2026年秋人教版九年级数学上册第29章29.2.1第一课时：垂直于弦的直径教学设计

这是一份人教版（2024）九年级上册（2024）29.2.1 垂直于弦的直径第一课时教案，共4页。教案主要包含了素养目标，教学重点，教学过程，课堂练习，课堂小结，教学反思等内容，欢迎下载使用。
一、素养目标
1.理解圆的轴对称性，掌握垂径定理及其推论，能运用定理进行弦、弧、半径相关计算与简单证明；
2.通过折纸、推理探究定理，体会数形结合，提升观察、归纳、逻辑推理能力；
3.能用垂径定理解决赵州桥等实际问题，学会构造半径－弦心距直角三角形，规范几何解题步骤.
二、教学重点、难点
重点：垂直于弦的直径的性质及其应用.
难点：灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.
三、教学过程
1、合作探究
剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，你发现了什么？重复做几次，由此你能得到圆具有怎样的对称性？能证明你的结论吗？

可以发现，圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是圆的对称轴.
要证明圆是轴对称图形，只需证明圆上任意一点关于直径所在直线(对称轴)的对称点也在圆上.
如图，设AB是⊙O的任意一条直径，如果M为⊙O上点A，B以外的任意一点，M′是点M关于直线AB的对称点，那么直线AB是线段MM′的垂直平分线. 因为圆心O在AB上，所以OM′＝OM，因此点M′在⊙O上.如果点M与点A或点B重合，那么结论显然也成立.
这样，我们就证明了：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴.
2、垂径定理
从前面的证明可以知道，如果⊙O的直径AB垂直于弦MM′，垂足为N，那么M和M′是关于直径AB的对称点. 把圆沿着直径AB对折时，点M与点M′重合，MN与M′N重合，eq \(\s\up 8(︵),\s\d 0(MA))，eq \(\s\up 8(︵),\s\d 0(MB))分别与eq \(\s\up 8(︵),\s\d 0(M′A))，eq \(\s\up 8(︵),\s\d 0(M′B))重合.
因此，MN＝M′N，eq \(\s\up 8(︵),\s\d 0(MA))＝eq \(\s\up 8(︵),\s\d 0(M′A))，eq \(\s\up 8(︵),\s\d 0(MB))＝eq \(\s\up 8(︵),\s\d 0(M′B)).
因此，直径AB平分弦MM′，并且平分eq \(\s\up 8(︵),\s\d 0(MAM′))，eq \(\s\up 8(︵),\s\d 0(MM′)).
这样，就得到垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.
几何符号语言：
∵ CD是⊙O的直径，CD⊥AB
∴ AE＝BE，eq \(\s\up5(⌒),AC)＝eq \(\s\up5(⌒),BC)，eq \(\s\up5(⌒),AD)＝eq \(\s\up5(⌒),BD)
①过圆心；
②垂直于弦.
垂径定理的推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
几何符号语言：
∵ CD是⊙O的直径，AB为⊙O的弦(不是直径)，且AE＝BE
∴ CD⊥AB，eq \(\s\up5(⌒),AC)＝eq \(\s\up5(⌒),BC)，eq \(\s\up5(⌒),AD)＝eq \(\s\up5(⌒),BD)
思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？
答：不能，圆的任意两条直径都是互相平分的，却不一定互相垂直.
①过圆心；
②平分弦(不是直径).
3、思考
①过圆心；②垂直于弦；③平分弦(不是直径)；
④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.
上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗？
4、归纳总结
满足其中任两条，必定同时满足另三条
简记为“知二推三”
5、例题讲解
例1 赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1400余年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，跨度(弧所对的弦的长)为37m，拱高 (弧的中点到弦的距离)为7.23m，求赵州桥主桥拱的半径长(结果保留小数点后一位).

解：如图，用eq \(\s\up5(⌒),AB)表示主桥拱，设eq \(\s\up5(⌒),AB)所在圆的圆心为O，半径为R m.经过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与eq \(\s\up5(⌒),AB)相交于点C，连接OA. 根据垂径定理，D是AB的中点，C是eq \(\s\up5(⌒),AB)的中点，CD就是拱高.
由题设可知，AB＝37，CD＝7.23
所以，AD＝AB＝×37＝18.5
则OD＝OC－CD＝R－7.23
在Rt△OAD中，由勾股定理，得OA2＝AD2＋OD2
即 R 2＝18.52＋(R－7.23)2，解得 R ≈27.3
因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.3m.
6、归纳总结
垂径定理的常用方法
在圆中，解决有关弦的问题时，只需从圆心作一条与弦垂直的线段，如图：
( r：圆的半径，d：圆心到弦的距离，a：弦长)
四、课堂练习
1.如图，两个圆都以点O为圆心，大圆的弦AB交小圆于C，D两点.求证AC＝BD.

2.如图，在⊙O中，AB，AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D，E.求证：四边形ADOE是正方形.
3.如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分.如果M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E，且CD＝4m，EM＝6m.求⊙O的半径长.
参考答案：
证明：作OE┴AB于点E，
由垂径定理可得AE=BE，CE=DE
∴AE-CE=BE-DE，即AC=BD
提示：先证明四边形ADOE是矩形，再利用垂径定理证AE=AD
证明：∵OE⊥AC，OD⊥AB，AB⊥AC，
∴∠OEA=∠EAD=∠ODA=90°.
∴四边形ADOE为矩形，AE=AC,AD=AB.
又∵AC=AB,
∴AE=AD.
∴ 四边形ADOE为正方形.
⊙O的半径为m.
五、课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
六、教学反思
本节课通过折纸操作探究圆的对称性，引导学生得出垂径定理，大部分学生能够识记定理，完成基础计算题。教学发现部分学生审题粗心，容易忽略推论“弦非直径”这一条件，解题不会主动作辅助线构建直角三角形，几何解题书写步骤不够规范。今后教学要强化辅助线画法训练，结合典型错题辨析易错点，加强定理文字、图形、符号语言互译练习，提升学生几何推理应用能力。