沪教版数学九年级上册考点讲练第06讲二次函数解析式的确定（5种解题方法）（2份，原卷版+解析版）

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1.一般式
当题目给出函数图像上的三个点时，设为一般式（，，为常数，），转化成一个三元一次方程组，以求得a，b，c的值；
2.顶点式
若已知抛物线的顶点或对称轴、最值，则设为顶点式．这顶点坐标为（ h，k ），对称轴直线x = h，最值为当x = h时，y最值=k来求出相应的系数.
3.交点式
已知图像与 x轴交于不同的两点，设二次函数的解析式为，根据题目条件求出a的值．
4.平移变换型
将一个二次函数的图像经过上下左右的平移得到一个新的抛物线．要借此类题目，应先将已知函数的解析是写成顶点式y = a( x – h)2 + k，当图像向左（右）平移n个单位时，就在x – h上加上（减去）n；当图像向上（下）平移m个单位时，就在k上加上（减去）m．其平移的规律是：h值正、负，右、左移；k值正负，上下移．由于经过平移的图像形状、大小和开口方向都没有改变，所以a得值不变．
5.对称变换型
根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．
考点精讲
解法一：一般式
1.一个二次函数的图象经过（0，0），（﹣1，﹣1），（1，9）三点，求这个二次函数的解析式．
2.已知一个二次函数的图象经过（﹣1，10），（1，4），（2，7）三点．求这个二次函数的解析式，并求出它
的开口方向、对称轴和顶点坐标．
3.二次函数图象过A，C，B三点，点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（4，0），点C在y轴正半轴上，
且AB＝OC，求二次函数的表达式．
4.如图所示，四边形ABCD是平行四边形，过点A、C，D作抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0），点A，B，D的坐标
分别为（﹣2，0），（3，0），（0，4），求抛物线的解析式．
解法二：顶点式
1.设二次函数的图象的顶点坐标为（﹣2，2），且过点（1，1），求这个函数的关系式．
2.已知二次函数当x＝1时有最大值是﹣6，其图象经过点（2，﹣8），求二次函数的解析式．
解法三：交点式
1.抛物线与x轴交点的横坐标为﹣2和1，且过点（2，8），它的关系式为（ ）
A．y＝2x2﹣2x﹣4B．y＝﹣2x2+2x﹣4
C．y＝x2+x﹣2D．y＝2x2+2x﹣4
2.如果二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，0），（3，0），（0，﹣6），求二次函数表达式．
3.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣1，0），点B，点C分别为x轴，y轴正半轴上一点，其满足OC＝OB＝2OA．求过A，B，C三点的抛物线的表达式；
4.已知抛物线过A（1，0）和B（4，0）两点，交y轴于C点，且BC＝5，求该二次函数的解析式．
解法四：平移变换型
1.将抛物线y＝x2﹣6x+5向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，求平移后的抛物线解析式．
2.将抛物线y＝2x2先向下平移3个单位，再向右平移m（m＞0）个单位，所得新抛物线经过点（1，5），求新抛物线的表达式及新抛物线与y轴交点的坐标．
3.已知a+b+c＝0且a≠0，把抛物线y＝ax2+bx+c向下平移一个单位长度，再向左平移5个单位长度所得到的新抛物线的顶点是（﹣2，0），求原抛物线的表达式．
4.抛物线y＝x2+2x﹣3与x轴正半轴交于A点，M（﹣2，m）在抛物线上，AM交y轴于D点，抛物线沿射线AD方向平移个单位，求平移后的解析式．
解法五：对称变换型
1.已知抛物线y＝﹣2x2+8x﹣7．
（1）二次函数的图象与已知抛物线关于y轴对称，求它的解析式；
（2）二次函数y＝ax2+bx+c的图象与已知抛物线关于原点对称，求a，b，c的值．
2.已知二次函数yx2﹣3x+1
（1）若把它的图象向右平移1个单位，向下平移3个单位，求所得图象的函数表达式．
（2）若把它的图象绕它的顶点旋转180°，求所得图象的函数表达式．
（3）若把它绕x轴翻折，求所得图象的表达式．
3.已知抛物线的顶点为P，与x轴正半轴交于点B，抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后的抛物线记为C3，C3的顶点为M，当点P、M关于点B成中心对称时，求C3的解析式．
4.将抛物线C1：y（x+1）2﹣2绕点P（t，2）旋转180°得到抛物线C2，若抛物线C1的顶点在抛物线C2上，同时抛物线C2的顶点在抛物线C1上，求抛物线C2的解析式．
一、单选题
1．（2021·上海杨浦·九年级三模）将抛物线向左平移2个单位后，所得新抛物线的解析式是（ ）
A．B．C．D．
2．（2021·上海九年级专题练习）将二次函数的图象向左平移1个单位，则平移后的二次函数的解析式为（ ）
A．B．C．D．
3．（2021·上海）抛物线先向右平移4个单位，再向上平移4个单位，得到抛物线的解析式为（ ）
A．B．C．D．
4．（2021·上海静安·九年级一模）将抛物线平移后与抛物线重合，那么平移的方法可以是（ ）
A．向右平移1个单位，再向上平移3个单位
B．向右平移1个单位，再向下平移3个单位
C．向左平移1个单位，再向上平移3个单位
D．向左平移1个单位，再向下平移3个单位
5．（2021·上海）如果将抛物线y＝x2+2向左平移1个单位，那么所得新抛物线的解析式为（ ）
A．y＝（x﹣1）2+2B．y＝（x+1）2+2C．y＝x2+1D．y＝x2+3
6．（2010·上海浦东新·七年级竞赛）如表所示，则x与y的关系式为（ ）
A．y=4x-1B．y=x2+x+1
C．y=（x2+x+1）（x-1）D．非以上结论
7．（2021·上海九年级专题练习）如果A(-2，n)，B(2，n),C(4，n+12)这三个点都在同一个函数的图像上，那么这个函数的解析式可能是 ( )
A．B．C．D．
二、填空题
8．（2011·上海浦东新区·中考模拟）请写出一个图像的对称轴为y轴，且经过点(2，－4)的二次函数解析式，这个二次函数的解析式可以是____________
9．（2021·上海九年级专题练习）用“描点法”画二次函数的图像时，列出了如下的表格：
那么当时，该二次函数的值为___________．
10．（2020·崇明县大同中学九年级月考）已知二次函数的图象的顶点坐标是（﹣1，﹣6），并且该图象经过点（2，3）表达式为_______．
11．（2020·上海市静安区实验中学）若函数过点(1，-4)，则m=_______．
12．（2020·上海市静安区实验中学九年级课时练习）已知抛物线的顶点为，且与轴交于点，则抛物线的解析式为______.
13．（2021·上海九年级专题练习）如果抛物线经过原点，那么该抛物线的开口方向______．（填“向上”或“向下”）
14．（2021·上海九年级专题练习）如果将二次函数的图像平移，有一个点既在平移前的函数图像上又在平移后的函数图像上，那么称这个点为“平衡点”．现将抛物线：向右平移得到新抛物线，如果“平衡点”为(3，3)，那么新抛物线的表达式为______．
15．（2021·上海青浦·九年级二模）如果将抛物线y＝﹣x2向下平移，使其经过点（0，﹣2），那么所得新抛物线的表达式是__________．
16．（2021·上海崇明·九年级二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰直角三角形OAB的斜边OA在x轴上，且OA＝4，如果抛物线y＝ax2+bx+c向下平移4个单位后恰好能同时经过O、A、B三点，那么a+b+c＝_____．
三、解答题
17．（2021·上海宝山·九年级期中）在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，与轴交于点，
（1）求该抛物线的表达式及点的坐标；
（2）将抛物线平移，使点落在点处，点落在点处，求的面积；
（3）如果点在轴上，与相似，求点的坐标．
18．（2021·上海宝山区·九年级三模）如图，在直角坐标平面xOy内，点A在x轴的正半轴上，点B在第一象限内，且∠OAB＝90°，∠BOA＝30°，OB＝4.，二次函数y＝﹣x2＋bx的图象经过点A，顶点为点C．
（1）求这个二次函数的解析式，并写出顶点C的坐标；
（2）设这个二次函数图象的对称轴l与OB相交于点D，与x轴相交于点E，求的值；
（3）设P是这个二次函数图象的对称轴l上一点，如果△POA的面积与△OCE的面积相等，求点P的坐标．
19．（2021·上海）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．
（1）求该抛物线的表达式及点的坐标：
（2）如果点的坐标为，联结、，求的正切值；
（3）在（2）的条件下，点为抛物线上一点，当时，求点的坐标．
20．（2017·上海杨浦区·九年级一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线交 y轴于点为A，顶点为D，对称轴与x轴交于点H．
（1）求顶点D的坐标（用含m的代数式表示）；
（2）当抛物线过点（1，-2），且不经过第一象限时，平移此抛物线到抛物线的位置，求平移的方向和距离；
（3）当抛物线顶点D在第二象限时，如果∠ADH=∠AHO，求m的值．
21．（2021·上海普陀区·）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0）、B（6，0），与y轴交于点C，点D是在第四象限内抛物线上的一个动点，直线AD与直线BC交于点E．
（1）求b、c的值和直线BC的表达式；
（2）设∠CAD＝45°，求点E的坐标；
（3）设点D的横坐标为d，用含d的代数式表示△ACE与△DCE的面积比．
22．（2021·上海青浦·九年级二模）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx＋3的图象与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C，对称轴是直线x＝1，顶点是点D．
（1）求该抛物线的解析式和顶点D的坐标；
（2）点P为该抛物线第三象限上的一点，当四边形PBDC为梯形时，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，点E为x轴正半轴上的一点，当tan（∠PBO＋∠PEO）＝时，求OE的长．
23．（2021·上海中考真题）已知抛物线过点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点A在直线上且在第一象限内，过A作轴于B，以为斜边在其左侧作等腰直角．
①若A与Q重合，求C到抛物线对称轴的距离；
②若C落在抛物线上，求C的坐标．
x
1
2
3
4
5
y
3
7
13
21
31
…
0
1
2
3
4
…
…
0
1
0
…