北师大版数学五年级上册第7单元单元知识梳理与易错精讲(教师版+学生版)

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第7单元 倍数与因数 · 知识梳理与易错精讲单 元 知 识 梳 理一、学习目标1. 能完整表述“谁是谁的倍数、谁是谁的因数”，知道只在自然数（零除外）范围内研究倍数与因数2. 能根据2、3、5的倍数特征快速判断一个数是不是它们的倍数，并说明判断依据3. 能按因数个数区分质数与合数，会用筛选法在百数表中找全1~100的质数，能把合数写成质数相乘的形式4. 能求出两个数的最大公因数和最小公倍数，并能在“平均分组”与“同时发生”两类情境中正确选择二、重点• 倍数与因数的相互依存关系及有序、成对找因数的方法• 2、3、5的倍数特征：看个位还是看数字和• 质数与合数的分类标准，公因数与公倍数的联系与区别三、难点• 3的倍数特征必须算各个数位上的数字之和，不能看个位• 筛法找质数时“质数本身保留”和“筛完必须检查7的倍数”• 区分“平均分、正好分完”与“同时发生、再次相遇”该用最大公因数还是最小公倍数学习支架因数与倍数对照2、3、5的倍数特征8和12的公因数与最大公因数倍数与因数的说法3的倍数怎么判断筛法检查记录表：筛完2、3、5的倍数后，这些数要不要划去？求8和12的最大公因数与最小公倍数记录表筛选法找1~100的质数1. 先划掉1，1既不是质数也不是合数2. 划掉2的倍数，但2要除外3. 划掉3的倍数，3本身保留4. 划掉5的倍数，5本身保留5. 检查是否找全：49、77、91不是2、3、5的倍数，却是7的倍数，要划去用短除法求最大公因数和最小公倍数1. 把两个数并排写在一起，用它们的公因数同时去除，商写在各自正下方2. 继续用两个商的公因数去除，直到两个商只有公因数1为止3. 最大公因数＝左侧所有除数相乘4. 最小公倍数＝左侧所有除数与最后两个商相乘四、知识要点1. 倍数与因数的意义：相互依存，成对出现在乘法算式里，积是相乘两个数的倍数，相乘的两个数是积的因数。例如9×4=36：36是9和4的倍数，9和4是36的因数；由5×7=35可以说35是5和7的倍数，5和7是35的因数。倍数与因数相互依存，必须说清“谁是谁的倍数”“谁是谁的因数”，不能单独说某个数是倍数或因数。用除法也可以判断：35÷7=5没有余数，说明35是7的倍数、7是35的因数，因为除法是乘法的逆运算；反过来，17÷7有余数，说明17不是7的倍数。2. 研究范围：自然数（零除外）教材明确：我们只在自然数（零除外）范围内研究倍数和因数。也就是说，参与讨论的数本身是自然数，而且0不参与研究——不说0是某个数的倍数，也不说0是某个数的因数。例如6×7=42中的6、7、42都是不为0的自然数，可以研究它们之间的关系；而0×5=0不能用来讨论倍数和因数。看到0先停一下：先判断这个数在不在研究范围内，再决定要不要讨论。3. 找一个数的倍数：找倍数就是做乘法找一个数的倍数，用这个数依次乘1、2、3、4……所得的积都是它的倍数。例如7的倍数：7×1=7，7×2=14，7×3=21，7×4=28……所以7、14、21、28……都是7的倍数。整理复习时教材提示：找倍数就是做乘法，2的1倍是2、2的2倍是4、2的3倍是6……一个数的倍数有无限多个，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。写指定范围内的倍数时，要按从小到大的顺序列举，写完检查有没有超出题目要求的范围（如“50以内”“100以内”）。4. 找一个数的全部因数：一对一对，按顺序找找一个数的全部因数，想“哪两个自然数相乘等于这个数”，从1开始按顺序成对地找。例如找18的全部因数：18=1×18，18=2×9，18=3×6；再往后，4、5都不能整除18，而6已经和3配过对，说明找完了。18的因数有1、2、3、6、9、18。也可以按顺序想除法：18÷1=18，18÷2=9，18÷3=6，写到两个因数相遇或相邻就停止。关键结论：因数成对出现，有序成对地找才能不重不漏；一个数的最小因数是1，最大因数是它本身，因数的个数是有限的。写完可以用“最小因数×最大因数=原数”来核对第一对和最后一对。5. 2的倍数特征与奇数、偶数在百数表中找出2的倍数：2、4、6、8、10、12……观察个位，按“2、4、6、8、0”循环出现。关键结论：个位上是2、4、6、8或0的数都是2的倍数。注意0也包含在特征里，个位是0的数（如10、20、30）都是2的倍数。2的倍数也叫偶数，不是2的倍数的数也叫奇数，所以自然数按能否被2整除分成两类：一个自然数不是偶数，就是奇数。判断时只须看个位，与数的大小、十位及更高位上的数字无关：28的个位是8，是偶数；53的个位是3，是奇数。6. 5的倍数特征：列举、观察、发现、验证探索过程分四步。第1步列举：在百数表中圈出5的倍数，得到5、10、15、20、25、30……第2步观察：这些数在百数表中都排在第5列和第10列，看个位不是5就是0。第3步发现：5的倍数末尾只有0或5；反过来想，个位上是0或5的数都是5的倍数。第4步验证：5×1=5、5×2=10、5×3=15、5×4=20，积的个位按5、0、5、0循环；再任意写几个数试试，如65×5=325、132×5=660，积的个位仍然是5或0。任何一个数与5相乘，积的个位只可能是5或0，所以这个特征对任意自然数都成立。7. 同时是2和5的倍数；和的奇偶性（1）同时是2和5的倍数：一个数要同时满足“个位是0、2、4、6、8”和“个位是0或5”两个条件，个位只能是0。所以个位上是0的数，既是2的倍数，又是5的倍数，如10、20、30、40、50……（2）和的奇偶性：15+11，两个加数都是奇数，和是26，一定是偶数；8+13，8是偶数、13是奇数，和是21，一定是奇数。归纳：奇数+奇数=偶数，偶数+奇数=奇数。判断两个数相加的和是奇数还是偶数，先看两个加数的奇偶，再想规律，不必先算出结果；像教材那样“换一些算式试试看”，可以验证规律对其他数也成立。8. 3的倍数特征：看各个数位上的数字之和2和5的倍数特征都看个位，3的倍数也能看个位吗？试一试：13的个位是3，但13÷3有余数，不是3的倍数；23也一样。再看3的倍数的个位：3、6、9、2、5、8、1、4、7、0……一点规律也没有。关键结论：判断3的倍数不能看个位，要看各个数位上的数字之和——在百数表中圈出3的倍数，这些数各个数位上的数字之和都是3的倍数：12，1+2=3；15，1+5=6；18，1+8=9；21，2+1=3……判断时先逐位相加求出数字和，再看数字和是不是3的倍数：87的数字和是8+7=15，15是3的倍数，87是3的倍数；56的数字和是5+6=11，11不是3的倍数，56不是3的倍数。多条件组合时：同时是2和3的倍数，个位必须是偶数且数字和是3的倍数；同时是3和5的倍数，个位必须是0或5且数字和是3的倍数；同时是2、3、5的倍数，个位必须是0且数字和是3的倍数。9. 探索9的倍数特征用研究3的倍数特征的方法来研究9的倍数：9、18、27、36、45、54、63、72、81、90、99的各位数字之和分别是9、9、9、9、9、9、9、9、9、9、18，都是9的倍数。在百数表中圈出9的倍数，它们和3的倍数一样排在一条条斜线上。如果百数表扩充到200，99后面是9的倍数的数有108、117、126、135、144、153、162、171、180、189、198，它们的数字和也都是9的倍数。因为9的倍数一定是3的倍数，所以9的倍数特征和3的倍数特征结构相同：看各个数位上的数字之和是不是9的倍数。10. 质数与合数：按因数个数分类用若干个小正方形拼成长方形，可以看成乘法题：每行个数×行数=小正方形总数。12个小正方形能拼成1×12、2×6、3×4三种长方形，12的因数有6个；5个小正方形只能拼成1×5一种长方形，5的因数只有1和5两个。由此发现：有的数的因数只有2个，如2、3、5；有的数的因数不止2个。教材给出定义：一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫作质数；一个数除了1和它本身以外还有别的因数，这个数叫作合数，合数的因数至少有3个。判断方法：先列举这个数的全部因数，再数一数个数——只有2个因数是质数，有3个及以上因数是合数。快捷筛选：先用2、3、5的倍数特征排除明显的合数，再继续试除。11. 概念边界：1和2的特殊性1既不是质数，也不是合数：质数要有“1和它本身”两个因数，合数要有“除1和它本身以外”的别的因数，而1的因数只有1个，两类都不符合。2是最小的质数，也是唯一的偶质数：2的因数只有1和2。把2~12按因数个数分类：质数有2、3、5、7、11；合数有4、6、8、9、10、12。特别要注意：9是奇数，但它的因数是1、3、9，是合数——分类只看因数个数，与奇偶无关。12. 质因数分解：合数写成质数相乘的形式任何一个大于1的整数，要么是一个质数，要么是若干个质数的乘积。例如12=2×2×3，30=2×3×5。像这样，把一个合数写成质数相乘的形式，分解到每一个因数都是质数、不能再分解为止。检验方法：算一算乘积是否等于原数；再看一看乘积中的每一个数是不是质数。1不是质数，不能出现在乘积里；分解中途出现合数（如4、6、15）说明还没分解完，要继续拆。质数被称为自然数的“数根”，在数学和密码技术中都有重要应用。13. 筛选法找1~100的质数怎样找出1~100中的所有质数？可以一个一个用定义试，也可以用筛选法批量筛去合数。筛选法步骤：第一步先划掉1，1既不是质数也不是合数；第二步划掉2的倍数，但2要除外——2是质数，要保留；第三步划掉3的倍数，3本身保留；第四步划掉5的倍数，5本身保留；第五步做完要检查是否找全：49、77、91不是2、3、5的倍数，但它们分别是7的倍数（49=7×7，77=7×11，91=7×13），也要划去，再把剩下没划的数逐个核对因数。筛法的原理是：1~100中的每一个数要么是质数，要么是合数，把1和所有的合数都筛去后，剩下的便是质数了。这个方法由两千多年前希腊数学家埃拉托色尼发明，好像一个筛子一样，后人称它为埃拉托斯特尼筛法。14. 公因数与最大公因数几个数公有的因数，叫作这几个数的公因数；其中最大的一个，叫作它们的最大公因数。找公因数用列举法：先分别写出每个数的全部因数（从小到大、成对找），再找出相同的因数，最后选出最大的。例如12的因数有1、2、3、4、6、12，18的因数有1、2、3、6、9、18，相同的因数是1、2、3、6，所以12和18的公因数有1、2、3、6，最大公因数是6。需要记住的边界：任何两个数都有公因数1；一个数的因数个数有限，所以公因数个数也有限，最大公因数一定存在且唯一；最大公因数不会比两个数中较小的那个更大。15. 公倍数与最小公倍数几个数公有的倍数，叫作这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫作它们的最小公倍数。找公倍数用列举法：先分别写出（限定范围内）每个数的倍数，再找出相同的倍数，最后选出最小的。例如100以内4的倍数有4、8、12、16、20、24……，100以内6的倍数有6、12、18、24、30……，相同的倍数是12、24、36……，最小公倍数是12。需要记住的边界：一个数的倍数个数无限，所以公倍数个数也无限，没有最大的公倍数；最小公倍数一定存在且唯一，它不小于两个数中较大的那个。教材中的密码箱故事正是利用“相同的倍数中最小的”来破译密码。所以只能说“最大”公因数和“最小”公倍数，公因数个数有限、公倍数个数无限。16. 用短除法求最大公因数和最小公倍数除了列举法，还可以用短除法一次求出两个数的最大公因数和最小公倍数。步骤：把两个数并排写在一起，用它们的公因数（通常按2、3、5从小到大试）同时去除，把商写在各自正下方；继续用两个商的公因数去除，一直除到两个商只有公因数1为止。最大公因数=左侧所有除数相乘；最小公倍数=左侧所有除数与最后两个商相乘。例如求18和24：先同时除以2，得商9和12；再同时除以3，得商3和4；3和4只有公因数1，停止。最大公因数=2×3=6；最小公倍数=2×3×3×4=72。检验方法：用最大公因数除两个数，得到的商只有公因数1；最小公倍数应能被这两个数整除。短除法把“找共同部分”变成“连续除以公因数”，除数的乘积就是共同部分，再乘上各自剩余的商就得到能同时被两个数整除的最小的数。17. 单元知识网络与综合应用本单元可以整理成两条主线，再加一组分类标准：（1）倍数与最小公倍数：认识倍数，研究2、3、5的倍数特征，再认识公倍数与最小公倍数；（2）因数与最大公因数：认识因数，掌握找因数的方法，再认识公因数与最大公因数；质数与合数是按因数个数的多少对自然数进行的分类，奇数和偶数是按能否被2整除进行的分类。整理时先用一句话说出每个概念的意思，再为每个概念配一个例子，最后把“谁和谁有关系”用连线表示，就织成了知识网络。综合应用常考两类问题：（1）“既是……的倍数，又是……的因数”：先分别列出两个集合，再找交集，例如既是6的倍数又是24的因数，可以先写24的因数1、2、3、4、6、8、12、24，再看其中哪些是6的倍数：6、12、24；（2）猜数问题：把每个条件都当作“筛子”逐条筛选，最后用所有条件回代检验。数学文化：教材介绍了哥德巴赫猜想——任何一个大于4的偶数都可以表示成两个质数相加的形式，如6=3+3、8=3+5、12=5+7；教材“问题银行”还提出了“有最大的质数吗”这样值得深思的问题。易错汇总易错点 1【错因】倍数与因数是乘法算式中相互依存的一对关系，脱离另一个数就无法确定一个数的身份【自检方法】说话时补全“谁是谁的”：检查句子里“倍数”和“因数”各带了几个对象，各应为两个易错点 2【错因】教材约定了研究范围；0乘任何数都得0，会让“倍”失去大小意义【自检方法】看到0先停一下：这个数在不在自然数（零除外）的范围内？不在就不讨论易错点 3【错因】把2、5的倍数特征（看个位）错误迁移到3，没有经历“列举—观察—发现—验证”的过程【自检方法】用13、23验算：个位是3却不是3的倍数，立即排除个位判断法，改算数字和易错点 4【错因】只记住“只有两个因数”的说法，没有真正数一数1的因数个数【自检方法】数因数：1的因数只有1个，达不到质数要求的“两个”，排除；筛法中第一步就要划掉1易错点 5【错因】把两套分类标准绑在一起，没有分别核对【自检方法】背熟两组反例：2是偶数却是质数，9是奇数却是合数；判断质合先列因数易错点 6【错因】公因数与公倍数概念混淆，没有先分辨“在因数里找”还是“在倍数里找”【自检方法】先问自己：题目要的是因数中的共同部分，还是倍数中的共同部分？再动笔列举易错点 7【错因】把“倍数”和“质数本身”混在一起；以为筛完前几步就筛完了所有合数，没有完成检查环节【自检方法】划完检查两件事：2还在不在表里？留下的数里还有没有7的倍数（49、77、91）？易错点 8【错因】没有坚持成对记录，找到第一组小因数就收手，把“试到相遇”误当成“试了第一对”【自检方法】写完数一数：每个因数有没有成对出现；用“最小因数×最大因数=原数”核对首尾两对易错点 9【错因】倍数有无限多个，公倍数不止一个；把“最小公倍数”当成题目要求的答案，没有逐条核对限制条件【自检方法】把答案代回题目，逐条核对每一个限制条件；范围类题目先问“答案唯一吗”易错点 10【错因】没有建立情境标志与概念之间的对应，凭“最大最小”的表面字眼选择【自检方法】判断标志词：题目说“分完、正好、平均、截成整段”用公因数；题目说“同时、再次、重合”用公倍数易错点 11【错因】没有把乘法一路乘下去，写了两三个就收手，误以为倍数“就这些”【自检方法】写完把最后一个倍数再乘一次，确认积超过范围才算找完；数一数个数是不是题目范围允许的全部易错点 12【错因】没有理解特征来自“乘法积的个位循环”，把判断依据错放在数位权重或数的大小上【自检方法】判断前先念一遍规则“看个位”，只读个位数字再下结论；用135÷5=27验算五、易错精讲【例1】判断对错并说明理由：因为6×7＝42，所以42是倍数，6和7是因数。【例2】找出36的全部因数，并说说怎样找才能不重复、不遗漏。【例3】不计算，判断2019是不是3的倍数，并说明理由。【例4】判断：所有偶数都是合数。对吗？举例说明。【例5】小华用筛选法找1~100中的质数：先划掉1，再划掉2、3、5的倍数（2、3、5本身保留），然后说“我已经找全了”。你同意吗？请检查。【例6】用短除法求24和36的最大公因数和最小公倍数，并写出检验过程。【例7】一个数既是4的倍数，又是24的因数，这个数可能是多少？把可能的结果都写出来。易 错 专 练基础辨析1. 因为8×9＝72，所以可以说“72是倍数，8和9是因数”。（　　）2. 因为0×5＝0，所以0是5的倍数。（　　）3. 24的全部因数有（________）。4. 个位上是3、6或9的数都是3的倍数。（　　）5. 个位上是（________）的数都是2的倍数，2的倍数也叫（________）。6. 1是质数。（　　）7. 个位上是（________）的数都是5的倍数。8. 所有偶数都是合数。（　　）9. 用筛选法在百数表中找1~100的质数，第一步要先划掉（________）。10. 50以内7的倍数有（________）。方法巩固11. 下面各数中，同时是2和5的倍数的数是（________）。　　A. 25　　B. 36　　C. 40　　D. 4512. 下面各数中，是3的倍数的是（________）。　　A. 134　　B. 218　　C. 256　　D. 35713. 在6□4中填一个数字，使它成为3的倍数，可以填（________）。14. 因为12＝1×12＝2×6＝3×4，所以12的因数一共有6个。（　　）15. 用短除法求20和30的最大公因数和最小公倍数。16. 两个数的公倍数有无限多个，所以没有最大的公倍数。（　　）17. 把18支铅笔和24本练习本平均分给几个同学，正好分完，每个同学分到的铅笔同样多、练习本也同样多。最多能分给几个同学？18. 判断一个数是不是3的倍数，可以把各个数位上的数字相加，看和是不是3的倍数。（　　）19. 两个奇数的和一定是偶数。（　　）20. 9的倍数特征和3的倍数一样，也看各个数位上的数字之和。（　　）综合易错21. 一个数既是5的倍数，又是45的因数，这个数可能是多少？把可能的结果都写出来。22. 甲、乙两辆公交车从同一个车站同时出发，甲车每6分钟发一班，乙车每8分钟发一班。至少再过多少分钟两车又同时发车？23. 把两根分别长36厘米和48厘米的彩带剪成同样长的小段，正好剪完，没有剩余。每段最长是多少厘米？一共可以剪成多少段？24. 一个两位数，既是2的倍数，又是5的倍数，也是3的倍数。这个两位数最小是多少？25. 把60写成质数相乘的形式，并说明乘积中的每个因数为什么是质数。26. 小红在百数表中用筛选法找质数：划掉了1，划掉了2的倍数（2除外）、3的倍数（3除外）、5的倍数（5除外）后，就认为找全了。还有哪些数应该检查？它们分别是几的倍数？因数倍数含义能整除这个数的自然数这个数乘自然数所得的积个数有限无限最小的1它本身最大的它本身没有倍数判断方法举例2的倍数个位上是0、2、4、6、828、405的倍数个位上是0或535、403的倍数各个数位上的数字之和是3的倍数87，8+7=158的因数12的因数公因数最大公因数1、2、4、81、2、3、4、6、121、2、44错误正确42是倍数，6和7是因数。42是6和7的倍数，6和7是42的因数。错误正确个位上是3、6或9的数都是3的倍数。各个数位上的数字之和是3的倍数的数，才是3的倍数。数是几的倍数划去吗？8的倍数12的倍数公倍数最小公倍数常见错误正确认识说“42是倍数，6和7是因数”，把倍数、因数单独称说必须说全：42是6和7的倍数，6和7是42的因数常见错误正确认识认为0×5=0，所以0是5的倍数只在自然数（零除外）范围内研究倍数和因数，0不参与常见错误正确认识个位上是3、6或9的数就是3的倍数把各个数位上的数字相加，和是3的倍数的数才是3的倍数常见错误正确认识把1算作质数1只有1个因数，既不是质数也不是合数常见错误正确认识认为奇数都是质数、偶数都是合数奇偶看能否被2整除，质合看因数个数，这是两套不同的分类标准常见错误正确认识求4和6的最大公因数时写成12（把最小公倍数当公因数）公因数在“因数”里找共同部分，最大是2；公倍数在“倍数”里找共同部分，最小是12常见错误正确认识筛法划掉2的倍数时把2也划掉；或筛完2、3、5的倍数就收手，漏掉49、77、91划某质数的倍数时该质数本身要保留（教材原话“2要除外”）；筛完必须检查7的倍数是否漏划常见错误正确认识找12的因数写到1×12、2×6后就不写了，漏掉3×4这一对从1开始一对一对按顺序找，写到两个因数相遇或相邻（中间没有未试的数）就停止常见错误正确认识求出6和8的最小公倍数24就直接作答，忽略了题目“比40多、比60少”的范围限制先求最小公倍数，再依次列出公倍数（24、48、72……），挑选符合范围的那一个（48）常见错误正确认识“72面彩旗、54个花环平均分给各班方阵，最多分几个方阵”误算成最小公倍数平均分、正好分完、截成整段找公因数（用最大公因数）；同时发车、再次相遇、同时重合找公倍数（用最小公倍数）常见错误正确认识写“50以内6的倍数”只写6、12、18、24就结束用6依次乘1、2、3、4、5、6、7、8，得6、12、18、24、30、36、42、48，写到积超过50为止常见错误正确认识判断一个数是不是2或5的倍数时看十位或数的大小（如认为135不是5的倍数）只看个位：135的个位是5，是5的倍数；特征与十位及更高位无关