北师大版数学五年级上册第8单元单元知识梳理与易错精讲(教师版+学生版)

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第8单元 可能性 · 知识梳理与易错精讲单 元 知 识 梳 理一、学习目标1. 能区分确定事件（一定发生、不可能发生）与不确定事件（可能发生），并用“一定”“不可能”“可能”正确描述2. 能通过比较可能结果的个数（数量、份数）比较可能性大小，判断并设计对双方公平的游戏规则3. 能按“记录→整理→比较→推测”完成摸球等试验，用数据推断哪种结果可能多，并说出数据越多越可靠4. 能运用“有代表性的样本＋估算”的方法，解决“多少落叶能铺满”一类的估算问题二、重点• 确定事件与不确定事件的判断• 可能性大小由结果个数决定：数量多、占的份数多，可能性就大• 公平＝双方获胜的可能性相等，判断要列出全部可能结果• 用试验数据推测：哪种结果出现得多，哪种情况就可能多三、难点• 区分“可能性大”与“一定”、“可能性小”与“不可能”• 把试验次数与盒子里的实际个数分开，不把少量偶然结果当规律• 判断公平不能只数可能结果的种类，要数双方各占几种学习支架事件分类表“很可能”不等于“一定”骰子的6种结果逐一归属判断游戏是否公平的三步法1. 列出所有可能结果，不能遗漏2. 数一数，双方各对应几种可能3. 比较个数：相等则公平，不相等则不公平摸球实验记录表（摸后放回、摇匀，先摸20次）次数不等于个数20次摸球数据汇总（示例）“多少落叶能铺满”的估算三步四、知识要点1. 确定事件与不确定事件事件的结果可以分为两类。结果确定的事件叫确定事件：如果结果只有一种而且必然出现，就用“一定”描述，例如太阳每天从东方升起；如果一种结果也不会出现，就用“不可能”描述，例如从只有白球的盒子里摸出红球。结果不确定的事件叫不确定事件：可能出现两种或更多种结果，事先无法确定是哪一种，用“可能”描述，例如掷硬币可能正面朝上，也可能反面朝上。判断分四步：第一步，想一想这个事件可能出现哪些结果；第二步，只有一种结果且必然出现，用“一定”；第三步，这种结果根本不可能实现，用“不可能”；第四步，两种或更多种结果都有可能，用“可能”。反过来，放球时想让“一定摸到红球”，盒子里就只放红球；想让“不可能摸到红球”，盒子里一个红球也不放。这是本单元判断一切事件的语言基础。2. 每次试验的结果无法事先确定与同伴轮流掷10次硬币，先猜猜哪面朝上，再把实际结果记录下来。掷硬币可能正面朝上，也可能反面朝上，所以有时能猜对，有时猜不对。两个关键结论：第一，不确定事件的结果在试验之前无法确定，只能说出“可能是什么”；第二，每次试验是相互独立的——前一次掷出正面，不代表下一次一定是反面；连续三次摸到黄球（每次放回摇匀），也不代表第四次一定还是黄球。10次记录中正面、反面都可能出现，每一次的结果都无法事先确定，这正是“不确定性”的含义。3. 可能性有大有小分别转动几个转盘，指针指向蓝色的可能性有大有小。比较方法：转盘被平均分成若干份时，蓝色区域占的份数越多（蓝色区域越大），指针指向蓝色的可能性就越大；占的份数越少，可能性就越小。摸球也一样：哪种颜色的球数量越多，摸到它的可能性就越大。两条重要边界：第一，只要转盘上有蓝色区域，指针就“可能”指向蓝色，占的份数少只表示机会少，不表示不会发生；如果整个转盘都是蓝色，指针就“一定”指向蓝色，这时“可能”变成了“一定”。第二，可能性大只表示机会更多，不表示它一定会发生。“很可能”不等于“一定”，“可能性小”不等于“不可能”。4. 公平的含义与判断方法游戏规则对双方公平，指的是双方获胜的可能性相等。判断三步：第一步，列出所有可能结果，不能遗漏；第二步，数一数，每一种结果各有几种可能，比较双方获胜的可能性是否相等；第三步，下结论——可能性相等则公平，不相等则不公平。例如抛硬币：正面朝上1种可能，反面朝上1种可能，机会相等，公平。例如掷骰子：点数1到6共6种结果，点数大于3的有4、5、6共3种，点数小于3的有1、2共2种，点数3既不大于3也不小于3，不属于任何一方；3种对2种，可能性不相等，规则不公平。注意：像“点数等于3重新来”“摸到其他颜色不得分”这样的结果，双方都不得分，不改变双方机会的比较，不能靠它把不公平的规则“补”成公平。5. 设计公平的游戏规则要使规则对双方都公平，就要让双方对应的可能结果个数相等。常见做法：摸球——把2个红球、2个白球共4个球放入袋中摇匀，摸到红球强强先走，摸到白球小华先走，红球2种、白球2种，机会相等；抽签——签的数量、内容相同，每人抽到每支签的可能性相等；转盘——把转盘平均分成若干份，分配给双方的份数相等，指针停在面积相等的区域上的可能性相等。设计好规则后，还要用“列出可能结果→比较个数”的方法检验：双方对应的结果个数相等，设计才算成功。6. 表面公平实际不公平：抛瓶盖用抛瓶盖决定谁去：盖面朝上我去，盖面朝下你去。瓶盖只有两种结果，看起来“应该是公平的吧”，其实不一定。瓶盖不是均匀的：一面是平面，一面是凹面，两面轻重不一样，较重的一面着地的可能性更大，所以“盖面朝上”和“盖面朝下”的可能性并不相等。怎么检验？动手试验：与同伴做20次游戏并记录结果，再汇总全班数据。如果两种结果的次数比较接近，规则可能公平；如果一种结果明显多，规则就不公平。想一想：哪一面重，它着地的可能性就大。试验的次数越多，数据越能真实反映可能性的大小；只凭自己几次的结果就下结论，往往会被偶然现象骗到。7. 摸球实验的规则与数据整理不打开盒子，怎样知道盒子里红球多还是黄球多？最可靠的办法是做摸球实验，三条规则：①摸出球后先记下颜色；②记完把球放回盒子里；③放回后使劲摇一摇，再摸下一次。放回并摇匀，是为了让每一次摸球前盒子里的情况都一样，数据才真实可信。摸多少次合适？5次太少了，多摸几次吧，先摸20次。记录时为了方便数数，可以用画“正”字的方法：摸到一次红球，就在红球名下画一笔，一个“正”字5笔代表5次；摸完后数出红球、黄球名下各有几笔，整理成“摸出红球（　　）次、摸出黄球（　　）次”再比较。8. 根据数据推测：哪种球多把摸出红球和黄球的次数比一比：摸出次数多的颜色，盒子里这种颜色的球可能多。例如摸20次中红球15次、黄球5次，红球次数明显多，就可以推测盒子里红球可能比黄球多。三个要点：第一，各小组摸到的次数不完全一样是正常的，因为每次摸到的球是不确定的；第二，数据越多推测越可靠——多摸几次、汇总全班数据，比只看自己小组的几次更有说服力；第三，只能判断“哪种多”，不能确定具体个数——次数是试验结果，个数是盒子里的实际情况，两者不能画等号，想知道红球、黄球各多少个，必须打开盒子数一数。9. 用试验结果判断“最有可能”“哪种结果出现得多，哪种情况就越可能”可以迁移到其他游戏里。掷正方体积木：1号积木3面蓝色3面黄色，2号积木1面蓝色5面黄色；淘气掷20次，蓝色面朝上3次、黄色面朝上17次——黄色面出现得多，说明积木上黄色的面可能比较多，所以淘气掷的最可能是2号积木。转盘游戏：转盘上哪种图案占的区域大，指针停在它上面的可能性就大。奇思转40次，一种图案出现29次、另一种出现11次，那么转盘最可能是“大区域图案”明显占多数的设计，不可能是根本没有那种图案（或那种图案区域极小）的设计。注意：29次、11次是试验结果，转盘上的份数是设计，两者不必相等——只要A区域明显大于B区域，结果就可能接近29比11。10. 综合实践：多少落叶能铺满“估一估多少片落叶能铺满一块地面”不是一片片去数，而是分三步推算。第一步，测地面面积：小组合作画出这块地面的草图，说一说计算面积需要测量哪些数据，再实地测量并计算；地面不规则时可以分割成一个长方形和三角形等已学图形分别计算，边长太长可以用“步长估测法”先量一步大约多长再估算。第二步，估单片落叶面积：落叶太多无法一一测量，要选有代表性的落叶——可以把一小堆树叶分成大、中、小三类，每类选一片算平均；也可以把每片树叶描在边长1厘米的方格纸上数格，半格按半格算：面积≈整格数＋半格数÷2（如整格10格、半格18格，18÷2＋10＝19格，约19平方厘米）；还可以把落叶近似看成长方形。第三步，推算片数：大约片数＝地面面积÷单片落叶面积，列式前注意两点——两个面积单位要统一；地面中间有树、花坛等不能铺落叶的部分要先减去。最后把“研究问题、小组分工、研究过程、研究结论”写成研究报告，分享时对照三个问题互评：方案与实践过程展示清楚吗？数据测量和计算准确吗？落叶选得有代表性吗？易错汇总易错点 1【错因】把数量优势直接等同于必然发生，忽略了全部可能结果中仍然存在白球【自检方法】先列出盒子里所有可能摸到的颜色：结果不止一种，就不能用“一定”易错点 2【错因】把少量偶然结果当成了必然规律，缺少“试验次数越多越可靠”的数据意识【自检方法】问自己：这次摸球前盒子里的情况变了吗？没有变，前一次的结果就不能决定这一次易错点 3【错因】混淆了抽样得到的频率与总体结构，把试验结果直接当成了实物本身【自检方法】把“摸到15次”读成“大约摸了15次”，再问自己：次数等于个数吗？易错点 4【错因】把“结果的种类数”当成了“可能性的大小”，忽略了实物结构（轻重、面积）对可能性的影响【自检方法】列出每种结果属于谁，数清双方各对应几种可能，再想一想实物两面是否均匀易错点 5【错因】没有把6种结果逐一列出并归属，把“可能获胜”误当成“机会相等”【自检方法】把骰子的6个面逐一写下来，数清双方各得几个面再比较易错点 6【错因】把估算当成精确数数，忽略了半格折算、单位统一和不可铺区域等结构性细节【自检方法】列式前检查三件事：单位统一了吗？有不能铺的部分吗？半格是按半格算的吗？五、易错精讲【例1】盒子里有5个黄球和1个白球，从中任意摸出一个球。小华说：“黄球多，一定能摸到黄球。”他说得对吗？为什么？【例2】小明连续摸球（每次摸完放回摇匀），前三次摸到的都是黄球。他断言第四次一定还是黄球。判断他的说法是否正确。【例3】用掷骰子决定谁先走：点数大于3强强先走，点数小于3小华先走。这个游戏公平吗？如果不公平，怎样修改？【例4】小组摸了20次球（每次放回摇匀），红球15次、黄球5次。小丽说：“盒子里红球一定是15个，黄球一定是5个。”她说得对吗？【例5】李叔叔设计了一个转盘，上面画有两种图案。奇思转了40次，图案A出现29次、图案B出现11次。这个转盘最有可能是什么样子？不可能是什么设计？【例6】用方格纸法估一片落叶的面积：把落叶描在边长1厘米的方格纸上，数得整格12格、半格16格。这片落叶的面积大约是多少平方厘米？【例7】一块长10米、宽6米的长方形地面要铺落叶，中间有一个边长2米的正方形树池不能铺。可铺落叶的面积是多少平方米？如果每片落叶面积约800平方厘米，铺满大约需要多少片？易 错 专 练摸球实验记录表（摸后放回、摇匀，先摸20次）基础辨析1. 太阳每天从东方升起，是确定事件。（　　）2. 盒子里只有白球，任意摸一次，不可能摸到红球。（　　）3. 小华前三次摸到的都是黄球（每次放回摇匀），第四次一定还是黄球。（　　）4. 转盘上蓝色只占1份，指针就不可能指向蓝色。（　　）5. 明天（________）下雨，也可能不下雨，用“一定”“不可能”“可能”填空。6. 盒子里有4个红球和2个白球，任意摸一次，摸到（________）球的可能性大。7. 抛硬币决定谁先走：正面朝上甲先走，反面朝上乙先走。这个游戏对双方公平。（　　）8. 掷骰子：点数大于3甲先走，点数小于3乙先走。这个游戏对双方公平。（　　）9. 摸了20次球（放回摇匀），红球12次、白球8次，所以盒子里红球一定比白球多。（　　）方法巩固10. 下面说法正确的是（________）。　　A. 明天一定下雨　　B. 从只有红球的盒子里任意摸一次，不可能摸出白球　　C. 掷硬币前10次都是正面朝上，第11次一定是反面朝上　　D. 可能性大的事件一定会发生11. 四个袋子里球的颜色和个数如下，任意摸一次，摸到红球可能性最大的是（________）。　　A. 红球2个、白球4个　　B. 红球3个、白球3个　　C. 红球4个、白球2个　　D. 红球5个、白球1个12. 淘气掷一块正方体积木20次，蓝色面朝上17次、黄色面朝上3次。这块积木最可能的面色设计是（________）。　　A. 3面蓝色、3面黄色　　B. 1面蓝色、5面黄色　　C. 5面蓝色、1面黄色　　D. 6面都是黄色13. 盒子里要放8个球（只有红、白两种颜色），使任意摸一次摸到红球的可能性比白球大。一共有几种放法？分别写出来。14. 用点数为1～8的8张扑克牌（每种点数各一张，反面朝上扣在桌上），设计一个对双方都公平的游戏规则，并说明理由。15. 淘气和笑笑用抛瓶盖决定谁去踢球：盖面朝上淘气去，盖面朝下笑笑去。两人共做了20次，盖面朝上14次、盖面朝下6次。这个游戏公平吗？为什么？16. 一片落叶描在边长1厘米的方格纸上，数得整格15格、半格14格。这片落叶的面积大约是多少平方厘米？综合易错17. 四个小组做摸球实验（每次放回摇匀），每组摸10次，结果如下：一组红球9次、黄球1次；二组红球7次、黄球3次；三组红球8次、黄球2次；四组红球6次、黄球4次。汇总后红球、黄球各摸出多少次？推测盒子里哪种球可能多？为什么不能确定红球、黄球各有多少个？18. 教室地面长9米、宽6米。估一估，铺满教室地面大约需要多少张长30厘米、宽20厘米的A4纸？（先统一单位，用“大约”表达结果）19. 掷骰子决定谁先走：点数大于3甲先走，点数小于3乙先走。小丽说：“只要在规则里加一条‘点数等于3重新掷’，就能变公平。”她说得对吗？为什么？20. 小明连续摸了5次球（每次放回摇匀），4次红球、1次白球。他说：“盒子里一定红球多。”请你评价他的说法，并设计一个更可靠的做法。21. 甲转盘平均分成8份，蓝色占4份；乙转盘平均分成8份，蓝色占2份。各转50次，哪个转盘指针指向蓝色的次数一般会更多？为什么？是不是甲转盘每次都会比乙转盘多？事件类型结果情况用什么词描述例子确定事件结果只有一种，而且必然出现一定太阳每天从东方升起确定事件一种结果也不会出现不可能从只有白球的盒子里摸出红球不确定事件两种或更多种结果都可能可能掷硬币，正面朝上或反面朝上错误想法正确认识盒子里黄球多，所以一定能摸到黄球。黄球多，摸到黄球的可能性大，但仍可能摸到白球，只能说“可能”。点数归属1、2点数小于3，小华先走（2种）3既不大于3也不小于3，不属于任何一方4、5、6点数大于3，强强先走（3种）第几次摸出的颜色（用“正”字统计）错误认识正确认识摸了15次红球，盒子里红球就有15个。15次是试验结果，个数是盒子里的实际情况；数据只能推测哪种球多，不能确定具体个数。颜色摸出次数比较与推测红球15次数多，盒子里红球可能比黄球多黄球5次数少，但不能说盒子里没有黄球推测——只能判断“哪种多”，不能确定各有多少个步骤要做什么方法测地面面积画草图、测量数据、计算面积分割法、步长估测法估单片落叶面积选择有代表性的落叶分大中小三类取平均、方格纸数格、近似看成长方形推算片数地面面积÷单片落叶面积统一单位、先减去树池等不可铺部分、用“大约”表达常见错误正确认识盒子里有5个黄球、1个白球，就认为“一定能摸到黄球”只要白球仍然可能被摸到，就只能说“摸到黄球的可能性大”，不能用“一定”；只有当盒子里全是黄球时才能说“一定”常见错误正确认识前三次摸到的都是黄球，就断定第四次一定还是黄球；摸了5次有4次红球，就断定盒子里红球多每次摸球前都放回摇匀，条件完全相同，单次结果互不影响，前一次的结果不能决定后一次；5次太少，要多摸几次并汇总数据再推测常见错误正确认识摸了20次红球15次，就认为盒子里红球有15个；转盘出现29次，就认为红色区域必须占29份次数是试验结果，个数（份数）是实物结构，两者不能画等号；数据只能帮助推测“哪种多”“哪种区域大”，不能确定具体数值常见错误正确认识认为“只有两种可能结果，游戏就一定公平”，用抛瓶盖决定谁去公平看双方获胜的可能性是否相等；瓶盖两面轻重不同，两种结果的次数差异明显，汇总全班数据可以证明它不公平常见错误正确认识认为“掷骰子点数大于3对点数小于3，双方都有可能赢，所以公平”大于3有3种可能（4、5、6），小于3只有2种可能（1、2），3种对2种，可能性不相等，不公平；要改成双方各3种的规则常见错误正确认识估算落叶面积时把18个半格都按整格算（得28格）；推算片数时不统一单位、不减树池半格要按半格算：整格数＋半格数÷2，18个半格折算9格；相除前先统一两个面积单位，并先减去树、花坛等不能铺落叶的部分第几次摸出的颜色（用“正”字统计）小组红球次数黄球次数一组91二组73三组82四组64