北师大版数学五年级上册第2单元单元知识梳理与易错精讲(教师版+学生版)

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第2单元 三角形的再认识 · 知识梳理与易错精讲单 元 知 识 梳 理一、学习目标1. 能理解并运用“三角形任意两边之和大于第三边”判断三条线段能否围成三角形，确定已知两边时第三条边的取值范围2. 能运用“三角形内角和等于180°”求未知角、按角分类，并说明内角和与三角形的大小、形状无关3. 能用分割成三角形的方法求四边形、五边形、六边形的内角和，发现“分成的三角形个数比边数少2”的规律4. 能依据密铺的定义和“围绕拼接点角拼成360°”判断图形能否密铺，并设计一幅密铺作品二、重点• 三角形任意两边之和大于第三边（“任意”与“大于”不含等于）• 三角形内角和等于180°，四边形、多边形内角和通过分割转化为三角形求得• 密铺的两条标准与“角拼成360°”的本质三、难点• 判断三边关系时三组都要满足，以及第三边的双向取值范围• 把不认识的图形转化为三角形来求内角和，分割时不重不漏• 把一个角是60°的三角形误判为等边三角形，以及逆命题误用学习支架判断三条线段能否围成三角形：错误做法与正确做法第三条边的取值范围（两条边分别是5cm和8cm）尺规作三角形（以三边2cm、3cm、4cm为例）1. 画一条射线，用圆规量取4cm，截得底边AB＝4cm2. 以A为圆心、3cm为半径画弧，以B为圆心、2cm为半径画弧，两弧交于点C3. 连接AC、BC，三角形ABC就是所求三角形4. 用刻度尺量一量、用量角器量一量，检验三条边和角是否符合要求五边形从一个顶点出发的分割（分成3个三角形）多边形内角和规律求未知角：少减一个角的错误常见图形能否密铺四、知识要点1. 三角形任意两边之和大于第三边妙想用同一组线段反复试画三角形，发现第三条边太短画不成、太长也画不成，只有“不长不短”才画得成，由此得到本单元第一条核心规律：三角形任意两边之和大于第三边。理解这条规律要抓住两个关键词。一是“任意”：三条边随便拿出两条相加，和都必须大于第三条边，三组都不能例外；只比较其中一组就下结论，会漏掉不满足的搭配。二是“大于”：严格不含“等于”，两条短边之和恰好等于最长边时，三条线段首尾相接会重合在一条直线上，围不成三角形。举例：2cm、3cm、4cm，2＋3＞4，能围成；4cm、6cm、10cm，4＋6＝10，恰好等于，围不成；3cm、4cm、8cm，3＋4＜8，也围不成。可以用三根小棒实物摆一摆验证，也可以借助尺规作图检验。2. 快速判断：两条短边之和与最长边比较检验“任意两边之和大于第三边”，不必把三组都算一遍。把三条边按从短到长排成a≤b≤c，只要a＋b＞c成立，那么a＋c＞b、b＋c＞a必然也成立——右边的b和a比c小，和只会更大，所以“任意”的条件自动满足。判断流程：先找出最长边，再把两条短边相加与它比较：大于就能围成，等于或小于都不能围成。反过来，只检验其中一组“两边之和”是不够的：3cm、4cm、8cm中3＋8＞4虽然成立，但两条短边3＋4＝7＜8，照样围不成。教材“试一试”里奇思的想法——只要两条短边之和大于第三条边就能判断三条线段能围成三角形——就是经过举例验证的简便方法。3. 已知两边，确定第三条边的范围由“任意两边之和大于第三边”可以推出第三条边的范围：它既不能太长，也不能太短。若三角形两条边的长分别是m和n（m＞n），第三条边c必须同时满足：①c＜n＋m，否则两条短边之和不够长；②c＞m－n，否则第三条边和较短的边n合起来仍然够不着最长边m。合起来就是：两边之差＜第三边＜两边之和。例如两条边分别是5cm和8cm，第三条边必须大于8－5＝3cm，小于5＋8＝13cm；如果只取整厘米数，4cm到12cm都可以。注意两个方向都要检验，只想到“不能太长”或只想到“不能太短”都会漏掉一半答案；等于端点值时三条线段会成一条直线，端点不能取。4. 用尺规作三角形上学期我们已经会用尺规作等边三角形和等腰三角形，本单元用尺规作一般三角形，还能顺便验证三条线段能否围成三角形。以三边分别为2cm、3cm、4cm为例，作图分三步：第一步，画一条射线，用圆规量取4cm，从端点A起截得线段AB＝4cm作底边；第二步，以A为圆心、3cm为半径画弧，以B为圆心、2cm为半径画弧，两条弧在AB同侧交于点C；第三步，连接AC、BC，三角形ABC就是所求三角形。两弧能相交，正是因为2＋3＞4——两个圆的半径之和大于两圆心的距离；如果两条短边之和等于或小于第三边，两弧将相切或不相交，三角形就作不出来。这与三边关系的判断结果完全一致。作图时建议先找出最长边作底，画弧更稳；作完可以用刻度尺、量角器检验。5. 三角形内角和等于180°三角形的“内角”指三角形内部的三个角。用量角器量出三个内角的度数再相加，会发现不同形状、不同大小的三角形，三个内角的和都接近180°。但测量是有误差的：同一个三角形，有的同学量出179°，有的量出181°，都在180°左右——测量结果不同说明测量有误差，不能据此否定结论。更可靠的验证方法是剪拼：把三个角撕下来，让顶点拼在一起，三个角正好拼成一个平角，而平角等于180°，所以三角形内角和等于180°。关键结论：三角形三个内角的和等于180°，与三角形的大小、形状都无关——课始插图里的大三角形说“三个内角的和一定比你大”，其实不对，大小三角形的内角和一样，都是180°。这是本单元第二条核心规律。6. 求未知角与按角分类知道了内角和是180°，就能求被遮住的角：未知角＝180°－两个已知角的和。例如两个角分别是60°和40°，被遮住的角＝180°－60°－40°＝80°。求出三个角后，可以按角分类：三个角都小于90°的是锐角三角形；有一个角是90°的是直角三角形；有一个角大于90°的是钝角三角形。注意两个易混点：第一，等边三角形的每个角都是60°，但只知道一个角是60°并不能断定它是等边三角形——另外两个角的和是120°，可能是50°和70°（锐角三角形），也可能是100°和20°（钝角三角形），分法很多；第二，一个三角形中最多只有1个直角、1个钝角，因为两个直角已经是180°，第三个角只能是0°，不可能，两个钝角的和超过180°，更不可能。算完后把三个角加起来检验是否等于180°，是求角题的好习惯。7. 四边形与多边形的内角和探索完三角形内角和，自然要问：四边形内角和是多少？研究思路是从特殊到一般：可以从长方形、正方形这些特殊的四边形开始研究——它们的每个内角都是90°，内角和是90°×4＝360°，得到猜想；再用形状不同的一般四边形去验证：量一量、撕一撕（四个角拼在一起正好拼成一个周角，周角是360°）、连一连，结果都是360°，猜想成立。更巧妙的是转化法：连接四边形的一条对角线，四边形被分成2个三角形，内角和＝180°×2＝360°。根据“三角形内角和是180°，可以把要研究的图形转化为三角形”，这个方法还能推广：五边形从一个顶点出发连对角线，分成3个三角形，内角和＝180°×3＝540°；六边形分成4个三角形，内角和＝180°×4＝720°。观察发现规律：分成的三角形个数＝边数－2。要点：连线必须从同一个顶点出发向不相邻的顶点连，分割不重不漏；如果连出交叉的对角线，分出的三角形重叠重复，算出的内角和就会偏大。8. 认识密铺与判断密铺图形之间没有空隙，也不重叠，就是密铺。判断一幅图案是不是密铺，要同时核对两条标准：没有空隙、不重叠，缺一条都不算。荷兰艺术家埃舍尔将正三角形、正方形和正六边形等图形进行变换，创作出大量充满数学之美的艺术作品。哪些图形能密铺？动手拼一拼可以发现：任意三角形都能密铺，任意四边形（长方形、正方形、平行四边形、梯形等）也都能密铺，正六边形能密铺；圆形不能密铺，因为圆与圆之间总有弯弯的空隙。为什么能密铺与图形长得像不像无关？秘密在角里：密铺时围绕一个拼接点，图形的角要正好拼成360°。任意三角形的3个内角之和是180°，密铺时3个角各出现2次，2×180°＝360°，正好拼满；任意四边形4个角之和是360°，4个相同的四边形围绕一个点正好拼满；正六边形每个内角是720°÷6＝120°，3×120°＝360°，也能拼满。所以“图形能不能密铺，和角有关”，判断时要用角度的计算来检验。9. 设计密铺作品学习埃舍尔的创作方法设计密铺作品，可以分四步。第一步，选图形：选择一个能密铺的图形，这是成功的开始，要先确认基础图形本身能密铺；第二步，定变换：把图形的一部分“搬家”，例如在正方形的左边画一条凸出的曲线，沿曲线剪下左边凸出的部分，平移到右边与右边完全对齐拼好，得到一个新图形；第三步，保证变换准确：每一次变换要一样，才能保证得到的作品是密铺图形，为了保证变换准确，用尺子量一量——量出平移的距离，对准拼接的端点；第四步，试铺检查：用新图形连续拼摆，检查每一处拼接——没有空隙、不重叠，作品就成功了；如果出现空隙或重叠，回到第三步检查变换是否一致。完成作品后在“小小设计师分享会”上互相欣赏、交流设计过程和改进建议，并用五条标准评价自己的表现。易错汇总易错点 1【错因】把“任意”理解成了“存在一组”，只检验了一组两边之和【自检方法】先找出最长边，只把两条短边之和与它比较；结果必须是“大于”易错点 2【错因】混淆了“大于”与“大于或等于”，把边界情形当成能围成【自检方法】用三根小棒实物演示等于的情形；凡是两条短边之和“等于”最长边的一律排除易错点 3【错因】只从“不能太长”一个方向考虑，没有从“任意两边之和”推出“第三边大于两边之差”【自检方法】列完候选后逐个检验：较短的第三边能否与5cm合起来超过8cm易错点 4【错因】把内角和误当成“180°减去一个角”，忘了内角和是三个角的和【自检方法】算完把三个角的度数加起来，检验是否等于180°易错点 5【错因】用个别测量结果代替规律，把测量误差当成了结论的反例【自检方法】把三个角撕下来拼成平角验证；比较不同大小的三角形时都回到180°易错点 6【错因】把“等边三角形的每个角都是60°”当成了它的逆命题“有一个角是60°就是等边三角形”【自检方法】列举另外两个角的不同分法；想确定是等边三角形必须三个角都是60°易错点 7【错因】没有理解“分割不重不漏”，交叉对角线使角被重复计算【自检方法】数一数分出的三角形个数是否为“边数－2”；图形中出现交叉线段就重新连线易错点 8【错因】只核对“铺满了”一条标准，或没有把“和角有关”落实为360°的角度计算【自检方法】逐条核对“没有空隙、不重叠”；再围绕一个拼接点把角的度数加起来检验是否等于360°易错点 9【错因】没有把“每一次变换要一样”当作设计规则，也没有用尺子核对变换量【自检方法】定好变换的方向和距离后，每一步都用尺子量一量；拼摆后检查每一处拼接五、易错精讲【例1】判断三条线段3cm、4cm、8cm能否围成一个三角形。【例2】小刚说：“4cm、6cm、10cm三条线段，4＋6＝10，两边之和等于第三边，能围成三角形。”他说的对吗？为什么？【例3】一个三角形的两条边分别是5cm和8cm，第三条边是整厘米数，可能长多少厘米？【例4】一个三角形中，两个角分别是58°和76°，第三个角是多少度？按角分，这是什么三角形？【例5】一个三角形中有一个角是60°，这个三角形一定是等边三角形吗？为什么？【例6】从六边形的一个顶点出发，向其余不相邻的顶点连线，可以把六边形分成几个三角形？六边形的内角和是多少度？【例7】判断下面两种说法对不对，并说明理由。（1）用圆形瓷砖一块挨着一块铺在地面上，是密铺。（2）正五边形能密铺。易 错 专 练基础辨析1. 只要有三条线段，就一定能围成一个三角形。（　　）2. 三条线段的长分别是3cm、4cm、5cm，能围成三角形。（　　）3. 三条线段的长分别是4cm、6cm、10cm，能围成三角形。（　　）4. 大三角形的内角和比小三角形的内角和更大。（　　）5. 各种三角形的内角和都是180°。（　　）6. 图形之间没有空隙，也不重叠，就是密铺。（　　）7. 用圆形瓷砖一块挨着一块铺在地面上，是密铺。（　　）8. 三角形任意两边之和（________）第三边。9. 一个三角形中最多有（________）个直角，最多有（________）个钝角。10. 把一张长方形纸沿一条对角线剪开，每个三角形的内角和是（________）°。11. 四边形的内角和是（________）°；从五边形的一个顶点出发连线，可以把五边形分成（________）个三角形。12. 一个三角形中，∠1＝38°，∠2＝47°，求∠3的度数。方法巩固13. 下面哪组线段能围成三角形？　　A. 2cm、3cm、6cm　　B. 4cm、4cm、9cm　　C. 3cm、5cm、7cm　　D. 2cm、4cm、6cm14. 一个三角形的两条边分别长6cm和9cm，第三条边是整厘米数。下面（________）不可能是第三条边的长度。　　A. 4cm　　B. 10cm　　C. 14cm　　D. 15cm15. 一个三角形中，∠1＝60°，∠2＝40°，求∠3的度数，并按角判断这个三角形是什么三角形。16. 一个三角形中有一个角是60°，另外两个角的和是（________）。　　A. 60°　　B. 120°　　C. 180°　　D. 240°17. 一个四边形的三个内角分别是90°、120°、80°，第四个内角是多少度？18. 用尺规作一个三角形，使它的三条边分别是2cm、3cm、4cm。写出作图步骤，并画一画。以2cm、3cm、4cm为三边，用尺规作三角形ABC19. 正六边形的每个内角是多少度？正六边形能密铺吗？说明理由。20. 一根18cm长的吸管，要剪成三段整厘米长的小段围成一个三角形，可以怎样剪？写出一种分法，并说明这样剪的理由。综合易错21. 一个等腰三角形，两条边的长分别是5cm和11cm。这个等腰三角形的周长是多少厘米？22. 一个三角形中，∠A＝42°，∠B＝∠C。求∠B和∠C的度数，并按角判断这是一个什么三角形。23. 用同样大小的正三角形和正方形两种图形铺地面。围绕一个拼接点，至少需要几个正三角形和几个正方形才能正好拼满？说明理由。24. 四根小棒的长分别是2cm、3cm、5cm、7cm。从中选出3根围成一个三角形，有几种不同的选法？围成的是什么三角形？25. 下面9个角的度数分别是60°、60°、60°、80°、70°、30°、90°、50°、40°。把它们分成3组，每组3个角，使每组都能拼成一个三角形，并写出你的分组。26. 小美模仿埃舍尔设计密铺作品：她选了一个能密铺的正方形，把左边剪下的一条曲线部分平移到右边。第一次平移了1cm，第二次平移了2cm，拼出的图形出现了空隙。她错在哪里？应该怎样做？错误正确只比较一组：3＋8＞4，所以3cm、4cm、8cm能围成三角形两条短边之和与最长边比较：3＋4＝7＜8，所以围不成● 3● 130123456789101112131415边数分成的三角形个数内角和31180°42360°53540°64720°错误正确∠1＝38°，∠2＝47°，只减一个角：180°－38°＝142°从180°里减去两个已知角的和：180°－38°－47°＝95°图形围绕拼接点的角能否密铺任意三角形3个内角各出现2次，2×180°＝360°能任意四边形4个内角之和正好是360°能正六边形3个120°拼成360°能圆形圆与圆之间总有弯弯的空隙不能常见错误正确认识判断3cm、4cm、8cm时，看到3＋8＞4成立就说能围成三角形“任意”要求三组两边之和都大于第三边；用“两条短边之和与最长边比较”一次查完：3＋4＝7＜8，围不成常见错误正确认识认为4cm、6cm、10cm能围成三角形（4＋6＝10）“大于”严格不含“等于”，等于时三条线段首尾相接成一条直线，围不成常见错误正确认识已知两边分别是5cm和8cm，只想到第三边要小于13cm，把4cm、3cm都当成可行第三边要同时满足大于两边之差（3cm）且小于两边之和（13cm），两个方向都要检验常见错误正确认识已知两个角分别是38°和47°，求第三个角时只算180°－38°＝142°∠3＝180°－38°－47°＝95°；先算两个已知角的和，再从180°里减常见错误正确认识认为大三角形的内角和比小三角形的大；或量出179°就怀疑“内角和等于180°”各种三角形的内角和都是180°，与大小、形状无关；179°、181°都是测量误差，用剪拼验证可知结论就是180°常见错误正确认识一个三角形中有一个角是60°，就断定它是等边三角形只知道一个角是60°不能确定：另外两角之和是120°，可能是50°和70°，也可能是100°和20°，不一定是两个60°常见错误正确认识求四边形内角和时连出两条交叉的对角线，分成4个三角形，算出720°从一个顶点出发只连一条对角线，把四边形分成2个不重不漏的三角形，内角和是360°常见错误正确认识认为圆形瓷砖一块挨着一块铺满地面就是密铺；或认为只有正多边形才能密铺密铺必须同时满足没有空隙、不重叠，圆与圆之间有空隙，不是密铺；任意三角形、任意四边形都能密铺，判断要围绕拼接点算角：角正好拼成360°就能密铺常见错误正确认识设计密铺作品时凭感觉变换，每次变换不一样，结果图形之间出现空隙或重叠每一次变换要一样，才能保证得到的作品是密铺图形；用尺子量一量平移的距离、对准拼接端点，出现空隙或重叠时先检查这一步