积一定相等。关键结论：等底等高的三角形面积相等，与三角形的形状、位置无关。
4. 已知面积，逆求底或高
由 S=a×h÷2 可以反过来推：底×高=面积×2（先把三角形“还原”成与它等底等高的平行四边形）
高=面积×2÷底
底=面积×2÷高
例如（教材第67页）：三角形面积是 54 cm²，底是 12 cm，这条底对应的高是：高=54×2÷12=108÷12=9（cm）
提醒：逆求底或高时，一定先用面积乘 2，再除以已知的底或高；求出结果后可以代回公式检验：12×9÷2=54（cm²），符合题意。
五、典型例题
【例1】
淘气班获得的流动红旗是一个三角形，底 28 cm，与这条底对应的高是 15 cm。这面流动红旗的面积是多少平方厘米？
【解答】方法一（拼合推理）：用两个完全一样的三角形拼成一个平行四边形，拼成的平行四边形与三角形等底等高：平行四边形面积=28×15=420（cm²）
三角形面积=420÷2=210（cm²）
方法二（直接套公式）：S=a×h÷2=28×15÷2
=420÷2
=210（cm²）
答：这面流动红旗的面积是 210 平方厘米。易错对比：错：28×15=420（cm²）——忘记除以2，算出来的是拼成的平行四边形面积。对：三角形面积是拼成的平行四边形面积的一半，必须再÷2，得 210 cm²。
【点拨】列式前先想一想：这个三角形和哪个平行四边形有关？求三角形面积，最后一步一定要÷2。算完后可以和拼成的平行四边形面积（420 cm²）比一比，检查是否恰好是一半。
【例2】
一个三角形的面积是 54 cm²，底是 12 cm。与这条底对应的高是多少厘米？
【解答】由 S=a×h÷2 可知：底×高=面积×2。高=面积×2÷底
=54×2÷12
=108÷12
=9（cm）
检验：12×9÷2=108÷2=54（cm²），与原题相符。答：与这条底对应的高是 9 厘米。
【点拨】逆用公式求高（或底）时，先“×2”把三角形还原成等底等高的平行四边形，再除以已知的底（或高）。求出结果后一定要代回公式检验。
【例3】
一块三角形装饰板，底 12 dm，与这条底对应的高 7 dm，另一条边长 9 dm。这块装饰板的面积是多少平方分米？
【解答】错误做法：12×9÷2=54（dm²）——把“另一条边 9 dm”当作高来用，这是不对的。正确做法：三角形面积=底×高÷2
=12×7÷2
=84÷2
=42（dm²）
答：这块装饰板的面积是 42 平方分米。辨析：高是从顶点向所选的底所作的垂线段。9 dm 是三角形的一条边，不是这条底上的高，不能与底相乘；底 12 dm 只能与它对应的高 7 dm 搭配使用。
【点拨】用公式前先圈出“底”，再画出这条底对应的高，边和高不能混用。如果题目给出好几条线段，先判断哪条才是这条底对应的高。
同 步 练 习
★ 基础巩固
1. 三角形的面积=（________），用字母表示是（________）。
2. 一个三角形的底是 9 cm，与这条底对应的高是 4 cm，它的面积是（________）cm²。
3. 计算下面三角形的面积：底 7 cm，高 12 cm。
4. 计算下面三角形的面积：底 16 cm，高 5 cm。
5. 用两个完全一样的三角形一定能拼成一个平行四边形。（ ）
6. 三角形的面积等于平行四边形面积的一半。（ ）
7. 一个三角形的面积是 36 cm²，底是 9 cm，与这条底对应的高是（________）cm。
8. 一个直角三角形的两条直角边分别是 6 cm 和 8 cm，它的面积是多少平方厘米？
9. 等底等高的两个三角形，面积一定相等。（ ）
★★ 能力提升
10. 一个三角形的底是 10 cm，与这条底对应的高是 6 cm，另一条边是 7 cm。这个三角形的面积是（________）。
A. 30 cm² B. 60 cm²
C. 35 cm² D. 21 cm²
11. 妈妈给弟弟做了 3 顶三角形的生日帽，每顶帽子的三角形布料底 20 cm、高 15 cm（接口处忽略不计）。一共需要多少平方厘米的布料？
12. 一块近似三角形的果园，面积是 270 m²，与一条边对应的高是 18 m。这条边（底）长多少米？
★★★ 拓展延伸
13. 一张正方形纸，边长 10 cm。沿一条对角线剪开，得到两个完全一样的三角形。每个三角形的面积是多少平方厘米？
14. 一块三角形菜地，底是 30 m，与这条底对应的高是 24 m。如果每平方米菜地收白菜 8 千克，这块菜地一共能收白菜多少千克？
参 考 答 案
第1题：底×高÷2；S=a×h÷2
【解析】三角形的面积=底×高÷2；用 S 表示面积、a 表示底、h 表示高，即 S=a×h÷2。
第2题：18
【解析】9×4÷2=36÷2=18（cm²）。
第3题：42
【解析】7×12÷2=84÷2=42（cm²）。注意最后一步÷2。
第4题：40
【解析】16×5÷2=80÷2=40（cm²）。
第5题：√
【解析】完全一样的两个三角形，把一条对应边重合拼接，一定可以拼成一个平行四边形（拼法见本课知识梳理）。
第6题：×
【解析】必须加上“等底等高”的条件：与平行四边形等底等高的三角形，面积才是平行四边形面积的一半；任意三角形与任意平行四边形不能直接说“一半”。[错因:概念]
第7题：8
【解析】高=面积×2÷底=36×2÷9=72÷9=8（cm）。
第8题：24
【解析】直角三角形中，一条直角边作底、另一条直角边就是这条底对应的高，所以面积=6×8÷2=48÷2=24（cm²）。
第9题：√
【解析】由 S=底×高÷2 可知，三角形面积只由底和高决定：底相等、高也相等，面积就一定相等，形状不同不影响。
第10题：A
【解析】面积=底×高÷2=10×6÷2=60÷2=30（cm²）。选 B 的同学算出 10×6 后忘记÷2，得到的是拼成的平行四边形面积；选 C 的同学把另一条边 7 cm 当高用（10×7÷2）；选 D 的同学把另一条边和高混在一起（6×7÷2）。[错因:方法]
第11题：450 平方厘米。每顶帽子：20×15÷2=150（cm²）；3 顶：150×3=450（cm²）。
【解析】分两步：先算一顶帽子的三角形面积，注意÷2（20×15÷2=150 cm²）；再乘 3 得总布料 150×3=450（cm²）。常见错误：20×15=300 忘记÷2，再乘 3 得 900 cm²，比实际多了一倍。检验：450÷3=150（cm²），150×2=300=20×15，正确。[错因:计算]
第12题：30 米。底=面积×2÷高=270×2÷18=540÷18=30（m）。
【解析】逆用公式：底=面积×2÷高。先×2 把三角形“还原”成与它等底等高的平行四边形（面积 540 m²），再除以高 18 m，得底 30 m。检验：30×18÷2=540÷2=270（m²），与原题相符。[错因:方法]
第13题：50 平方厘米。正方形面积=10×10=100（cm²），每个三角形是正方形面积的一半：100÷2=50（cm²）；也可直接列式 10×10÷2=50（cm²）。
【解析】用“两个完全一样的三角形拼成平行四边形”的转化思想反过来想：把两个剪下的三角形拼回去，正好拼成原来的正方形（正方形也是平行四边形），所以每个三角形面积=正方形面积的一半；剪开前后总面积不变。两种思路（拼合还原、直接套公式）得到同一结果 50 cm²，可以互相验证。[错因:推理]
第14题：2880 千克。菜地面积：30×24÷2=360（m²）；总产量：360×8=2880（千克）。
【解析】两步问题：先求三角形菜地的面积（30×24÷2=360 m²，注意÷2），再根据“每平方米产量×面积”求总产量（360×8=2880 千克）。单位要对应：面积用 m²，产量用千克。检验：2880÷8=360（m²），360×2=720=30×24，正确。[错因:方法]图形
底
高
面积
平行四边形①
4 cm
5 cm
20 cm²
平行四边形②
4 cm
5 cm
20 cm²
三角形①
3 cm
5 cm
7.5 cm²
三角形②
3 cm
5 cm
7.5 cm²