北师大版数学五年级上册第5单元单元知识梳理与易错精讲(教师版+学生版)

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第5单元 多边形的面积 · 知识梳理与易错精讲单 元 知 识 梳 理一、学习目标1. 能说出平行四边形、三角形、梯形面积公式的推导过程，理解“转化”与“出入相补”是推导面积公式的共同方法2. 能正确识别底和高，规范计算三个图形的面积，并会由面积逆求底或高3. 会求组合图形的面积，能换算公顷、平方千米与平方米，会估计不规则图形的面积4. 会用列表与调整策略解决鸡兔同笼类问题，并自觉检验二、重点• 三个面积公式的共同结构：都与“底×高”有关，三角形、梯形都要除以2• 底与高必须对应：高是从对边（顶点）向底所作的垂线段• 组合图形“分割求和”与“添补求差”，面积单位进率，不规则图形数方格估计三、难点• 底与高的对应关系及画给定底边上的高• 逆求三角形底或高时先“×2还原”• 公顷与平方米的进率10000、平方千米与公顷的进率100不被混用• 组合图形分割不重叠不遗漏、添补后必须求差学习支架本单元面积公式总表面积单位进率表两个完全一样的三角形拼成平行四边形求平行四边形面积：底与高必须对应组合图形的两种转化方法求图形面积的四步流程1. 找底：确定哪条边作底2. 找高：画这条底上的垂线段（用三角板直角检验垂直）3. 代入公式计算，三角形、梯形别忘了÷24. 检查单位：面积用平方单位，结果代回公式验证方格纸上估计不规则图形的面积四、知识要点1. 面积比较与“出入相补”原理形状不同的图形，面积大小可以用统一的标准度量：数方格——图形占满格1格，两个半格拼成1个整格，所占方格数多的面积大，方格数相同面积相等；也可以把图形平移，两个图形完全重合，面积一定相等；还可以拼合起来比，例如“图5和图6合起来与图8面积相等”，说明图5面积加图6面积等于图8面积。把一个图形分割成几部分，再通过移补重新组合，图形的形状变了，但面积没有改变，这就是“出入相补”原理（也叫“以盈补虚”）。我国古代数学家刘徽利用这一原理得出了很多平面图形面积的论证方法。判断面积是否相等，只能用统一度量（数方格、重合、出入相补），不能凭形状或周长下结论：形状不同，面积可能相等；面积相等，形状不一定相同。2. 底、高与画高拉动长方形框架变成平行四边形，四条边的长度不变、周长不变，但上下两边之间的距离变小，面积变小。两条平行线之间的距离，就是这两条平行线间垂直线段的长度，平行线间的距离处处相等。平行四边形中，从边上任意一点向对边画垂线，画出的线段都是平行四边形的高，与高垂直的那条边叫作底；一条底上的高有无数条，长度都相等；换一条边作底，对应的高也随之改变。三角形从顶点向对边画垂线，这条垂线段就是三角形的高；梯形的高是上底与下底之间的距离。画给定底边上的高分四步：先看清画哪条底边上的高；把三角板的一条直角边与底边重合；沿底边平移三角板，使另一条直角边经过对边上一点（三角形要经过顶点）；沿直角边画垂线段并标出垂直符号。生活中有许多“高”的应用，如“限高4.5m”标志。3. 平行四边形的面积探索过程分三步：数方格——方格纸上数出平行四边形占18个小方格；猜想——底占6格、高占3格，6×3＝18，于是猜想面积＝底×高；验证——沿高剪开，把剪下的三角形平移到另一边，拼成一个长方形，长方形的长相当于平行四边形的底，宽相当于平行四边形的高，长方形面积＝长×宽，所以平行四边形面积＝底×高，猜想得到验证。如果用S表示面积，用a表示底，用h表示这条底上的高，公式写作S＝a×h。应用：停车位底6m、高2.5m，面积6×2.5＝15（m²）。注意底和高必须对应，只能用与所选底垂直的高，不能用斜边；单位必须用面积单位。底（或高）扩大到原来的几倍，另一个量不变，面积也扩大到原来的几倍。4. 三角形的面积求三角形的面积同样用转化：两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形，拼成的平行四边形的底等于三角形的底，高等于三角形的高，三角形面积是拼成的平行四边形面积的一半，所以三角形面积＝底×高÷2，字母式S＝a×h÷2。还可以沿高的一半处割补，把三角形变成长方形（长等于底、宽等于高的一半），得到同样结果。我国古代《九章算术》中就有“圭田术曰，半广以乘正从”，“广”指三角形的底，“正从”指底对应的高，也就是三角形面积＝底×高÷2，刘徽在注文中证明了这个方法。底和高分别相等的三角形面积一定相等，与形状、位置无关。由面积逆求底或高时，先把面积乘2“还原”成等底等高的平行四边形，再除以已知的高（或底）：高＝面积×2÷底。直角三角形中，两条直角边互为底和高。5. 梯形的面积两个完全相同的梯形可以拼成一个平行四边形，拼成的平行四边形的底等于梯形的上底与下底之和，高与原来梯形的高相等，平行四边形的面积是梯形面积的2倍，所以梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2，字母式S＝(a＋b)h÷2。另一种推导：沿对角线把梯形分成两个三角形，两个三角形的高都是梯形的高，两个三角形面积之和就是梯形面积：上底×高÷2＋下底×高÷2＝（上底＋下底）×高÷2，两种方法结果一致。算例：大坝横截面是梯形，上底20m、下底80m、高40m，面积(20＋80)×40÷2＝2000（m²）。圆木堆计数是公式的迁移：把最上层根数看作“上底”、最下层根数看作“下底”、层数看作“高”，总根数＝（最上层根数＋最下层根数）×层数÷2，数层数时两头都要算。6. 组合图形的面积由两个或两个以上学过的图形组合而成的图形叫组合图形，求它的面积关键是转化。分割法（求和）：从顶点或缺口处画分割线，把图形分成几个基本图形，给各部分编号、标尺寸，分别求面积再相加——各部分不能重叠、不能遗漏。添补法（求差）：把图形补成一个大的基本图形，求出大图形面积，再减去添补部分的面积——补上的部分不是原图形的一部分，必须减去。两种方法结果相同，可以互相检验。算例：客厅平面图分割成4m×6m长方形和3m×3m正方形，4×6＋3×3＝33（m²）；添补成7m×6m长方形再减去3m×3m小正方形，42−9＝33（m²）。实际应用中，先判断图形特点：能直接分出基本图形的用分割法，是“大图形挖掉一部分”的用添补法；算出面积后还要按问题继续乘数量、乘单价。7. 公顷、平方千米测量和计算土地面积时，通常用公顷、平方千米作单位。边长为100m的正方形面积是1公顷：100×100＝10000（m²），所以1公顷＝10000平方米。1公顷有多大？1间教室约50m²，200间教室约10000m²，大约就是1公顷。边长为1000m的正方形面积是1平方千米：1000×1000＝1000000（m²），1平方千米＝1000000平方米＝100公顷，比两个天安门广场的占地面积还要大。已经学过的面积单位有平方厘米、平方分米、平方米，相邻两个单位之间的进率是100；而公顷与平方米之间隔着更多层级，进率是10000。换算方法：大单位换小单位乘进率，小单位换大单位除以进率，例如3公顷＝30000m²，700000m²＝70公顷，6km²＝600公顷。选填单位时结合情境：教室、房屋、操场用平方米，公园、校园、农田用公顷，城市、县区、自然保护区用平方千米，不能只看数字大小。8. 不规则图形面积的估计脚印、树叶等不规则图形没有现成的面积公式，可以用数方格的方法估计：满格按1格计；不是满格的，大于半格的记1格，不够半格的记为0；把两类格数相加就是面积的估计值。估计值只是大约值，不是精确值：例如满格7格、不是满格13格时，脚印的面积一定在7cm²到20cm²之间。还可以把不规则图形近似看成学过的基本图形，如把脚印看成梯形，按梯形面积公式估算；近似图形要尽量贴合轮廓，结果与数方格接近就说明估计合理。想让估计更精确，可以把每个方格平均分成4份，变成更小的方格，每个小方格表示0.25cm²再数；方格越小，边缘的“锯齿”误差越小，估计越接近真实面积。用边长4cm、2cm、1cm的方格纸估计同一个圆，分别约64cm²、48cm²、46cm²，正说明方格越小结果越精细。9. 单元知识网络与变式规律本单元四个面积公式有共同结构：都与“底×高”有关，三角形和梯形都要除以2——它们分别拼上“另一个自己”就得到平行四边形，所以都是对应平行四边形面积的一半。三个公式的推导都用转化和“出入相补”，这是本单元最重要的思想。逆用公式：平行四边形底＝面积÷高；三角形高＝面积×2÷底；梯形已知面积求高时，要先用面积×2还原。变式规律：梯形的上底增加几厘米、下底减少同样多的厘米数，上下底之和不变，高不变，所以面积不变——因为公式中上下底以“相加”的形式出现；但这条规律不能推广，平行四边形的底减少几厘米、高增加同样的厘米数，面积一般会变，因为底和高是相乘关系，一个变小一个变大，乘积一般会变。面积相等不等于形状相同；只有两个完全相同的三角形才能拼成一个平行四边形。10. 鸡兔同笼：列表与调整策略鸡兔同笼问题的结构是：告诉头数（鸡兔总只数）和腿数（鸡腿与兔腿总条数），求鸡、兔各几只。基本事实：鸡1个头2条腿，兔1个头4条腿；头数＝鸡只数＋兔只数，腿数＝鸡只数×2＋兔只数×4，答案必须同时满足两个条件。列表法：鸡的只数按1、2、3……依次增大，兔的只数用“头数－鸡的只数”确定，算每行的腿数与目标比较。例如9个头26条腿：鸡4只、兔5只时腿数是28，鸡5只、兔4只时腿数是26，正好符合。规律：鸡和兔的总只数不变时，鸡增加1只、兔减少1只，腿数减少2条；反过来增加2条。调整方向：腿数太多说明兔子太多，要减少兔的只数；腿数太少要增加兔的只数。数据大时可以从中间开始试（先猜两种只数差不多），再按“差距÷2＝需要调整的只数”直接算出答案。列表时先考虑从什么数开始尝试，再分析调整，可以少走弯路。易错汇总易错点 1【错因】把“底×高”当成了最终答案，忽略了三角形、梯形分别只是拼成的平行四边形的一半；公式里的÷2是拼合关系的直接结果【自检方法】算完后反问“这个面积等于几个这样的图形拼出来的”，用两个同样的图形拼一拼验证；列完算式对照公式S＝a×h÷2逐项核对易错点 2【错因】混淆了“边”与“垂线段”两个概念，以为与底相连的线段都可以相乘【自检方法】先标出底，再画出这条底上的高，用三角板的直角检验高与底是否垂直易错点 3【错因】没有把三角形面积与平行四边形面积的关系延续到逆用环节，认为面积÷底即可【自检方法】把求出的高代回公式S＝a×h÷2检验，左右两边相等才算对易错点 4【错因】缺少“全覆盖、不重叠”的检查习惯，把添补的部分误当成原图形的一部分【自检方法】两种方法各算一遍，结果相同说明正确；分割时数一数编号是否覆盖全部顶点和边易错点 5【错因】把长度单位的进率或相邻面积单位的进率100直接套到公顷、平方千米上，忘了面积进率是边长进率的平方【自检方法】回到定义算一遍：边长为100m的正方形面积是100×100；换算后反向验证，如3公顷换得30000m²后除以10000应回到3易错点 6【错因】用眼睛看形状代替统一度量，把“面的大小”与“形的样子”混为一谈【自检方法】把两个图形放到方格纸上数一数，或用平移重合、出入相补验证，别只看形状下结论易错点 7【错因】只看到“一个量增一个量减”的表面现象，没有回到公式本身的结构判断【自检方法】任取一组数代入公式计算比较，例如底10、高4与底9、高5，算一算面积各是多少易错点 8【错因】不理解半格处理规则的含义，也缺少“估计有误差、结果有范围”的意识【自检方法】先写范围再写结果：面积一定不小于满格数、不大于满格数加不满格数；同学之间结果不同是正常的，方法合理即可易错点 9【错因】没有建立“换1只差2条腿”的数量规则，凭感觉猜测调整方向【自检方法】调整后把只数代回去同时核对头数与腿数两个条件，两个都符合才算对五、易错精讲【例1】一个平行四边形的底是8cm，高是4cm，邻边的长是5cm。小华列式8×5＝40（cm²），他的答案对吗？正确的面积是多少？【例2】一个三角形的底是10cm，这条底上的高是6cm，求它的面积。小丽列式10×6＝60（cm²），对吗？正确的面积是多少？如果这个三角形的面积是72cm²、底是12cm，这条底对应的高是多少厘米？【例3】一个梯形的上底是4cm，下底是10cm，高是6cm。（1）它的面积是多少？（2）如果上底增加2cm、下底减少2cm，新梯形的面积与原来相比有什么变化？【例4】工人要给一块长6m、宽5m的墙面贴瓷砖，右上角一块长2m、宽2m的区域被柱子遮挡不用贴（如图）。请你分别用分割法和添补法计算需要贴瓷砖的面积，并比较两种方法的结果。【例5】一块正方形农田的边长是200m。（1）这块农田的面积是多少平方米？（2）合多少公顷？（3）如果1平方千米能容纳约30个这样的农场，一个边长1000m的正方形区域约能容纳多少个这样的农场？【例6】淘气出生时的脚印画在方格纸上（每个小方格的边长表示1cm），数一数：满格7格，不是满格的有13格，其中大于半格的有5格。（1）这个脚印的面积大约是多少平方厘米？（2）脚印的面积一定在什么范围内？（3）如果把每个方格平均分成4份再数，每个小方格表示多少平方厘米？这样做有什么好处？每个小方格的边长表示1cm【例7】停车场里停着小汽车和三轮摩托车，一共有12辆车、41个轮子。小汽车和三轮摩托车各有多少辆？（小汽车4个轮子，三轮摩托车3个轮子）易 错 专 练基础辨析1. 平行四边形的面积等于底乘这条底上的高。（　　）2. 三角形的面积等于底乘高。（　　）3. 1公顷等于10000平方米。（　　）4. 两个面积相等的图形，形状一定相同。（　　）5. 梯形的高是从上底到下底的垂直线段，与腰的长短无关。（　　）6. 一个平行四边形的底是8cm，高是5cm，面积是（________）cm²。7. 一个三角形的底是10cm，这条底上的高是6cm，面积是（________）cm²。8. 一个梯形的上底是3cm，下底是5cm，高是4cm，面积是（________）cm²。9. 2公顷＝（________）平方米。10. 3平方千米＝（________）公顷。11. 计算下面图形的面积：底是6.4m、高是5m的平行四边形。方法巩固12. 一个三角形的底是12cm，这条底上的高是7cm，另一条边的长是9cm。它的面积是（________）。　　A. 84 cm²　　B. 42 cm²　　C. 63 cm²　　D. 21 cm²13. 一个梯形的上底是6cm，下底是10cm，高是5cm，面积是（________）。　　A. 80 cm²　　B. 40 cm²　　C. 50 cm²　　D. 30 cm²14. 某湿地公园的占地面积约是120000平方米，合（________）。　　A. 12公顷　　B. 120公顷　　C. 1.2公顷　　D. 12平方千米15. 一块平行四边形菜地的底是25m，高是16m。如果每平方米种4棵白菜，这块菜地一共能种多少棵白菜？16. 一块三角形草坪的底是18m，这条底上的高是12m。如果铺草皮每平方米需要8元，铺满这块草坪需要多少元？17. 一块梯形广告牌的上底是2m，下底是4m，高是3m。如果要给这块广告牌的正反两面都刷漆，每平方米需要油漆0.6kg，一共需要油漆多少千克？18. 一个三角形的面积是96cm²，底是16cm，这条底对应的高是多少厘米？19. 一块长方形空地长20m、宽12m，中间修了一条宽2m、长12m的平行四边形小路，其余部分种花。种花的面积是多少平方米？综合易错20. 一块长8m、宽5m的长方形木板，左下角被锯去一个边长3m的正方形，剩下的木板面积是多少平方米？请你至少用两种方法计算。21. 一个梯形的上底是6cm，下底是8cm，高是5cm。如果把这个梯形的上底增加2cm、下底减少2cm，得到的新梯形面积与原梯形面积有什么关系？请说明理由。22. 一块正方形农田的边长是400m。（1）这块农田的面积是多少平方米？（2）合多少公顷？（3）如果每公顷收玉米7吨，这块农田一共可以收玉米多少吨？23. 一片树叶印在方格纸上（每个小方格的边长表示1cm），数一数：满格9格，不是满格的有16格，其中大于半格的有7格。（1）这片树叶的面积大约是多少平方厘米？（2）它的面积一定在什么范围内？24. 鸡兔同笼，笼子里有20个头、54条腿，鸡和兔各有多少只？先列表，再用“调整”的方法说明理由。25. 一块梯形麦田的上底是200m，下底是300m，高是160m。（1）这块麦田的面积是多少平方米？（2）合多少公顷？（3）如果每公顷需要施肥150kg，这块麦田一共需要施肥多少千克？26. 在方格纸上（每个小方格的边长表示1cm）画一个面积是12cm²的平行四边形，再画一个与它面积相等的三角形。画完后用公式检验你的图形。图形面积公式公式怎么来的长方形长×宽面积单位个数直接数平行四边形底×高沿高剪开、平移拼成长方形，出入相补面积不变三角形底×高÷2两个完全一样的三角形拼成平行四边形，取一半梯形（上底＋下底）×高÷2两个完全相同的梯形拼成平行四边形，取一半单位与相邻单位的进率参照物平方千米1平方千米＝100公顷城市、县区、自然保护区公顷1公顷＝10000平方米公园、校园、农田平方米1平方米＝100平方分米教室、房屋、操场平方分米1平方分米＝100平方厘米桌面、书本封面常见错误正确做法用斜边（邻边）当高：底8m×斜边5m＝40m²选定底，用这条底上的垂线段作高：底8m×高4m＝32m²分割法（求和）添补法（求差）把组合图形分成几个基本图形，分别求面积再相加；各部分不能重叠、不能遗漏补成一个大的基本图形，用大图形面积减去补上部分的面积，补上的部分必须减掉常见错误正确认识求三角形或梯形面积时直接算“底×高”（或“上下底之和×高”），忘掉÷2三角形面积＝底×高÷2，梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2，÷2不能丢常见错误正确认识底与高不对应，把斜边（邻边）当高与底相乘高必须是从对边（顶点）向底所作的垂线段，只能选与底对应的这条高；底8cm、斜边5cm、对应高4cm的平行四边形面积是8×4常见错误正确认识已知三角形面积和底求高时，直接用“面积÷底”，忘记先乘2高＝面积×2÷底；先用面积乘2把三角形“还原”成等底等高的平行四边形，再除以底常见错误正确认识分割组合图形时有的部分没算到或重复算两遍；添补法算出大图形面积后忘了减去补上的部分分割后给每一块编号、标尺寸，各部分面积之和必须等于整体；添补法必须用大图形面积减去添补部分的面积常见错误正确认识把公顷与平方米的进率记成100或1000，认为1km²＝1000m²1公顷＝10000平方米（100×100），1平方千米＝1000000平方米＝100公顷（1000×1000）常见错误正确认识认为形状不同的图形面积一定不相等，或“面积相等”就是“完全相同”面积由所占单位面积个数决定，与形状无关；形状不同面积可能相等，面积相等只表示大小相同常见错误正确认识把“梯形上底增加、下底减少相同长度面积不变”推广到“平行四边形底减少、高增加相同长度面积不变”梯形公式中上下底以“相加”出现，和不变面积就不变；平行四边形是“底×高”相乘关系，两个量同时变乘积一般会变，必须代入数字计算验证常见错误正确认识数方格估计时把不满一格的格子全部记1格，把估计值当成精确值大于半格的记1格、不够半格的记为0；估计结果是大约值，应落在“满格数”到“满格数＋不满格总数”之间常见错误正确认识鸡兔同笼调整时方向搞反，或把腿数差距直接当成要调整的只数每换1只腿数相差2条，差距÷2＝需要调整的只数；腿数太多要减少兔（或增加鸡），腿数太少要增加兔小汽车辆数三轮摩托车辆数轮子总数