初中数学沪科版（2024）九年级上册（2024）21.1 二次函数教学ppt课件

这是一份初中数学沪科版（2024）九年级上册（2024）21.1 二次函数教学ppt课件，共37页。PPT课件主要包含了学习目标，知识回顾，一次函数，一元二次方程，情景导入，导入新课，问题1面积问题，本题的等量关系，0＜x＜20，整理并化简得等内容，欢迎下载使用。
理解二次函数的核心概念，牢固掌握其一般形式 y=ax²+bx+c的结构特征。能从实际问题中抽象出数量关系，准确列出二次函数表达式，并结合情境确定自变量的取值范围。
经历“实际问题 → 建立函数模型 → 归纳概念”的探究过程，提升分析和解决问题的能力。在运用函数描述变化规律的过程中，进一步发展数学建模能力和抽象概括能力。
体会二次函数在刻画现实世界中变量关系的作用，感受数学的应用价值和美学价值。激发学习数学的好奇心与求知欲，培养勇于探索、勤于思考的科学态度。
1.什么叫函数？我们学过哪些函数？
一般地，在一个变化的过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.
一般地，形如y=kx+b（k,b是常数，k≠0）的函数叫做一次函数.当b=0 时，一次函数y=kx就叫做正比例函数。
其中 a、b 为常数，且 a ≠ 0。
ax2+bx+c=0 (a≠0)
某水产养殖户用长 40 m 的围网，在养鱼塘中围一块矩形的水面投放鱼苗. 要使围成的水面面积最大，它的边长应是多少米？
2.矩形面积 = 长 × 宽
1.周长等量关系矩形围网总长 40m，矩形周长公式：2×(长+宽)=40
解：设矩形一边长为x m， 则另一边长： 40÷2−x=（20−x）m，面积为 S m²。
S = x(20 - x)
追问：S 与 x 是函数关系吗？
y = −x2 + 20 x .
此式表示了边长x与围网的面积S之间的关系，对于x的每一个值，S都有唯一的一个对应值，即S是x的函数.
y = −x2 + 20 x .①
课件用的小图标，可选用
某公司今年 1 月销售额为 100 万元. 公司制订销售目标，计划每月销售额增长率为 x. 按此计划，3 月的销售额是多少万元？
解 按题意，2 月的销售额为 100(1 + x) 万元. 设 3 月的销售额为 y 万元，则有
问题2(销售增长模型问题)：
复利增长公式：次月销售额 = 上月销售额 × (1 + 月增长率)
1 月销售额：100 万元2 月销售额 = 1 月销售额 × (1+x)3 月销售额 = 2 月销售额 × (1+x)
y = 100(1 + x)2
y = 100x2 + 200x + 100 ②
对于 x 的每一个值，y 都有唯一的一个对应值，即 y 是 x 的函数.
问题3(排球运动中的数学问题)：
在一次排球比赛中，排球从靠近地面处被垫起后，排球离地面的高度 h m 与被垫起后的时间t s 满足
排球离地面的最大高度是多少？
追问：h 与 t 是函数关系吗？
对于 t 的每一个值，h 都有唯一的一个对应值，即 h 是 t 的函数.
h = -5t2 + 10t + 0.2 ③
（1）观察这三个式子，符合一次函数特征吗？
自变量最高次数不是 1，出现自变量的平方项，所以不是一次函数。
（2）函数关系式有什么共同点?
1.三个解析式都只含______自变量
2.自变量最高次数都是_____
y = −x2 + 20 x ①
3.函数解析式都是______
ax2+bx+c=0(a≠0)
y=kx+b(k，b是常数，k≠0)
等号左边是变量 y，右边是关于自变量 x 的整式
函数解析式中只含有一个自变量（如x, t），不存在其他未知量。
自变量的最高次数是 2 次，且二次项系数不能为 0。
（1）任意二次函数经过整理可以统一化为什么形式？
经过整理可化为统一形式：
可以，此时函数为特殊形式的二次函数
当 a ≠ 0，b = 0 时
当 a ≠ 0，c = 0 时
当 a ≠ 0，b = c =0 时
总结：只要满足 a ≠ 0 即可，b，c 可以为任意实数.
当二次函数仅作为抽象的数学表达式存在时，自变量 x 不受具体场景约束，其取值范围为全体实数 ，即数轴上的任意数值均满足函数定义。
在解决实际问题时，自变量的取值必须依托现实逻辑，确保问题有意义（如长度、面积、数量等不可为负或超出合理边界），需结合具体情境分析其有效范围。
例１.判断函数y＝(x－2)(3－x)是否为二次函数？若是， 写出它的二次项系数、一次项系数和常数项；若不是，请说明理由．
解：y＝(x－2)(3－x)＝－x2＋5x－6，
例2.已知函数y＝(m2－9)x2＋(m－3)x＋5(m是常数)， 当m为何值时,函数是二次函数？
函数y＝(m2－9)x2＋(m－3)x＋5是二次函数．
是二次函数,求常数a的值
1.设圆的半径为r，请填空:(1)这个圆的周长C=____________,C是r的_______函数;(2)这个圆的面积S= ____________ ,S是r的_______函数.
2.在下列表达式中，哪些是二次函数?靶心率b与年龄a之间的关系可表示为(1)靶心率是能获得最佳效果并能确保安全的运动心率，一个年轻人的 b=0.85(220 -a);(2)圆锥的高为h，它的体积V与底面半径r之间的关系可表示为 (h为定值);
解：（1）b=−0.85a+187，自变量a次数为 1，不是二次函数（是一次函数）。 （2）自变量r最高次数为 2，整式形式，是二次函数。
2.在下列表达式中，哪些是二次函数?靶心率b与年龄a之间的关系可表示为(3)物体做自由落体运动的下落高度h与下落时间t之间的关系可表示为 (g为定值);(4)导线的电阻为R，当导线中有电流通过时，电功率P与电流I之间的关系可表示为 (R为定值).
（3）自变量t最高次数为 2，整式形式，是二次函数。（4）自变量I最高次数为 2，整式形式，是二次函数。
（2025·江苏淮安·中考真题）某商店销售一种玩具，经市场调查发现，日销售量y（件）与每件的售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表：(1)求y与x之间的函数表达式（不要求写出自变量x的取值范围）；(2)当玩具日销售额为300元时，求每件玩具的售价．
（2025·江苏淮安·中考真题）某商店销售一种玩具，经市场调查发现，日销售量y（件）与每件的售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表：(1)求y与x之间的函数表达式（不要求写出自变量x的取值范围）；
（1）解：∵日销售量 y（件）与每件的售价 x（元）满足一次函数关系，
∵当x=25 时 ,y=15;
∵当x=28 时 ,y=12;
15=25k+b12=28k+b
∴y与x之间的函数表达式为y=-x+40.
(2)解：由（1）知，
∵玩具日销售额为300元，∴令 ?=300 ， 即 ，整理可得 ，解得 ， ，∴每件玩具的售价为10元或30元时，日销售额为300元．
（1）二次函数定义：形如y=??²+??+?=?(?≠?)，只含有一个自变量，自变量最高次数是2，等式右边为整式的函数。一元、二次、整式三个关键要素缺一不可，是判断函数类型的核心依据。（2）一般形式：y=??²+??+?=?(?≠?)，??²为二次项、a是二次项系数，??为一次项、b是一次项系数，c为常数项，牢记二次项系数a不能为0；（3）自变量取值范围：纯数字表达式中自变量可取全体实数；实际问题里自变量取值要贴合现实意义，需列出不等式限定范围。
（1）类比思想：类比一次函数的定义、解析式、自变量取值范围，快速理解二次函数相关知识；（2）建模思想：将面积、增长率、运动轨迹等生活实际问题转化为二次函数数学模型；（3）分类讨论思想：根据二次项系数a是否为 0，区分二次函数与一次（常数）函数，结合实际场景分类限定自变量取值范围。
（1）判定函数类型前，必须先将解析式展开化简为整式形式，含有自变量 在分母、根号内的式子一定不是二次函数；（2）一般形式中，二次项系数a≠0是必备条件，参数题型优先考虑此条件；（3）纯数学解析式里自变量可取全体实数，但实际应用类二次函数， 自变量取值要贴合实际场景，需结合题意列出不等式限定合理范围；（4）对函数进行变形、配方、列关系式时，不可随意丢项、漏符号， 化简后务必对照原式核对等式两边是否等价。
1.在下列表达式中，x为自变量，问哪些是二次 函数？
y=3x2－1，y=5x2－2x，y=－2x2+x－1，
解：y=3x2－1，y=5x2－2x，y=－2x2+x－1，y=(x－2)(2x+1)是二次函数.
2.分别求出下列问题中的函数表达式;（1）正方形的边长为5，如果边长增加x，那么面积增加y，求y与x之间的函数表达式.
（2）长方体的长与宽均为x，高为8，求长方体表面积S与x之间的函数表达式.
（3）从已知半径为R的圆板上挖掉一个半径为r(r＜R)的同心圆版，求所剩圆环面积S与r之间的函数表达式.
S=2x2+32x(x＞0).
y=x2+10x(x≥0)
S=πR2－πr2(0＜r＜R) .
四周小路宽度均为x m，花坛矩形的长、宽都要在原空地长宽基础上左右、上下各减去x：花坛长：35−2x，花坛宽：20−2x花坛面积y=长×宽
2.分别求出下列问题中的函数表达式;(5)某地m所初中举办校际篮球赛，每所学校组建一个队参赛，每两队之间举行一场比赛，求比赛的场次数Q与m之间的函数表达式.
m支队伍单循环赛，每两队只赛一场，总场次为从m个队里任选 2 个组合：