北师大版数学五年级上册第4单元单元知识梳理与易错精讲(教师版+学生版)

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第4单元 用字母表示(一) · 知识梳理与易错精讲单 元 知 识 梳 理一、学习目标1. 能用字母表示变化的数，会用含有字母的式子表示倍数、相差、周期等数量关系2. 掌握字母式子书写规范：数字在前、省略乘号、a×a写作a²，能规范改写并代入求值3. 能用列表、找关系、写式子、代入验证的方法表示图形与数列规律，并说明字母的含义与取值范围4. 理解并会用等式两边同加、同减、同乘、同除（除数不为0）的规律求未知量二、重点• 字母表示变化的数，含有字母的式子既表示数量，又表示数量之间的关系• 字母式书写规范与代入求值• 等式两边同加同减同乘同除（除数不为0），等式仍然成立三、难点• 区分字母式子表示的是某一类情况而不是唯一答案，代入求值时按正确顺序计算• 等式变形的同步性：两边必须做同一种运算，且作用于两边的整体学习支架青蛙儿歌中的数量关系三角形图案规律表用字母表示规律的四步1. 列表整理：序号与个数一一对应2. 找数量关系：每增加1个图案，个数增加几3. 写出字母式子：如三角形个数=3n4. 代入验证：把具体序号代入，与表中原数据对照代入求值的四步1. 说清字母表示什么、能取哪些数2. 把字母换成具体的数3. 按运算顺序计算4. 代回情境检验结果是否合理字母式书写正误对照等式两边同步变化等式规律的字母概括规律整理表（自己填）四、知识要点1. 字母可以表示变化的数儿歌从1只青蛙4条腿、2只青蛙8条腿、3只青蛙12条腿一直数到10只青蛙40条腿，后面还有永远也说不完的数。像'青蛙的只数'这样变化着又数不完的量，可以用一个字母来表示，如用a表示青蛙的只数。字母表示的是变化的数，而不是某一个固定的数。同一个问题中，同一个字母表示同一个数，不能一会儿表示只数、一会儿表示腿数。字母的取值要符合实际情境：青蛙只数a只能是1、2、3……这样的正整数。2. 用含有字母的式子表示数量关系含有字母的式子既表示数量，又表示数量之间的关系。倍数关系：腿数=只数的4倍，a只青蛙有4×a条腿；眼睛数是只数的2倍，有2×a只眼睛；n周有7×n天；n只手有5×n个手指；摆a个三角形需要3×a根小棒。相差关系：妈妈比淘气大26岁，用n表示淘气的年龄，妈妈的年龄是(n+26)岁；每76年出现一次的哈雷彗星在公元s年出现后，再一次出现是公元(s+76)年；第n层圆片数是(n+1)个。写式子时要能看出关系：只写'a条腿'看不出腿数与只数的关系，写'b条腿'更看不出b与a有什么联系，只有4×a明确表示'腿数是只数的4倍'。3. 字母式书写规范数与字母相乘，乘号可以省略，数字一般写在字母前面：4×a写作4a或4·a，a×5写作5a，不能写作a5。字母与字母相乘，乘号也可以省略：a×b写作ab。两个相同的字母相乘，写作带平方符号的形式：a×a=a²，读作a的平方。加号、减号、除号不能省略：20−a、s÷3都要保留符号。a²表示两个a相乘，2a表示两个a相加，两者含义不同。数字1与字母相乘时，1可以省略：a×1写作a。4. 用字母表示运算律和公式学过的运算律和公式可以写成字母形式：加法交换律a+b=b+a，乘法交换律a×b=b×a；正方形的周长C=4×a=4a，面积S=a×a=a²。乘法分配律也可以借助图形验证：长a、宽c的长方形甲与长b、宽c的长方形乙拼成一个大长方形，分着算甲、乙面积和是ac+bc，合着算整个长方形面积是(a+b)c，同一块图形面积相等，所以(a+b)c=ac+bc。用具体数验证：a=4、b=2、c=3时，(4+2)×3=18，4×3+2×3=18，两边相等。5. 从情境到字母式子：找关系、选字母、写式子把一个情境变成字母式子通常走三步：第一步读情境，找出数量关系，如总价=单价×数量、路程=速度×时间；第二步用字母表示变化的量，如a表示单价、b表示数量；第三步写出字母式子，如x=ab。同一个式子可以描述许多问题：一支笔a元买b支，总价x=ab；速度是a、行驶时间是b，路程x=ab。京张高铁情境中，用v表示平均时速、t表示时间、s表示路程，有s=vt、v=s÷t。苹果每千克7.2元，买x千克需要7.2x元；3千克梨花y元，每千克y÷3元；摄氏温度值c与华氏温度值f之间f=c×1.8+32。含有字母的式子本身就可以表示结果：鸵鸟速度70千米/时，t小时跑70t千米，70t就是答案，把t换成具体数才得到具体路程。6. 用字母表示规律：列表、找关系、写式子、代入验证把图案的序号和所需图形个数列成表，规律就清楚了：第1个图案3个三角形，第2个6个，第3个9个，第4个12个，第10个30个。从表中能看出两种关系：差的关系——每增加1个图案，三角形个数增加3个；倍的关系——第几个图案的个数正好是3的几倍，第10个是30=3×10。用n表示'第几个图案'，第n个图案需要的三角形个数就是3×n，简写为3n。淘气用'圈一圈'解释：1圈是1个3，2圈是2个3，n圈是n个3；笑笑从3个方向看：每个方向都有n个三角形，3个方向就是3个n。把n换成具体数算一算，再与列表中的数据对照，就是代入验证。同样的方法可迁移到新图形：用小正方形摆长方形，第1个用2个、第2个用4个、第3个用6个，第n个用2n个，第20个用40个。规律式中字母表示序号，一般只能取正整数。7. 代入求值、逆用与字母的取值范围声音在空气中每秒大约传播340米，从发出声音到听到回声，声音走的是'去+回'两段相同的路，所以听到回声的时间是往返时间，单程时间=往返时间÷2，距离=速度×单程时间=340×t÷2（t为往返时间，单位秒）。t=4时，340×(4÷2)=680（米）；t=6时，340×6÷2=1020（米）。逆用：已知距离s米，往返总路程是2×s米，往返时间=2×s÷340秒。注意先算t÷2再乘340，不能直接把340×t当作距离。字母的取值必须符合情境：时间t只能取正数；20−a表示剩下的钱，a不能超过20；青蛙只数只能取正整数。8. 等式两边都加（或减）同一个数，等式仍然成立天平平衡时，两边物体的总质量相等，可以写成等式，如5+5=10。在天平两边同时增加（或减少）相同的质量，天平仍平衡。翻译到等式上：5+5=10，两边同时加2，得到5+5+2=10+2，两边都等于12；两边同时减2，得到12−2=12−2，两边都等于10。再写出一些等式验证：10+9=19，两边都加10得10+9+10=19+10；55+7=62，两边都减2得55+7−2=62−2。规律保证的是相等关系不变，两边的数值可以改变，就像天平两边同时放上同样重的砝码仍然平衡。9. 等式两边都乘同一个数（或除以同一个不为0的数），等式仍然成立10×2=20，两边都乘2，得10×2×2=20×2，两边都等于40；5×4=10×2，两边都除以2，得5×4÷2=10×2÷2，两边都等于10。注意两个要点：第一，乘或除以的必须是同一个数，并且同时作用于两边的整体，例如18+25=43两边都乘4，应写成(18+25)×4=43×4，不能写成18+25×4=43×4；第二，0不能作除数，所以除以的数必须是'不为0的数'。用字母概括：若a=b，则a+c=b+c、a−c=b−c、a×c=b×c、a÷c=b÷c（c不为0）。10. 用等式规律求未知量等式规律可以用来求未知量。天平问题：天平一边放着鸡蛋和一个20g的砝码，另一边放着50g、20g、10g三个砝码，天平平衡。右边砝码共50+20+10=80(g)，先写出等式：鸡蛋质量+20=80。两边同时去掉20g（两边同时减20），左边只剩鸡蛋，右边还剩80−20=60(g)，所以鸡蛋重60克。检验：60+20=80，与右边平衡，符合题意。一般步骤：先写等式，再两边同加同减（或同乘同除）把未知量单独留在一边，最后代回原等式检验。易错汇总易错点 1【错因】只记住'用字母表示数'的结论，没有意识到字母一旦选定就对应一个确定的量，不同的量必须用不同的式子表示【自检方法】把字母换成一个具体数代回检验：a=3时，3只青蛙真的只有3条腿吗？易错点 2【错因】把'用了字母'当成'表示出关系'，忽略了式子必须承载倍数或相差的信息【自检方法】追问：b等于多少？它与a有什么关系？说不出关系就说明式子不完整易错点 3【错因】只记住'乘号可以省略'，没有同时记住'数字在前'和'平方'两条约定，还把乘法与加法混为一谈【自检方法】改写后把式子读出声：5a读'5乘a'，x²读'x的平方'，读不出正确含义就说明写错了易错点 4【错因】乘号省略后失去了乘法提示，学生按'3和n'并列的字面印象把乘法理解为相加【自检方法】把n换成具体数（如n=4），用列表中的数据12核对：3+n=7对不上，说明理解错了易错点 5【错因】没有把'听到回声'翻译成'声音走了往返两段路'，漏掉了除以2这一步【自检方法】用逆运算检验：距离×2÷340，看是否等于题目给出的往返时间易错点 6【错因】把字母当成'可以随便填的数'，取值后没有代回情境检验【自检方法】把取的值代回情境读一遍：'用去25元还剩20−25元'，这样的说法成立吗？易错点 7【错因】把等式当成两个独立的算式，忘了它是一架天平，两边必须同步变化才保持平衡【自检方法】每写一步，先看等号左边做了什么运算，再检查右边是否做了完全相同的运算五、易错精讲【例1】淘气用a表示青蛙的只数，写出了'a只青蛙a张嘴，a只眼睛，a条腿'。他说得对吗？为什么？应该怎样写？【解题思路】先把字母换成具体数检验：a=3时，3只青蛙应有6只眼睛、12条腿，而不是3只眼睛、3条腿；再想清每个量与只数之间是什么关系。【解答】不对。同一个字母a一旦表示只数，就不能再表示眼睛数或腿数。嘴数与只数相同写a，眼睛数是只数的2倍写2×a，腿数是只数的4倍写4×a。正确写法：a只青蛙a张嘴，2×a只眼睛，4×a条腿。【易错点】同一字母表示两个不同量，是'用字母表示数'最典型的错误；自检办法是把a换成3代回：3只青蛙只能是3张嘴、6只眼睛、12条腿。【例2】把下面的式子按书写规范改写：a×5、x×x、4×a×b、a×1、a+b。并说明哪些乘号可以省略、哪些符号不能省略。【解题思路】逐项检查：数与字母、字母与字母相乘可省略乘号且数字写在前；两个相同字母相乘用平方；加、减、除号一律不能省略。【解答】a×5写作5a；x×x写作x²；4×a×b写作4ab；a×1写作a（数字1与字母相乘，1省略不写）；a+b不能省略加号，仍写a+b。【易错点】容易把a×5写成a5、把x×x写成x2或2x、把a×1写成1a、把a+b写成ab；改写后读出声即可检查。【例3】照样子摆三角形图案：第1个图案用3个三角形，第2个用6个，第3个用9个。小刚说第n个图案需要'3+n'个三角形。他错在哪里？第4个图案需要多少个三角形？【解题思路】用列表对照：第4个图案实际是12个三角形；分别算一算3+n=7、3n=12，再与摆出的图形比较。【解答】3+n表示3加n，n=4时等于7，与图形不符。第n个图案的个数是n个3，即3×n=3n个。第4个图案：3×4=12（个）。【易错点】乘号省略后把乘法读成了加法；判断时把n换成具体数并与列表数据核对，是识别这类错误的可靠办法。【例4】赵叔叔对着山崖喊话，经过6秒听到回声。声音每秒约传播340米，他离山崖约多少米？反过来，如果他离山崖1020米，从喊话到听到回声需要多少秒？【解题思路】6秒是声音往返的总时间，先除以2得到单程时间，再用'速度×时间=路程'；逆用同理：声音往返的总路程=距离×2。【解答】单程时间=6÷2=3（秒），距离=340×3=1020（米）。逆用：往返总路程=1020×2=2040（米），时间=2040÷340=6（秒）。两问互相印证：6秒听到回声对应1020米。【易错点】漏掉'÷2'直接用340×6，会把距离算成实际的2倍；逆用时要先乘2再除以速度，不能直接用1020÷340。【例5】笑笑有20元，买书包用去a元，还剩（20−a）元。a能取25吗？a能取哪些数？【解题思路】把a=25代回情境：还剩20−25元，剩下的是负数，钱数不可能是负数，所以a=25不合理；再想剩下的钱不能少于0。【解答】a=25时，20−25=−5（元），剩下的钱不可能是负数，所以a不能取25。a应满足0≤a≤20，且在这个范围内一般取整元数。【易错点】字母取值必须经过情境检验，'字母可以表示数'不等于'字母可以取任何数'；取值后代回情境读一遍是最快的检查办法。【例6】天平左边放一个鸡蛋和一个20g的砝码，右边放50g、20g、10g三个砝码，天平平衡。鸡蛋重多少克？【解题思路】先写出等式：鸡蛋质量+20=50+20+10；把两边同时去掉（减去）20g，未知量就单独留在左边。【解答】右边总质量：50+20+10=80（g），等式为：鸡蛋质量+20=80。两边同时减去20g：鸡蛋质量+20−20=80−20，鸡蛋质量=60（g）。检验：60+20=80，与右边平衡，符合题意。答：鸡蛋重60克。【易错点】容易只对右边'去掉20g'，忘记左边也要同步减去20g；检验时把结果代回原等式，而不是只看最后一步。【例7】等式18+25=43两边都乘4，小华写成18+25×4=43×4。他写得对吗？正确写法是什么？【解题思路】'两边都乘4'意味着每一边整体乘4：右边43×4是对的，左边必须把18+25整个括起来乘4。【解答】不对。小华只给左边的25乘了4，18没有乘，两边变化不同步。正确写法：(18+25)×4=43×4，两边都等于172。【易错点】把'每一边整体乘4'误解成'只给每边最后一个数乘4'；乘除运算必须作用于两边的整体，括号不能丢。【例8】摄氏温度值c与华氏温度值f的关系是f=c×1.8+32。25℃相当于多少华氏度？反过来，77华氏度相当于多少摄氏度？【解题思路】求华氏度把c=25代入；逆用求摄氏度：先减32，再除以1.8。【解答】c=25时，f=25×1.8+32=45+32=77，25℃相当于77华氏度。逆用：77−32=45，45÷1.8=25，77华氏度相当于25℃。两问互相印证。【易错点】代入时容易漏加32，或把顺序搞反算成25×（1.8+32）；逆用要按相反顺序：先减32，再除以1.8。易 错 专 练代入求值的四步1. 说清字母表示什么、能取哪些数2. 把字母换成具体的数3. 按运算顺序计算4. 代回情境检验结果是否合理规律整理表（自己填）基础辨析1. 字母可以表示变化的数，所以字母的取值不需要考虑实际情境。（　　）2. 'a只青蛙a条腿'能正确表示青蛙只数与腿数的关系。（　　）3. a×5按规范应写成5a，数字写在字母前面。（　　）4. x×x可以写成x2。（　　）5. 等式两边都加同一个数，等式仍然成立。（　　）6. 等式两边都除以0，等式仍然成立。（　　）7. 1只手有5个手指，n只手有（________）个手指。8. 如果用n表示淘气的年龄，妈妈比他大26岁，妈妈的年龄是（________）岁。9. 正方形的边长是a，周长C=（________），面积S=（________）。10. 当t=6时，计算340×t÷2的值。方法巩固11. 下面哪个式子的写法是规范的？　　A. a×5=a5　　B. x×x=x2　　C. a×5=5a　　D. a+b=ab12. 苹果每千克7.2元，买x千克需要（________）元。下面哪个式子正确？　　A. 7.2+x　　B. 7.2−x　　C. 7.2x　　D. x÷7.213. 声音每秒约传播340米。小丽站在桥洞下喊话，经过1.4秒听到回声，桥洞顶部到水面的距离约是多少米？14. 小刚求'三角形个数=3n'中n=4时的三角形个数，算成3+4=7（个）。他错在哪里？正确结果是多少？15. 小华把等式18+25=43两边都乘4，写成18+25×4=43×4。他写得对吗？正确写法是什么？16. 天平一边放一个橙子和一个30g的砝码，另一边放一个100g的砝码，天平平衡。两边同时去掉30g的砝码，橙子重多少克？17. 鸵鸟的奔跑速度是70千米/时，t小时奔跑多少千米？2.5小时呢？18. 笑笑用小正方形摆长方形：第1个用2个，第2个用4个，第3个用6个。第n个长方形用（________）个小正方形，第20个长方形用（________）个小正方形。综合易错19. 小明站在山谷里对山崖喊话，经过1.6秒听到回声，他离山崖多少米？他向前走了一段路后再喊，1.2秒听到回声，他向前走了多少米？20. 用圆片摆正方形图案：第1个图案用1个圆片，第2个用4个，第3个用9个。第n个图案用多少个圆片？第6个图案呢？21. 摄氏温度值c和华氏温度值f的关系是f=c×1.8+32。77华氏度相当于多少摄氏度？小刚说'77华氏度等于25℃'，他说得对吗？22. 小芳说：字母n表示图案的序号，所以n可以取0.5、1.5这样的数。她说得对吗？为什么？23. 请用含有字母的式子3n编一道生活中的问题，并说明式子中的3和n分别表示什么，n能取哪些数。参 考 答 案第1题：×【解析】字母表示数时必须符合情境：如青蛙只数只能取正整数，时间不能取负数，剩下的钱不能是负数。第2题：×【解析】腿数是只数的4倍，应写成4×a；同一个字母不能既表示只数又表示腿数。第3题：√【解析】数与字母相乘，乘号可以省略，数字一般写在字母前面，所以a×5写作5a。第4题：×【解析】两个相同的字母相乘应写作x²，读作x的平方；x2不是规范写法。第5题：√【解析】等式两边同时增加相同的量，两边仍然相等，就像平衡的天平两边放上同样重的砝码。第6题：×【解析】除数不能是0，除以0的算式没有意义，所以规律中必须强调'除以同一个不为0的数'。第7题：5n【解析】手指数=5×n，数与字母相乘数字写在前面，写作5n。第8题：n+26【解析】妈妈的年龄=淘气的年龄+26，加号不能省略。第9题：4a；a²【解析】周长=4×a写作4a；面积=a×a写作a²，读作a的平方。第10题：1020【解析】340×6÷2=2040÷2=1020。第11题：C【解析】数与字母相乘数字写在前；相同字母相乘写平方；加号不能省略。【易错点】书写规范三连错：数字在后、平方漏写、加号省略。第12题：C【解析】总价=单价×数量=7.2×x，按规范写作7.2x。【易错点】把'每千克7.2元'错当成加或除的关系。第13题：238【解析】1.4秒是声音往返的总时间，单程时间=1.4÷2=0.7（秒），距离=340×0.7=238（米）。【易错点】把1.4秒直接乘340，忘掉除以2；用'距离×2÷340'倒着验算。第14题：12（个）；3n表示3乘n，3×4=12，不是3加4。【解析】省略乘号后仍然表示乘法关系；n=4时图形实际有12个三角形，与列表数据一致。【易错点】把3n读成'3加n'；把n换成具体数并与图形或列表对照即可发现错误。第15题：172；正确写法：(18+25)×4=43×4=172。【解析】两边乘同一个数，必须作用于两边的整体：左边18和25都要乘4，(18+25)×4=172，43×4=172。【易错点】把'两边整体乘'误解为'只给每边的某个数乘'。第16题：70【解析】等式两边同时减去30g：橙子质量+30−30=100−30，橙子质量=70（g）。检验：70+30=100，符合题意。【易错点】只在右边减30，忘记左边也要同步减30。第17题：175【解析】t小时跑70×t=70t千米；2.5小时：70×2.5=175（千米）。70t本身就是结果，不必再追问等于多少。【易错点】把'70t就是路程'当成'还没算完'，或代入时漏掉速度。第18题：40；2n（n个图案每排2个）。【解析】每增加1个长方形增加2个小正方形，第n个是2×n=2n个；第20个：2×20=40（个）。第19题：272米，向前走了68米【解析】原距离：340×1.6÷2=272（米）；走后的距离：340×1.2÷2=204（米）；前进的路程=272−204=68（米）。【易错点】第一问漏除以2，或第二问忘记用两次距离相减而直接用两次时间相减。第20题：36【解析】第n个图案每行n个、共n行，用n×n=n²个圆片；第6个：6×6=36（个）。【易错点】把n²写成2n，把'每边n个'理解成'增加n个'。第21题：25（℃）；77华氏度相当于25℃，小刚说得对。【解析】逆用换算关系：先减32再除以1.8，77−32=45，45÷1.8=25（℃）。【易错点】逆用顺序错误：先除以1.8再减32，或先减32再乘1.8。第22题：不对。n表示'第几个图案'，图案是一个一个摆出来的，n只能取1、2、3……这样的正整数。【解析】字母的取值范围由情境决定：图案序号不可能出现半个；这与路程、时间可以取小数的情况不同，要具体情境具体分析。【易错点】以为字母可以取任意数；先说出字母表示什么，再判断哪些数符合实际。第23题：示例：每盒巧克力有3块，n盒共有3n块巧克力；3表示每盒的块数，n表示盒数，n只能取0、1、2……等自然数。合理情境均可。【解析】编题时式子各部分都要有实际含义：3是'每份的量'，n是'份数'，两者相乘得到总量；答案不唯一，由教师复核。【易错点】编出的情境与式子对不上，或说不清3和n各自的含义。青蛙只数123410a嘴巴（张）123410a眼睛（只）2468202×a腿（条）481216404×a图案序号123410n三角形个数36912303n错误写法正确写法a×5写作a5x×x写作x2x×x写作2xa+b写作aba×5写作5a（数字在前）x×x写作x²（读作x的平方）x²表示两个x相乘，2x表示两个x相加a+b的加号不能省略错误正确5+5=10，只在左边加3：5+5+3=105+5=10，两边都加3：5+5+3=10+3规律字母表示等式两边都加ca+c=b+c等式两边都减ca−c=b−c等式两边都乘ca×c=b×c等式两边都除以c（c不为0）a÷c=b÷c图案序号三角形个数小正方形个数常见错误正确认识写'a只青蛙a条腿'，用同一个字母a既表示只数又表示腿数同一个问题中同一个字母表示同一个数；腿数是只数的4倍，应写4×a常见错误正确认识写'a只青蛙b条腿'，认为只要是字母就行式子要能看出数量关系：4×a明确表示腿数是只数的4倍，b看不出与a的关系，所以不完整常见错误正确认识书写不规范：a×5写成a5，x×x写成x2或2x，a+b写成ab数字写在字母前面：a×5写作5a；相同字母相乘写作平方：x×x=x²；x²表示两个x相乘，2x表示两个x相加；加号不能省略常见错误正确认识把3n读成或理解成'3加n'，第n个图案算成3+n个三角形3n表示3个n相乘关系，第n个图案需要3×n个三角形；n=4时是12个而不是7个常见错误正确认识回声测距时把往返时间当单程时间：4秒听到回声，直接用340×4=1360米4秒是声音'去+回'的总时间，单程时间=4÷2=2秒，距离=340×2=680米；式子应写340×(t÷2)常见错误正确认识字母取值不合理：20−a中让a=25，或认为时间t可以是0字母的取值要符合情境：剩下的钱20−a不能是负数，a只能在0到20之间；时间必须大于0常见错误正确认识等式变形不同步：只在一边加（减、乘、除），或只给每边的一部分乘（如18+25×4=43×4）两边必须同时做同一种运算，并作用于两边的整体：(18+25)×4=43×4；除以的数不能为0图案序号三角形个数小正方形个数